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2012年高考第一轮总复习精品导学课件:9.6空间向量的坐标运算(第1课时)解析


第九章 直线、平面、简单几何体
第 讲

(第一课时)

考点
搜索

●空间直角坐标系的有关概念,空间向量的 坐标 ●空间向量的坐标运算公式,空间两点间的 距离公式

●直线的方向向量,平面的法向量高考 高考 1. 利用空间向量判断或证明线面平行、垂直.
猜想 2. 利用空间向量的坐标运算求空间角和距离.

1. 如果空间的一个基底的三个基向量互 相垂直,且长都为1,则这个基底叫做 _____________,常用{i,j,k}来表示. 单位正交基底 2. 在空间选定一点O和一个单位正交基 底{i,j,k},以O为原点,分别以i、j、k的 方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z 轴,它们都叫做________ 坐标轴 ,点O叫做原点, 向量i、j、k都叫做__________ 坐标向量 ,

坐标平面 , 通过每两个坐标轴的平面叫做_________ 分 别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 3. 在空间直角坐标系中,记右手拇指指向 _____ y轴 的正方向,如 x轴 的正方向,食指指向_____ 果中指能指向_____ z轴 的正方向,则称这个坐标 系为右手直角坐标系.
4. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一 向量a,满足a=a1i+a2j+a3k的有序实数组 (a1,a2,a3) (a1,a2,a3)叫做a的坐标,简记为a=_________.

5. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一
向量a,满足a=xi+yj+zk的有序实数组(x,y,z)

叫做点A的坐标,记作_________, A(x,y,z) 其中x,y,z
分别叫做点A的_______________________. 横坐标、纵坐标、竖坐标 6. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a+b=________________; a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) ; (λa1,λa2,λa3) λ∈R); λa=______________( a· b= a____________; 1b1+a2b2+a3b3 a∥b ?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3

(λ∈R);

a1b1+a2b2+a3b3=0 a⊥b ?______________________.

7. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则cos〈a,b〉= _________________. 2 2 2 2 2 2 8. 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则dAB= AB =
2 2 2 ( x x ) ? ( y y ) ? ( z z ) ___________________. 1 2 1 2 1 2

a1b1 ? a2b2 ? a3b3

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

9. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂 直于平面α,即a⊥α,那么向量a叫做 平面α的_______. 法向量

1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( D ) A. 1
1 B. 5

C. 3
5

D. 7

解:ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), 2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2). 因为两向量垂直, 所以3(k-1)+2k-2×2=0,解得k=
7 5

5

2.在空间直角坐标系中, 已知点A(1,0,2), B(1,-3,1),点M在y轴上, 且M到A与到B的距离相等, (0,-1,0). 则M的坐标是________

解:设M(0,y,0).
由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得y=-1,

故M(0,-1,0).

3. 已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、 C(2,-2,3),则AB与CA的夹角θ的大小是 120.. 解: AB=(-2,-1,3), CA =(-1,3,-2),
cos ? AB , CA ?? ?7 1 ? ?? 14 2 (-2) ? (-1) ? (-1) ? 3 ? 3 ? (-2) 14 ? 14

所以θ=〈 AB , CA 〉=120°.

题型1 求点和向量的坐标 1. 如图,在棱长为1的正方体

ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是D1D、DB 1 的中点,G在棱CD上,且CG= CD, 4 H是C1G的中点.以D为原点, DA、DC、DD1所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空
间直角坐标系, 求向量EF 和 FH 的坐标.

1 解:由已知可得,E(0,0, ) , F 2 3 1 1 ( , ,0), C1(0,1,1),G(0,4 ,0). 2 2 1 7 因为H是C1G的中点,所以H(0,8 , ). 2 故 EF ? ( 1 , 1 , ? 1 ), FH ? ( ? 1 , 3 , 1 ) 2 2 2 2 8 2

点评:涉及空间向量的坐标问题,首先建 立空间直角坐标系,即找到从一点出发的 三条两两互相垂直的直线,以此点为原

点,三条直线分别为三条坐标轴;然后根
据条件写出关键点的坐标;再求得向量

的坐标.

如图所示,PD⊥平面ABCD, 且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的 3 中点,cos〈DP , . AE 〉= 3 (1)建立适当的空间直角坐

标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一

点F,使EF⊥平面PCB.

解:(1)以点D为原点,以DA、DC、DP所在 直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0). 设E(1,1,m). 所以AE =(-1,1,m)
DP =(0,0,2m).

所以cos〈 DP , AE 〉 =
3 ? 2 3 1 ? 1 ? m ? 2m 2m 2

解得m=1.

所以点E的坐标是(1,1,1).

(2)因为F∈平面PAD,所以可设F(x,0,z),

则EF =(x-1,-1,z-1).
因为EF⊥平面PCB,

所以EF ? CB, EF ? PC .
由(x-1,-1,z-1)· (2,0,0)=0,解得x=1;

由(x-1,-1,z-1)· (0,2,-2)=0,解得z=0.
所以点F的坐标是(1,0,0),

即点F是AD的中点.

