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3.3三角函数的奇偶性与单调性


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3.3 三角函数的奇偶性与单调性
【知识网络】1.正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性; 2.正弦、余弦、正切函数的的单调性. 【典型例题】 [例 1](1) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= ( (A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1 )

(1)A 提示:由题意可知, f (? x) ? ? f ( x)可得f (0) ? 0 得 a=0 (2)函数 f ? x ? ? tan ? x ?

? ?

??

? 的单调增区间为( 4?

)

? ?? ? A. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 2 2? ?
3? ?? ? C. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 4 4? ?
(2)C 提示:令 k? ?

B. ? k? , ? k ?1? ? ? , k ? Z

? 3? ? ? D. ? k? ? , k? ? ?,k ? Z 4 4 ? ?
? k? ?

?
2

? x?

?
4

?
2

可得

(3)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期 是 ? ,且当 x ? [0, A. ?

?
2

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (
C. ?

5? ) 的值为 ( 3
D.

)

1 2

B.

3 2

3 2

1 2

(3)B 提示: f (

5? ? ? ? ? 3 ) ? f (? ? 2? ) ? f (? ) ? f ( ) ? sin ? 3 3 3 3 3 2


(4)如果 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? ? (4)-2 由 f (? x) ? ? f ( x)可得f (0) ? 0 (5)已知函数 y ? f ( x) 满足以下三个条件: ① 在 [0,

?
2

] 上是增函数 ②以 ? 为最小正周期 ③是偶函数


试写出一满足以上性质的一个函数解析式 (5) f ( x) ? ? cos 2 x

提示:答案不唯一,如还可写成 f ( x) ? sin x 等

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[例 2]判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? sin 2 x ? tan x ; (3 ) (2 ) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

f ( x) ? cos(sin x) ;

(4 ) f ( x) ? lgcos x .

解: (1)

f ( x) 的定义域为 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,故其定义域关于原点对称,

又 f (? x) ? sin(?2 x) ? tan(? x) ? ? sin 2 x ? tan x ? ? f ( x)

? f ( x) 为奇函数
(2)

x?

?
2

时, 1 ? sin x ? cos x ? 2 ,而 x ? ?

?
2

时, 1 ? sin x ? cos x ? 0 ,

? f ( x) 的定义域不关于原点对称,? f ( x) 为非奇非偶函数。
(3)

f ( x) 的定义域为 R,又 f (? x) ? cos(sin(? x)) ? cos(sin x) ? f ( x)

? f ( x) 为偶函数。
(4) 由 lg cos x ? 0 得 cos x ? 1 ,又 cos x ? 1 ? cos x ? 1 ,故此函数的定义域为

x?2k ? (k ? Z) ,关于原点对称,此时 f ( x) ? 0 ? f ( x) 既是奇函数,又是偶函数。
[例 3]已知:函数 f ?x ? ? log 1 ?sin x ? cos x ? .
2

(1)求它的定义域和值域; (2)判断它

的奇偶性; (3)求它的单调区间; 周期. 解 :(1). 由 sin x ? cos x ? 0 ?

(4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正

? ?? ? 2 sin? x ? ? ? 0 ? 2k? ? x ? ? 2k? ? ? 4 4? ? ? 5? ? ? ? 定义域为 ? 2k? ? ,2k? ? ?, ?k ? Z ? , 4 4 ? ? ?? ? ? 1 ? ? 2 sin? x ? ? ? 0, 2 ? 值域为 ?? ,?? ?. 4? ? ? 2 ? (2).? 定义域不关于原点对称,? 函数为非奇非偶函数 ?? ? (3)? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? ? 0 4? ? 3? 5? , 2k? ? )(k ? Z ) ? f ( x) 的递增区间为 [2k? ? 4 4 ? 3? ](k ? Z ) 递减区间为 (2k? ? , 2k? ? 4 4

(k ? Z )

?

?

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(4).

f ? x ? 2? ? ? log 1 ? ?sin ? x ? 2? ? ? cos ? x ? 2? ?? ? ? log 1 ? sin x ? cos x ? ? f ? x ?
? f ( x) 是周期函数,最小正周期 T ? 2? .
2
2

[例 4]已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x ) 的单调增区间. 解(I) f ( x) ?

?当 2 x ?

?
4

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4 ? 2 k? ?

?

2

,即 x ? k? ?

?

