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azsxxdcffv:高一数学必修4第二章第一

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高一数学必修 4 第二章第一、二节导学案 课题:2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、教学目标 1、通过阅读教材初步了解向量的实际背景; 2、理解平面向量的概念和向量的几何表示; 3、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会 区分平行向量、相等向量和共线向量. 教学重点:了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示。 教学难点:掌握向量的有关概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 二、问题导学 (一) 、情景设置:如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去, 设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、有 长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? (二) 、阅读课文: 1、向量的概念: _____________________________ 2、 问题:1) 数量与向量区别:_____________________________ 2) 向量表示:_____________________________ 3)有向线段和线段有何区别和联系:_____________________________ 4)零向量:_____________________________ 相等向量:____________________________; 单位向量:_____________________________ 相等向量:_____________________________;平行向量:_____________________________ 三、问题探究: 1、数量与向量的区别 :_____________________________ 2.向量的表示方法? ① ② ③ 。 a
A(起点) B (终点)

C A B D

④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素: 4.共线向量与平行向量关系:



......... 平行向量就是共线向量,这是因为 (与有向线段的起点无 .. 关).说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线 向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

5、应用: 例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(2)不相等的向量是否一定不平行?

(3) 与零向量相等的向量必定是什么向量? (4) 与任意向量都平行的向量是什么向量?

(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?

(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(7)共线向量一定在同一直线上吗? 例 3 下列命题正确的是( )

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向 量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的 向量? 变式三:与向量共线的向量有哪些? 四、课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等; ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不 同. 2.书本 88 页练习 课后练习与提高 1.下列各量中不是向量的是( ) A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 .. 2.下列说法中错误的是( ) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3 .把平面上一切单位向量的始点放在同一点 , 那么这些向量的终点所构成的图形是

( ) A.一条线段

B.一段圆弧

C.圆上一群孤立点

D.一个单位圆 .

4.已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ,则 c 与 b 必定

5 .已知 a 、 b 是两非零向量 , 且 a 与 b 不共线 , 若非零向量 c 与 a 共线 , 则 c 与 b 必 定 . 6.设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点, 则 | KL |? _______,KL ? ________

课题:2.2.1

向量的加法运算及其几何意义

一、教学目标 1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合 解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和 结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:掌握向量的加法运算,并理解其几何意义。 教学难点:用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。 二、问题导学: 1、复习: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C,则两次的位移和: (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: 。 。 A B C C 。 C A B 。

2、看课文回答: 1) 、向量的加法: 2) 、三角形法则( “ 如图,已知向量 a、b.在平面 内任取一点 A ,作 AB =a, BC = b,则向量 AC 叫做 a 与b的和, 记 作 a + b , 即 a + b , 规 。 ; a C a A + a b ” )

A 叫做向量的加法.

B

a b a+b b B

a b a+b



? AB ? BC ? AC
定:

三、问题探究:1、 (1)两相向量的和仍是 (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向

,且| a + b |

| a |+| b |;

(3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 且| a + b | | a |+| b |, 当 a 与 b 反向时, 若| a |>| b |, | a |-| b |;若 | b |-| a |. b a

O b

a

A b a

则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |

| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|

B

(4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 2、加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: 3、向量加法的结合律: 证: 4、应用举例: 例 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法: 例 2、 (P94—95) 四、课堂练习:P95 课后练习:1、一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际 航行的速度的大小为 4 km / h ,求水流的速度. 2、一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时, 船的实际航程为 8km,求河水的流速. 3、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v 2 ,船 的实际航行的速度的大小为 4 km / h ,方向与水流间的夹角是 60? ,求 v 1 和 v 2 . 4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实际航行速度大小 最大是 km/h,最小是 km/h

5、 已知两个力 F1,F2 的夹角是直角, 且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ? ,|F|=10N 求 F1 和 F2 的大小.

课题:2.2.2
一、教学目标: 1、 了解相反向量的概念;

向量的减法运算及其几何意义

2、掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相 互转化的辩证思想. 教学重点:掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义。 教学难点:掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义。 二、问题导学: 1、复习:1)向量加法的法则: 2)向量加法的运算定律: 3)在四边形中,CB+BA+BC= 2、看课文回答: 1)用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义: (2) 规定:零向量的相反向量仍是 .-(-a) = a. .a + (-a) = 0 a+b=0 . 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 。 . D C 。

A

B 。

任一向量与它的相反向量的和是

如果 a、b 互为相反向量,则 a = -b, b = -a, (3) 向量减法的定义: 即: 2) 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法: 注意:1? AB 表示 a -b.强调:差向量“箭头”指向



2? 用 “ 相 反 向 量 ” 定 义 法 作 差 向 量 , a -b = 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一. 三、问题探究: 1、问题:1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是





a O b a b O

a?b B A B’ O B

a?b A

a?b A ?b ? B B O

a?b A

2)若 a∥b, 如何作出 a - b 2、例题:

例 1、 (P97 例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.

例 2、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b,用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 四、课堂练习: 1、 当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 2、当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 3、a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 4、见课本 课后练习与提高 1.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( A.a+b B.-a+(-b) C.a-b ) D.b-a 对角线方向不同)

2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点,设 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

3.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空: a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .

4、如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、c、 d 的方向 (用箭头表示) ,使 a+b= AB , c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

参考答案: 1、D 2、D 3、f,e,f,0 4、略

课题:2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
一、教学目标: 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算; 2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思想。 教学重点: 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律, 会利用实数与向 量的积的运算律进行有关的计算。 教学难点:理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行。 二、问题导学 1、实数与向量的积定义: 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a . 它的长度和方向规定如下: (1) (2) 2、运算律: 3、计算: (1) (- 3) 4a ; . (2) 3(a + b) - 2(a - b) - a ; . . .

(3) (2a + 3b - c) - (3a - 2b + c) . 4、向量平行的充要条件: 5、如图:已知 AD = 3 AB , DE = 3BC ,试判断 AC 与 AE 是否平行. 解:∵ AE = AD + DE = 3AB + 3BC = 3( AB + BC) = 3AC ∴ AE 与 AC 平行. .

6、单位向量:

.

三、问题探究: 例题 : 例 1、 如图, 在 ΔABC 中,D 是 AB 的中点,E 是 BC 延长线上的点,且 BE = 2 BC ,是根据下列要求表示向量
D

A

DE : (1)用 BA 、 BC 表示; (2)用 CA 、 CB 表示.
B C E

题1
例 2 、如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点,用向量方法证明:

1 MN // BC 2
A
C1

N M
C B B1

C B

O

题 2

A

题 3

A1

ΔABC ∽ ΔA1B1C1 例 3、如图,已知 OA = kOA 1 , OB = kOB 1 , OC = kOC1 ,求证:
四、课堂练习:P145 1、2、3、4 五、自主小结: 作业布置: 练习部分 P88-89 习题 3 A 组 2、3、4、5. P89 习题 3 B 组 2、3.


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