题型2

平行问题的判定与证明

2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、 E分别是A1D1、A1B1、C1D1的中点, 求证:BE∥平面AMN. 证明:如图建立空间直 角坐标系,设正方体 的棱长为4,则 A(4,0,0),M(2,0,4), N(4,2,4),B(4,4,0),E(0,2,4).

所以MN =(2,2,0), AM =(-2,0,4),
BE =(-4,-2,4).

设BE =x MN +y AM ,
2 x ? 2 y ? 0 解得 ? x ? ?1 则? ? ? 2 x ? ?2 ? ?4 y ? 4 ?

?y ?1

所以BE =- MN + AM,所以 BE 与 MN、AM 共面.所以BE∥平面AMN.

点评:利用坐标向量判断平行(或共面)问 题的思路是:先利用平面向量基本定理,即 向量a与两向量b、c共面的充要条件: a=xb+yc(x , y∈R). 当向量 b , c 是坐标形式时, 由待定系数法可得三个方程,两个未知数, 如果有解,则说明三向量共线 .再根据向量对 应直线的关系得到平行(或共面).

如图,已知矩形ABCD所在平 面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别 是AB、PC的中点.

求证:EF∥平面PAD.
证明:以点A为原点,

以AB、AD、AP所在
直线分别为x轴、y轴、 z轴建立直角坐标系, 设|AB|=2a,|AD|=2b,|AP|=2c.

因为EF =(0,b,c), AP =(0,0,2c),
AD =(0,2b,0), 1 所以EF = 2 ( AP +AD ), 所以 EF 与 AP 、 AD 共面.

又因为E ?

PAD,

所以EF∥平面PAD.

题型3 垂直问题的判定与证明 3. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1D1中, ∠A CB =90°,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1, 侧面AA1B1B的两条对角线的交点为D, B1C1的中点为M. 求证:CD⊥平面BDM. 证明:如图建立直角坐标系, 则B( M(
2

,0,0),B1( 2 ,1,0),
2 2
1 , 2

A1(0,1,1),D(
2 ,1,0). 2

1 , 2

),

所以CD =(

1 1 DM =(0, ,- ). 2 2 于是有 CD ? A1 B ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 2 2 2 1 CD ? DM ? ?0? ?4 ? 0 2 4

1 2 , 2 2

1 ,2

A1 B =( 2 ,-1,-1), ),

所以CD⊥A1B,且CD⊥DM. 因为A1B和DM为平面BDM内两条相交直线,

所以CD⊥平面BDM.

点评:利用空间向量的坐标运算证空 间两直线垂直问题的一般步骤是:先建立 空间直角坐标系,然后写出 ( 或求出 ) 关键 点的坐标,再计算出直线所对应向量的坐 标,最后计算其数量积,并判断是否为零.

如图所示,已知在矩形ABCD中, AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD,

且PA=1.
(1)试建立适当的坐标系,

并写出点P、B、D的坐标;
(2)问当实数a在什么范围

时,BC边上能存在点Q,
使得PQ⊥QD?

解:(1)以A为坐标原点,AB、AD、AP
所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系,

如图所示.
因为PA=AB=1,BC=a, 所以P(0,0,1),B(1,0, 0),D(0,a,0). (2)设点Q(1,x,0), 则DQ=(1,x-a,0), QP =(-1,-x,1).

2 由DQ· QP =0,得x -ax+1=0.

显然当该方程有实数解时, BC边上才存在点Q, 使得PQ⊥QD,故Δ=a2-4 ≥ 0. 因为a>0,故a的取值范围为[2,+∞).

1. 在给定的空间直角坐标系中,对任一 向量a,据空间向量基本定理知,a的坐标 是唯一存在的. 2. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间 任一点P,过点P作yOz平面的平行平面,交 x轴于点A,则点P的横坐标 | x |?| OA|,且当
OA 与i方向相同时,x>0;反之,x<0.同理

可确定点P的纵坐标y和竖坐标z.

3. 在空间直角坐标系中,求点的坐标 主要有三种方法:一是几何法,即通过点P 到三个坐标平面的距离来确定点 P的坐标; 二是待定系数法,即首先设出点P的坐标, 再结合条件建立方程组求待定系数的值, 进而得到点P的坐标;三是向量运算法,即 把求点P的坐标转化为求向量 OP的坐标.

4. 若点P在直线AB上,设 AP ? λ PB (λ ≠1),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则利用待定系数法可得点P的坐标为

(

x1 ? λx2 1? λ

y1 ? λy2 z1 ? λz2 , , 1? λ 1? λ

),这就是空间有向

线段定比分点公式,可用来求点的坐标.

5. 在空间图形中,若有三条两两互相 垂直的直线,或有一条直线垂直于一个平 面,则可考虑利用空间向量的坐标运算来 解题,因为这种背景图形便于建立空间直 角坐标系 .判断线线平行或诸点共线,转化 为证a∥b (b≠0) ? a=λb;证明线线垂直, 转化为证 a⊥b a· b=0. 若 a=(a1 , a2 , a3) , b=(b1 , b2 , b3) , 则 转 化 为 计 算 a1b1+a2b2+a3b3=0.


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