8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? (II) f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? 由题意得: 2k? ? 即: k? ?

?
8

(k ? Z )} .

?
4

)

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z )

3? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) 8 8

因此函数 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ?

3? ? , k? ? ](k ? Z ) . 8 8

【课内练习】 1.函数 f(x)=sin(2x+φ)+ 3 cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是 ( π A.φ=2kπ - ,k∈Z 6 π C.φ=2kπ - ,k∈Z 3 B.φ=kπ - π ,k∈Z 6 π ,k∈Z 3 )

D.φ=kπ -

1.D 提示: f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? 2sin(2 x ? ? ? 令? ?

?
3

)

?
3

? k? 可得
?
2

2.在 ?ABC 中, C ?

,若函数 y ?

f ( x ) 在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是

(A) f (cos A) ? f (cos B ) (C) f (sin A) ? f (cosB ) 2.C 提示:根据 0 ? A ? B ?

(B) f (sin A) ? (D) f (sin A) ?

f (sin B ) f (cosB )

?
2

得0 ? A ?

?
2

?B?

?
2

所以 sin A ? sin(

?
2

? B) ? cos B

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3.同时具有性质“⑴ 最小正周期是 ? ;⑵ 图象关于直线 x ? ⑶ 在 [? A C

?
3

对称;

, ] 上是增函数”的一个函数是( ) 6 3 x ? ? y ? sin( ? ) B y ? cos( 2 x ? ) 2 6 3

? ?

y ? cos( 2 x ?

?

6

)

D y ? sin( 2 x ?

?

6

)

3.D 提示:由性质(1)和(2)可排除 A 和 C ,再求出 y ? sin( 2 x ? 4. 设函数 f ( x) ? x sin x , x ?[ ? ( ) A. x1 ? x2 ? 0

?
6

) 的增区间即可

? ?

, ] ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列不等式必定成立的是 2 2

2 B. x12 ? x2

C. x1 ? x2

D. x1 ? x2

4 . B 提示:易知 f ( x) ? f ( | x | ),且当 x ∈ x ? [ 0 , 5.判断下列函数奇偶性(1) f ( x) ?| sin 2 x | ? x ? tan x 是 (2) f ( x) ?

π ] 时, f ( | x | )为增函数.又由 2

2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,得 f ( | x1 | ) ? f ( | x2 | ) ,故 | x1 | ? | x2 | |,于是 x12 ? x2 .

; ; .

cos x(1 ? sin x) 是 1 ? sin x

(3)f(x)= lg(sinx+ 1+sin 2 x ) 是

5. (1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)奇函数 提示:先判断函数的定义域是否关于原点对称,然后用奇函数和偶函数的定义判断

1 ,则 f (4cos 2? ) = 2 2 6. -4 提示: f (4cos 2? ) ? f (8cos ? ? 4) ? f (?2) ? f (3) ? ? f (?3) ? ?4
6.若 f ( x ) 是以 5 为周期的奇函数, f (?3) ? 4 且 cos ? ? 7.五个函数① f ( x) ? sin x ② f ( x) ? cos 2 x ③ f ( x) ? sin 2 x ④ f ( x) ? tan( x ? ? ) ⑤ f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x 中,同时满足 f ( x ?



?
2

) ? ? f ( x) 且


f (? x) ? ? f ( x) 的函数的序号为
7.③ 提示:①②⑤不满足 f (? x) ? ? f ( x) 8.求下列函数的单调区间.

④不满足 f ( x ?

?
2

) ? ? f ( x)

?? 1 ? ? 2x ? ? (2) y ? ? cos? x ? ? sin ? ? ? 2 ?4 3 ? 4? ? 2x ? 1 ? 2x ? ? ? ,则只需求 y ? sin u 的单调区间 解:(1).原函数变形为 y ? ? sin ? ? ? 令u ? 3 4 2 ? 3 4? ? 2x ? ? ? ? 2k? ? ,( k ? Z )上 即可.? y ? sin u在2k? ? ? u ? 2 3 4 2 3? 9? ? x ? 3k? ? 即 3k? ? ,( k ? Z )上单调递增, 8 8 ? 2x ? 3? ? ? 2k? ? , ( k ? Z ) ,上 y ? sin u 在 2k? ? ? u ? 2 3 4 2
(1)

y?

