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高中数学选修2-2(人教A版)第三章数系的扩充与复数的导入3.2知识点总结含同步练习及答案

高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算

一、学习任务 1. 能进行复数代数形式的四则运算. 2. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 3. 熟练掌握复数的运算,培养运算能力.

二、知识清单
复数的四则运算 共轭复数

三、知识讲解
1.复数的四则运算 描述: 复数的加法运算 设 z1 = a + bi ,z2 = c + di 是任意两个复数,那么

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
复数的减法运算 设 z1 = a + bi ,z2 = c + di 是任意两个复数,那么

(a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d)i.
复数的乘法运算 设 z1 = a + bi ,z2 = c + di 是任意两个复数,那么

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac ? bd) + (ad + bc)i .
复数的除法运算 复数的除法法则是:(a + bi) ÷ (c + di) = 例题: 完成下列各小题:

c2 + d

ac + bd
2

+

c2 + d 2

bc ? ad

i(c + di ≠ 0).

1 1 i,z2 = ? 2i,则 z1 + z2 是多少? 2 2 (2)复数 z1 = a2 ? 2 ? 3ai,z2 = a + (a2 + 2)i,若 z1 + z2 为纯虚数,求 a . 1 1 5 5 解:(1)原式 = (2 + ) ? ( + 2) i = ? i . 2 2 2 2 2 2 + = ( + a ? 2) + ( ? 3a + 2)i
(1)设复数 z1 = 2 ?

(2)z1 + z2 = (a2 + a ? 2) + (a2 ? 3a + 2)i. 解得 a = ?2 .

(

)

(

)

2 因为 z1 + z2 为纯虚数,所以 { a2 + a ? 2 = 0,

a ? 3a + 2 ≠ 0,

计算: (1)(4 ? 3i)(?5 ? 4i); (2)(

(3)(1 + 2i) ÷ (3 ? 4i). 解:(1)原式 = ?20 ? 16i + 15i + 12i 2 = ?32 ? i;

1 1 √3 √3 i ? ) (? + i) ; 2 2 2 2
2

√3 (2)原式 = ( i? 2 1 + 2i (3)原式 = = 3 ? 4i 1 √3 计算 (? + i) 2 2
解:法一:原式
4

3 1 1 1 √3 √3 i+ = ? ? i; ) = i2 ? 4 2 4 2 2 2 (1 + 2i)(3 + 4i) ?5 + 10i 1 2 = = ? + i. 25 5 5 (3 ? 4i)(3 + 4i)
的值.
2

1 3 1 1 3 1 √3 √3 √3 √3 =( ? i? = ? + i. i ? ) = (? ? i) = + 4 2 4 2 2 4 2 4 2 2
法二:设 ω = ? 复数

2

1 1 √3 √3 + i ,则 ω 3 = 1,所以原式 = ω 4 = ω 3 ? ω = ? + i . 2 2 2 2

3+i i2

(i 为虚数单位)的实部等于______.

解:?3

3+i i2

=

3+i = ?3 ? i,故其实部为 ?3. ?1

2.共轭复数 描述: 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number).记复数 z = a + bi 的共轭复数为 z ? = a ? bi .虚部不等于 0 的两个共轭 复数也叫做共轭虚数.任一实数的共轭复数仍是它本身. 两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方,即 z ? z ? = |z| 2 = |z ?| 2 . 例题: 已知 x, y ∈ R,若 x 2 + 2x + (2y + x)i 和 3x ? (y + 1)i 是共轭复数,求复数 z = x + yi 和 ?. z
2 解:根据共轭复数的定义得 { x + 2x = 3x,

解得 { x = 0, 或 { x = 1,

2y + x = y + 1.

所以 z = i, z ? = ?i 或 z = 1,z ? = 1.

y = 1,

y = 0.

设 z 的共轭复数为 z ? ,若 z + z ? = 4 ,z ? z ? = 8 ,则

A.i B.?i C.±1 解:D 设 z = x + yi (x, y ∈ R),则 z ? = x ? yi . 2 2 由题意知 2x = 4 且 x + y = 8 ,所以 x = 2,y = ±2,所以

? z 等于( z D.±i



(2 ± 2i)2 ? ?2 z z = = = ±i. ? z z?z 8

四、课后作业

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1. 在复平面内,复数 z = i (1 + 2i) 对应的点位于 ( A.第一象限
答案: B 解析:

)
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

z = ?2 + i . z 2 ? 2z = ( z?1 B.?2i )
C.2 D.?2

2. 已知复数 z = 1 ? i ,则 A.2i
答案: B 解析:

(1 ? i)2 ? 2 (1 ? i) ?2 z 2 ? 2z = = = ?2i . z?1 1?i?1 ?i 1 √3 + i ,则 1 + ω = ( 2 2
B.ω 2

3. 设复数 ω = ? A.?ω
答案: C

)
C.?

1 ω

D.

1 ω2

4. 已知 a, b ∈ R,且 2 + ai,b + 3i(i 是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根,那么 a ,

b 的值分别是 (
A.a = ?3, b = 2
答案: A 解析: 因为

)
B.a = 3, b = ?2 D.a = 3, b = 2

C.a = ?3, b = ?2

2 + ai,b + 3i 是实系数一元二次方程的两个根,所以 2 + ai,b + 3i 互为共轭复数,则 a = ?3 ,b = 2 .

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