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1.1.2 集合间的基本关系(高中数学课件)


1.1.2

集合间的基本关系

草原上,蓝蓝的天上白云飘,白云下面马儿跑.

如果草原上的枣红马组成集合A,草原上的所有马
组成集合B,那么集合A与集合B的关系是怎样的?

怎样来表示这种关系?

探究点1 子集
观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关 系吗? ①A={1,3,4}, B={1,2,3,4,5}; ②A={x|x是两条边相等的三角形},

B={x|x是等腰三角形};
①,②中集合A中的每一个元素都是集合B中的 元素,即集合A与集合B有包含关系.

子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一 个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包 含关系,称集合A为集合B的子集,记作 A ? B (或B ? A )
读作:“A含于B”(或“B包含A”) 符号语言: 任意x ? A ,有x ? B, 则 A ? B 思考:
如果 ,则A必须符合 以下什么条件:

(1)A中的元素都是B中的元素 ;
(2)card(A) ≤ card(B).

为了更直观的表达集合间的关系,我们常用图 示的方法来更清晰的展现:

用Venn图表示集合的包含关系
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表 集合,这种图称为Venn图.

即时训练:
设A={正方形}, B={矩形}, C={平行四边形}, D={梯形}.下列关系不正确的是( C ) A.A C.C B D B.B D.A C C

【提示】用Venn图表示四个集合的关系.

如何用子集的概念对两个集合的相等作进一步 的数学描述? 探究点2 集合相等 比较(1)(2)中两个集合有何关系? (1)A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}. (2)A={x|x是三条边相等的三角形}, B={x|x是三个内角相等的三角形}. (1)集合B中含有不属于集合A的元素. (2)集合A中的元素和集合B中的元素相同.

集合相等 如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集

合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素
是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作 A=B.

符号语言:若A ? B, B ? A ,则A ? B.
判断正误 (1)若两个集合相等,则所含元素完全相同,与元
素的顺序无关. (√ ) (2)如果两个集合是无限集,则这两个集合不可

能相等.

(× )

思考:对于一个集合A,在它的所有子集中,去掉集合 A本身, 剩下的子集与集合A的关系属于“真正的包 含关系”, 这种包含关系我们该怎样来更精确地描 述呢? 【提示】可以引入“真子集”的概念来描述这种 “真包含”关系.

探究点3

真子集

如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我们称
集合A是集合B的真子集, 记作

?A ) B 或( A ? B ? ?

读作:“A真含于B(或“B真包含A”).
提醒:子集与真子集的区别
当“ ”时,允许A=B或

A? ?B

成立;当“ A

? ?B



时A=B不成立.所以若“

”,则“ A

? ?B

”,不一定成立.

没有任何元素哎!是怎样的集合?

思考:A ? ? x ? R x 2 ? 1 ? 0? , B ? ? x x ? 2?

集合A是集合B的子集吗?

空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? ,
并规定:空集是任何集合的子集。
空集是任何非空集合的真子集,
即? ? ? B,(B ≠ ?)

例如:方程x2+1=0没有实数根, 所以方程x2+1=0的实数根组 成的集合为?

? 与{0}的区别 提醒:

(1)? 是不含任何元素的集合; (2){0}是含有一个元素的集合, ?? ?{0}.

即时训练:
以下六个关系式:① ② ⑥ ∈{ ={ } ③ {0} ④0 { } ⑤ ≠{0}

},其中正确的序号是: ①②③④⑤

子集的性质
问题:根据子集的概念,结合Venn图,你能得到子集的一些 特性吗? (1)任何一个集合都是它本身的子集.即 (2)空集是任何集合的子集( 合的真子集. (3)对于集合A, B, C, 如果 那么 . );是任何非空集 ,且 ,

即时训练:
判断集合A是否为集合B的子集,若是则在( 里打“√”,若不是则在( ① A ? ?1,3,5? , B ? ?1, 2,3, 4,5,? ② A ? ?1,3,5?, B ? ?1,3,6,9? ③A={0}, B ? ?x x 2 ? 2 ? 0? ④A={a,b,c,d}, )里打“×”: (√ ) (× ) (×) (√ ) )

B={d,b,c,a}

例1

写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些

是它的真子集. 解:集合{a,b}的所有子集为: ? ,{a},{b},{a, b}. 真子集为:? ,{a},{b}.