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9? 21 ? x ? 3k? ? ? , (k ? Z ) ,上单调递减 8 8 1 ? ? 2x ? 3? 9? ? ? 故 y ? sin ? ? ,3k? ? , (k ? Z ) ? 的递减区间为: ?3k? ? 2 ?4 3 ? 8 8 ? ? ? 9? 21? ? 递增区间为: ?3k? ? ,3k? ? ?, (k ? Z ) . 8 8? ? ? ?? ? (2)原函数的增减区间即是函数 y ? cos? x ? ? 的减增区间,令 u ? x ? 4 4? ?
即 3k? ? 由函数 y ? cosu 的图象可知:周期 T ? ? 且 y ? cosu 在 k? ? 即 k? ?

?
2

?u ? x?

?
4

? k? , 上,

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z 上递增, 4 4

在 k? ? u ? x ?

?

4

? k? ?

?

2

即在 k? ?

?

4

? x ? k? ?

?
4

, k ? Z 上递减

故所求的递减区间为 ?k? ?

? ?

3? ?? ? ?? ? , k? ? ? ,递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) 4 4? 4 4? ?

9.已知 f ( x ) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? sin 2 x ? cos x . (1) 当 x ? 0 时,求 f ( x ) 的解析式; (2) 当 x ? R 时,求 f ( x ) 的解析式. 解: (1) 当 x ? 0 时, 则 ? x ? 0 , f (? x) ? sin 2(? x) ? cos(? x) ? ? sin 2 x ? cos x , 又 f ( x) 为奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? sin 2 x ? cos x (3) 当 x ? R 时, f ( x ) 为奇函数,所以 f (0) ? 0

?sin 2 x ? cos, x ? 0 ? x?0 由(1)知 f ( x ) ? ?0, ?sin 2 x ? cos x, x ? 0 ?
10.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点

3? ? , 0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ?和? 的值. 4 2 R 解:由 f ( x ) 是 上的偶函数,得 f (? x) ? f ( x) ,即 sin(?? x ? ? ) ? sin(? x ? ? ) , 展开整理得: ? cos ? sin ? x ? cos ? sin ? x ,对任意 x 都成立,且 ? ? 0 ,所以 cos ? ? 0 . M(
又 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 得 f(

?
2

.由 f ( x ) 的图象关于点 M 对称,

3? 4

? x) ? ? f (
3? 4

3? 4

? x) .
3? 4 ),

取 x ? 0 ,得 f (

)??f(

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所以 f (

3?

所以 cos

4 3??

) ? 0 ,∴ f (

3? 4

) ? sin(

3?? 4

?

?
2

) ? cos

3?? 4



4

? 0, 又? ? 0, 得

3?? 4

?

?
2

? k? , ( k ? N ) .即 ? ?

2 3

(2k ? 1), k ? 0,1, 2,

当k ? 0时, ? ?

2 2 ? ? , f ( x) ? sin( x ? )在[0, ]上是减函数 ; 3 3 2 2

当k ? 1时, ? ? 2, f ( x) ? sin(2 x ? 当k ? 2时, ? ?

?

10 ? ? , f ( x) ? sin(? x ? )在[0, ]上不是单调函数 ; 3 2 2 2 ? 综上所得 ? ? 或? ? 2 , ? ? 3 2

)在[0, ]上是减函数 ; 2 2

?

作业本
A组 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是 (
y


y

O

x

O

x

A
y O x O y

B

x

C

D

1.D 提示:y=-xcosx 为奇函数,且当 x ? ?0时y ? 0 .
π -2x) (x∈[0,π ] )为增函数的区间是 ( ) 6 π π 7π π 5π 5π A.[0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,π ] 12 12 3 3 6 6 π π π 2.C 提示:由 y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由 y=2sin(2x- ) 6 6 6 π π 3π π 5π 的减区间得到,即 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z.∴kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 6 2 3 6

2.函数 y=2sin(

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令 k=0,故选 C. 3.若 y ? f ( x)sin x 是周期为 ? 的奇函数,则 f ( x ) 可以是 ( A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 3.B 4.已知 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? 5,(ab ? 0)且f (9) ? 27 ,则 f(-9)=



. .

5.已知 f ?x? ? sin ?x ? ? ? ? 3 cos?x ? ? ? 的一条对称轴为 y 轴,且? ? ?0, ? ? .求 ? = 5.

