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高一数学-高一数学第二章(第2018课时)函数单调性1 精品

课 题:2.3.1 函数的单调性 1 教学目的: (1)了解单调函数、单调区间的概念:能说出单调函数、单调区间这 两个概念的大致意思。 (2)理解函数单调性的概念:能用自已的语言表述概念;并能根据函 数的图象指出单调性、写出单调区间。 (3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题:能运用函数的单 调性定义证明简单函数的单调性。 教学重点:函数的单调性的概念; 教学难点:利用函数单调的定义证明具体函数的单调性。 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析: 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一, 函数的单调性一节中 的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、 不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;在历年的高考 中对函数的单调性考查每年都有涉及; 同时在这一节中利用函数图象来研究 函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线, 它始终贯穿于整个课 堂教学过程;利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单 调性概念的深层理解,且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 按现行新教材结构体系,学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函 数、二次函数,所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现 有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教 学的优势; 由于学生在概念的掌握上缺少系统性、 严谨性, 在教学中须加强。 根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主; 同时, 本节课在教学过程中对教材中的函数 y ? x 的图象进行了删除,教学中始终以 3 y ? 3x ? 2 、 y ? x 2 、 y ? 教学过程: 一、复习引入: 1 等函数为例子进行讨论研究。 x ⒈ 复习:我们在初中已经学习了函数图象的画法 .为了研究函数的性质, 我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数 y= x 和 y= x 的图象. y= x 的 2 3 2 y 图象如图 1,y= x 的图象如图 2. y 3 y ? x2 y ? x3 ⒉ 引入:从函数 y= x 的图象(图 1)看到: x 2 图象在 y 轴的右侧部分是上升的,也就是说,当 x 在区间[0,+ ? )上取值时,随着 x 的增大,相应的 图 1 x 图2 y 值也随着增大,即如果取 x1 , x 2 ∈[0,+ ? ),得到 y1 =f( x1 ), y2 =f( x2 ),那么当 x1 < x2 时,有 y1 < y2 . 这时我们就说函数 y= f ( x) = x 在[0,+ ? )上是增函数. 2 y f ( x) 图象在 y 轴的左侧部分是下降的,也就是说, 当 x 在区间(- ? ,0)上取值时,随着 x 的增大, 相应的 y 值反而随着减小,即如果取 x1 , x 2 ∈(- ? ,0) ,得到 f ( x1 ) x1 图3 y f ( x2 ) x2 x f ( x) y1 =f( x1 ), y 2 =f( x2 ),那么当 x1 < x2 时,有 y1 > y 2 . 这时我们就说函数 y= f ( x) = x 在(- ? ,0)上是减函数. 2 f ( x1 ) x1 图4 f ( x2 ) x2 x 函数的这两个性质,就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课: ⒈ 增函数与减函数 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ⑴若当 x1 < x2 时,都有 f( x1 )<f( x2 ),则说 f(x)在这个区间上是增函数(如图 3) ; ⑵若当 x1 < x2 时, 都有 f( x1 )>f( x2 ),则说 f(x) 在这个区间上是减函数 (如图 4) . 说明:函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数 在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上不是增函数.例如函数 y= x (图 1) , 当 x∈[0,+ ? )时是增函数,当 x∈(- ? ,0)时是减函数. 2 ⒉ 单调性与单调区间 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数 y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是 这一区间上的单调函数. 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. 说明:⑴函数的单调区间是其定义域的子集; ⑵应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这 个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数) ,例如,图 5 中,在 x1 , x 2 那样的特定位置上,虽然使得 f( x1 )>f( x2 ),但显 然此图象表示的函数不是一个单调函数; ⑶除了严格单调函数外,还有不严格单调函数,它的定义类似上 y f ( x) f ( x1 ) x1 图5 f ( x2 ) x2 x 述的定义, 只要将上述定义中的 “f( x1 )<f( x2 )或 f( x1 )>f( x2 ), ” 改为 “f( x1 ) ? f( x2 ) 或 f( x1 ) ? f( x2 ),”即可; ⑷定义的内涵与外延: 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况; 外延①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变 量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增 函数,图象下降则为减函数. 三、讲解例题: 例 1 如图 6 是定义在闭区间[-5,5]上的 函数 y=f(x)的图象,根据图象说出 y=f(x) 的单调区间,以及在每一单调区间上,函数 y=f(x)是增函数还是减函数. -5 -2 x y f ( x) 1 图6 3 5 解:函数

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