【总结提升】 写集合子集的一般方法:先写空集,然后按照集 合元素从少到多的顺序写出来,一直到集合本身. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它 的真子集.

【变式练习】 写出集合 ?a, b, c? 的所有子集,并指出它的真子集. 解:集合{a,b,c}的所有子集为 ?,?a? ,?b? , ?c? ,

?a, b? , ?a, c?,?b, c?,?a, b, c? . 真子集为 ?,?a? ,?b? ,?c? , ?a, b? , ?a, c? , ?b, c?.
一般地,若集合A含有n个元素,则A的子集共有2n 个,A的真子集共有2n-1个.

例2

已知 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

?

?

,

B ? ? x ax ? 1 ? 0? ,若B ? A, 求实数a的值.
解: A ? ??1,3?
(1)当 a (2)当

? 0 时, B ? ? 满足 B ? A .
?1 ? . 时, B?? ? ?a ?

a?0

1 若 B ? A ,则 ? ?1 或 1 ? 3 , a 1 a 即 a ? ?1 或 a ? . 3 1 综上 a ? 0 或 ?1 或 . 3

【变式练习】 设集合 A ? ?1, a, b? , B ? ?a, a 2 , ab? ,

若 A ? B ,求实数 a , b 的值.
? a 2 ? 1, 解:由 ? 或 ? ab ? b.
? a 2 ? b, ? ? ab ? 1.

a ? 1, ?a ? ?1, ? 得 ? 或 ? (舍去). ?b ? 0. ?b ? 1.

所以 a ? ?1, b ? 0.

思考交流 1.包含关系 与属于关系 有什么区别?

前者为集合与集合之间的关系,后者为元素与集

合之间的关系.
2.集合 A ? B 与集合 有什么区别?

1.已知集合M={x|x-2<0},N={x|x<a},若M?N,则
实数a的取值范围是( A )

A.[2,+∞)

B.(2,+∞)

C.( -∞,0)

D.(-∞,0]

【解析】集合M中x<2,集合N中x<a,又因为M?N,所以M中 x<2≤a,因此a≥2.即选A.

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5, x∈N },则满足条件A?C?B的集合C的个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4} 因为A?C?B, 所以满足条件的集合C有{1,2}, {1,2,3}, {1,2,4},{1,2,3,4}共4个.

3. 已知集合M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|N? 2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是________. ? M 【解析】因为y=x2-2x-1≥-2,所以M={y|y≥-2} , 所以N ? M. ? 4.集合M={1,2,3,4,5}的子集个数是_______. 32 【解析】因为含有n个元素的集合的子集共有: 2n个, 所以集合M={1,2,3,4,5}的子集个数为25=32.

5. 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m1},若B?A,求实数m的取值范围.

【分析】若B?A,则B=?或B≠?,故分两种情况讨论.
【解析】当B=?时,有m+1≥2m-1,得m≤2,
m+1≥-2, 解得 2<m≤4. 2m-1≤7, m+1<2m-1,

当B≠? 时,有

综上:m≤4.

1.本节课的知识网络:
相 等 A?B
真子集 A ? ? B

子 集 A?B

性质

空 集 (? )

性质

2.回顾本节课你有什么收获?
(1)子集: A?B ? 任意x∈A,则x∈B.
B

(2)真子集: A?

? A?B,

但存在 x0 ∈B且 x0 ?A. (3)集合相等:A=B? A?B且B?A.

(4)性质: ①??A,若A非空,则? ? ? A.
②A?A. ③A?B,B?C?A?C.


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