4.-17 提示: f (?9) ? a sin(?9) ? b cos(?9) ? 5 ? ?[a sin 9 ? b cos9 ? 5] ? 10 ? ?17

? 6

提示: f ?x? ? sin?x ? ? ? ? 3 cos?x ? ? ? =2 sin ? x ? ? ? 由? ?

? ?

??
? 3?

(k ? Z )及? ? ? 0, ? ? 可得 3 2 ?sin x,sin x ? cos x 6.已知函数 f ( x) ? ? ?cos x, cos x ? sin x (1)画出 f ( x ) 的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值; (2)判断 f ( x ) 是否为周期函数.如果是,求出最小正周期. 解: (1)实线即为 f ( x ) 的图象. ? k? ?
y = s i n x 1y 2 ? ? c o s x y = O 1 ? 2 ?x

?

?

π π 5π ,2kπ + ] , [2kπ + ,2kπ +2π ] (k∈Z) , 4 2 4 π π 5π 单调减区间为[2kπ ,2kπ + ] , [2kπ + ,2kπ + ] (k∈Z) , 4 2 4 2 f(x)max=1,f(x)min=- . 2 (2)f(x)为周期函数,T=2π . 7.比较下列各组中两个值的大小:

单调增区间为[2kπ +

3 1 7 3? 3? ) , sin(cos ) . , sin , ? cos ; (2) sin(sin 2 4 8 8 10 1 ? 1 7 7 ? cos( ? ) , ? cos ? cos(? ? ) , 解: (1)∵ sin 10 2 10 4 4 7 ? 1 3 ? ? ? 及 y ? cos x 在 (0, ? ) 内是减函数, 又∵ 0 ? ? ? ? ? 4 2 10 2 3 1 7 ? ? cos . ∴可得 cos ? sin 2 10 4 3? ? 3? 3? ? sin ,∴ 0 ? cos ? sin ? 1 ,而 y ? sin x 在 (0,1) 上递增, (2)∵ cos 8 8 8 8 3? 3? ) ? sin(cos ) . ∴ sin(sin 8 8 8. f ( x ) 是定义在 [?2? ,2? ] 上的偶函数, 当 x ∈ [0, ? ] 时,y ? f ( x) ? cos x ; 当 x ∈ ?? ,2? ? 2 时, f ( x ) 的图象是斜率为 ,在 y 轴上截距为-2 的直线在相应区间上的部分.
(1) cos

?

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(1)求 f (?2? ) , f (?

?
3

) 的值;

(2)求 f ( x ) 的解析式,并作出图象,写出其单调区间. 2 解: (1)当 x∈(π ,2π ]时,y=f(x)= x-2, π 又 f(x)是偶函数,∴f(-2π )=f(2π )=2. 又 x∈[0,π ]时,y=f(x)=cosx, π π 1 ∴f(- )=f( )= . 2 3 3 ? 2 ? π ?, ?? π x ? 2 x ? ?? 2π , ? x ? ?? π ,π ?, (2)y=f(x)= ?cos x ?2 ? x?2 x ? ?π , 2π ? . ?π

y

2 1 2 ? ? 1O 2 ? ? x 2

单调增区间为[-π ,0] , [π ,2π ].单调减区间为[-2π ,-π ] , [0,π ] 。

B组 1.函数 f ( x) ? x? | sin x ? a | ?b 是奇函数的充要条件是 A. ab ? 0 B. a ? b ? 0 C. a ? b (
2


2

D. a ? b ? 0

1.D 提示:由奇函数的定义可得 2.函数 y = xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数 ( ) π 3π 3π 5π A.( , ) B.(π ,2π ) C.( , ) D.(2π ,3π ) 2 2 2 2 2.B 提示:利用导数判断 3.设 ?,? 是一个钝角三角形的两个锐角,则下列四个不等式中不正确的是
tan? tan ? ? 1 (B) sin ? ? sin ? ? 2 (A) cos? ? cos ? ? 1 (D) tan(? ? ? ) ? tan (C)

1 2

? ??
2

3.D 提示:取特值,如取 ? ? ? ?

?
6
π ; 2

4.给出下列命题: ①正切函数的图象的对称中心是唯一的; ②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为 π 、 ③若 x1>x2,则 sinx1>sinx2;

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④若 f(x)是 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T,则 f(- 其中正确命题的序号是____________. 4. ④ 提示:①正切函数的对称中心是 ( π

T )=0. 2

k? , 0)(k ? Z ) ;②y=|sinx|、y=|tanx|的周期都是 2

③正弦函数在定义域R上不是单调函数; ④ f (?

