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2014高考文数专题3导数及其应用


专题 3:导数及其应用
1. [2014· 陕西高考]如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条 直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分, 则该函数的解析式为( )

1 1 A. y=2x3-2x2-x 1 1 B. y=2x3+2x2-3x 1 C. y=4x3-x 1 1 D. y=4x3+2x2-2x 2. [2014· 课标全国卷Ⅱ]若函数 f(x)=kx-lnx 在区间(1, +∞)单调递增, 则 k 的取值范围是( ) A. (-∞,-2] B. (-∞,-1] C. [2,+∞) D. [1,+∞) 3. [2014· 辽宁高考]当 x∈[-2,1]时, 不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是( ) 9? ? A. [-5,-3] B. ?-6,-8? ? ? C. [-6,-2] D. [-4,-3] 4. [2014· 课标全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)=ax3-3x2+1, 若 f(x)存在唯一的 零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( ) A. (2,+∞) B. (1,+∞) C. (-∞,-2) D. (-∞,-1) 5. [2014· 湖南高考]若 0<x1<x2<1,则( ) A. ex2-ex1>lnx2-lnx1 B. ex2-ex1<lnx2-lnx1 C. x2ex1>x1ex2 D. x2ex1<x1ex2

6. [2014· 江西高考]若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y +1=0,则点 P 的坐标是________. x-1 7. [2014· 山东高考]设函数 f(x)=alnx+ ,其中 a 为常数. x+1 (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 8. [2014· 北京高考]已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x) 相切?(只需写出结论) x a 3 9. [2014· 重庆高考]已知函数 f(x)=4+x-lnx-2, 其中 a∈R, 且曲线 y 1 =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 10. [2014· 安徽高考]设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 11. [2014· 湖北高考]π 为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. lnx (1)求函数 f(x)= x 的单调区间; (2)求 e3,3e,eπ,πe,3π,π3 这 6 个数中的最大数与最小数.

1 12. [2014· 广东高考]已知函数 f(x)=3x3+x2+ax+1(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 1? ?1 ? ? ?1? (2)当 a<0 时,试讨论是否存在 x0∈?0,2?∪?2,1?,使得 f(x0)=f?2?.
? ? ? ? ? ?

2 13. [2014· 天津高考]已知函数 f(x)=x2-3ax3(a>0),x∈R. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)· f(x2) =1.求 a 的取值范围.

14. [2014· 浙江高考]已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若 f(x)在[-1,1] 上的最小值记为 g(a). (1)求 g(a); (2)证明:当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4.

15. [2014· 四川高考]已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e =2.71828…为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.

16. [2014· 福建高考]已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于 点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时, 恒有 x<cex.

1-a 17. [2014· 课标全国卷Ⅰ]设函数 f(x)=alnx+ 2 x2-bx(a≠1),曲线 y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; a (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围. a-1 18. [2014· 江西高考]已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值.

19. [2014· 课标全国卷Ⅱ]已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.


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