T T T T ) ? f (? ? T ) ? f ( ) ? ? f (? ) 2 2 2 2

5 . 设 函 数 f ? x ? ? cos

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 。 若 f

?

? x? ? /f? ? x是 奇 函 数 , 则

? ? __________.
5.

? 6

提示 f ? x ? ? f

/

? x ? ? cos ?

3x ? ? ? 3 sin

?

?

?? ? 3x ? ? ? 2cos ? 3x ? ? ? ? 3? ?

?

由? ?

?
3

?

?
2

? k? (k ? Z )及0 ? ? ? ? 可得
sin(2 x ? ) 4

6.已知函数 f ( x) ? a

?

(a ? 0, 且a ? 1) .

(1) 这个函数是否为周期函数?为什么? (2) 求它的单调增区间和最大值. 解:(1)

f (x ? ? ) ? a

sin[2( x ?? ) ? ] 4

?

?a

sin(2 x ? ) 4

?

? f ( x) ? f ( x) 是以 ? 为周期的周期函数.
3? ? , (k ? Z ) ,最大值为 a ; 8 ? ?

(2) 当 a ? 1 时,增区间为 ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

当 0 ? a ? 1 ,增区间为 ? k? ?

? ?

1 3? 7? ? , (k ? Z ) ,最大值为 , k? ? ? a 8 8 ?

7.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ),(?? ? ? ? 0) , y ? f ( x) 图象的一条对称轴是直线 x ? (1) 求 ? ; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3) 证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象不相切.

?
8



解:(1)

x?

?
8

是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴

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? sin(2 ?

?
8

? ? ) ? ?1 ? 3? 4

?
4

? ? ? k? ?

?
2

,k ?Z

?? ? ? ? 0,?? ? ?
(2)由(1)知 ? ? ?

3? 3? ) 由题意得 ,因此 y ? sin(2 x ? 4 4 3? ? 3? ? 2k? ? , k ? Z 所以函数 y ? sin(2 x ? ) 4 2 4

2 k? ?

?
2

? 2x ?

的单调增区间为 ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

5? ? (k ? Z ) . 8 ? ?

(3) 证明 :

y? ? [sin(2 x ?

3? 3? )]? ? 2cos(2 x ? ) ? 2 , 所以曲线 y ? f ( x) 的切线 4 4
5 ?2 ,所以直线 2

斜 率 取 值 范 围 为 [-2,2], 而 直 线 5x ? 2 y ? c ? 0 的 斜 率 为

5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象不相切.

x ?? )? (tan ? ? 2) sin x ? sin ? 的最小值是 0 ,求 8 .已知偶函数 f ( x) ? cos? sin x ? sin( f ( x) 的最大值及此时 x 的集合.
解: f ( x) ? cos ? sin x ? sin( x ? ? ) ? (tan ? ? 2)sin x ? sin ?

? sin ? cos x ? (tan ? ? 2)sin x ? sin ?
因为 f ( x ) 是偶函数,所以对任意 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) 即 sin ? cos(? x) ? (tan ? ? 2)sin(? x) ? sin ? ? sin ? cos x ? (tan ? ? 2)sin x ? sin ? 即 (tan ? ? 2)sin x ? 0 ,所以

tan ? ? 2

? sin ? ?2 ? 由 ? cos ? 解得 2 2 ?sin ? ? cos ? ? 1 ?

? 2 5 ?sin ? ? ? 5 ? ?cos ? ? 5 ? 5 ?



? 2 5 ?sin ? ? ? ? 5 ? ?cos ? ? ? 5 ? 5 ?

此时, f ( x) ? sin? (cos x ? 1) .当 sin ? ?

2 5 2 5 (cos x ? 1) 最大值为 时, f ( x) ? 5 5

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0,不合题意最小值为0,舍去;当 sin ? ? ?

2 5 2 5 时, f ( x) ? ? (cos x ? 1) 最小值为 5 5 4 5 , 5

0,符合题意,故当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 有最大值为 自变量 x 的集合为 x x ? 2k? ? ? , k ? Z

?

?

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3.2三角函数的奇偶性与单调性.doc
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三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习.doc
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