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2015年5月厦门市高中毕业班质检理数word版含答案


2015 年厦门市高三适应性考试 数学(理科)试卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷指定位置上作答,答题前,请在答题卷 的密封线内填写学校、班级、考号、姓名. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试 时间 120 分钟.

第Ⅰ 卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 复数 i(1 ? i) ( i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i 2. 随机变量 ? ~ N (0,1) ,则 P ?1 ? ? ? 2 ? = ( 参 考 数 据 : P( ? ? ?

A.0.0215

B. 0.1359

C. 0.1574 D. 0.2718 ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P( ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ,

P( ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974 )
x2 y2 ? ? 1 的右焦点和上顶点,则椭圆的离心率等于 a2 b2 5 2 5 5 1 A. B. C. D. 5 5 2 2 y 4. 已知函数 f ? x ? 的图像如图所示,则 f ? x ? 的解析式可能是
3. 直线 y ? ?2 x ? 2 恰好经过椭圆

1 ? x3 2x ?1 1 C. f ? x ? ? ? x3 2x ?1 A. f ? x ? ?
5.已知实数 x, y 满足 ?

B. f ? x ? ?

1 ? x3 2x ?1 1 D. f ? x ? ? ? ? x3 2x ?1

O

x

? y ? x2 , ?x ? y ? 2 ? 0

,则 z

? x ? y 的取值范围是
1 C.[? , 0] 4 3 D.[ , 6] 4

A.[0, 6]
6. 命题 p : 函数 y ? x ?

1 B.[? , 6] 4

2在 9 ? 命题 q : ?1, 4? 上的值域为 ? log 1 ? a ? 1? ? log 1 a ? a ? 0 ? . 3, ? ; ? x ? 2? 2 2
B. D.

下列命题中,真命题的是 A.

p?q

p?q

C



? ?p ? ? q
?

p ? ? ?q ?
p

7. 已知数列 {an } 满足: 当 p ? q ? 11 p, q ? N * , p ? q 时,a p ? aq ? 2 , 则 {an } 的前 10 项 和 S10 ?

?

A.31

B.62

C.170

D.1023
y
B C α O

8.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 B , C 在圆 O 上,点 B 的坐标 为 (?1, 2) ,点 C 位于第一象限, ?AOC ? ? .若 BC ? 5 ,

A

x

则 sin

?
2

cos

?
2

? 3 cos 2

A. ?

2 5 5

3 = 2 2 5 B. ? 5 ?

?

C.

5 5

D.

2 5 5
Q C1

9. 如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a, 动点 M、N、Q 分别在线段 AD1 , B1C , C1 D1 上. 当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时, 三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于

D1

A1 M

B1

1 2 A. a 2 2 2 C. a 4

1 2 B. a 4 3 2 D. a 4
2

N C

D

A

正视方向
B

10.如图所示,由直线 x ? a, x ? a ? 1? a ? 0 ? , y ? x 及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应 小矩形与大矩形的面积之间,即 a ?
2

图1

图2

?

a ?1

a

x 2 dx ? (a ? 1) 2 .类比之,
? 1 恒成立, 2n ? 1
O y

n ?1 n ? 2 则实数 A 等于
A.

?n ? N* , 1 ? 1 ?
1 2 3 5

?

1 1 1 ? A? ? ? 2n n n ?1
C. ln 2 D. ln

B.

5 2

a a+1

x

第Ⅱ 卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.阅读如图所示的程序,该程序输出的结果是 12.设 1 ? x 5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? 则 a1 ? a2 ? ▲ . a=0 S=1 WHILE a<3 S=S*3 a=a+1 WEND PRINT S END

? a5 ( x ? 1)5 ,

? a5 ?





13.一个口袋内有 5 个不同的红球,4 个不同的白球.若取一个红球记 2 分, 取一个白球记 1 分,从中任取 4 个球,使总分不少于 7 分的取法有 ▲ 种. 14.如图,在 △ABC 中, AD ? BC ? 0 , BC ? 3BD ,过点 D 的直线分别交 直线 AB,AC 于点 M,N.若 AM ? ? AB, AN ? ? AC ? ? ? 0, ? ? 0 ? , 则 ? ? 2 ? 的最小值是 ▲ .
M B A N D C

15.十八世纪,法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题:在平面上画有一 组间距为 a 的平行线,将一根长度为 l 的针任意掷在这个平面上,求得此

针与平行线中任一条相交的概率 p ?

2l

?a

( ? 为圆周率).

已知 l ? 3.14, a ? 6 , ? ? 3.14 ,现随机掷 14 根相同的针(长度为 l )在这个平面上,记这 些针与平行线(间距为 a )相交的根数为 m ,其相应的 概率为 P(m) .当 P(m) 取得最大值时, m ? ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 如图,平面直角坐标系 xOy 中, ?ABC ? 为 3. (Ⅰ)求 AB 的长; (Ⅱ) 若函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0, ? ? 0, ? ?

?

3

, ? ADC

p , AC ? 7 , ?BCD 的面积 6

?
2

) 的图象经过

A, B, C 三点,其中 A, B 为 f ? x ? 的图象与 x 轴相邻的两个交点, 求函数 f ( x) 的解析式.

y
C

D

B

O

A

x

17. (本小题满分 13 分) 如图,梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F 分别在线段 BC, AD 上,EF∥AB.将四边形 ABEF 沿 EF 折起,连接 AD,AC. (Ⅰ)若 BE=3,在线段 AD 上一点取一点 P,使 AP ?

1 PD ,求证:CP∥平面 ABEF; 2

(Ⅱ)若平面 ABEF⊥平面 EFDC,且线段 FA,FC,FD 的长成等比数列,求二面角 E-AC -F 的大小.

A

A

F
D

P

D

B F D

B

E

C

E

C

18. (本小题满分 13 分) 某茶厂现有三块茶园,每块茶园的茶叶估值为 6 万元.根据以往经验:今年 5 月 12 日至 14 日是采茶的最佳时间,在此期间,若遇到下雨,当天茶园的茶叶估值减少为前一天的 一半.现有两种采摘方案: 方案①:茶厂不额外聘请工人,一天采摘一块茶园的茶叶; 方案②:茶厂额外聘请工人,在 12 日采摘完全部茶叶,额外聘请工人的成本为 3.2 万元.

根据天气预报,该地区 5 月 12 日不降雨,13 日和 14 日这两天降雨的概率均为 40%.每天 是否下雨不相互影响. (Ⅰ)若采用方案①,求茶厂 14 日当天采茶的预期收益; (Ⅱ)从统计学的角度分析,茶厂采用哪种方案更合理. 19. (本小题满分 13 分)
2

如图, 抛物线 E: y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点为 F , 其准线 l 与 x 轴交于点 A , 过抛物线 E 上的动点 ..P 作 PD ? l 于点 D . 当 ?DPF ?
D

y P

2? 时, PF ? 4 . 3

(Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)过点 P 作直线 m ? DF ,求直线 m 与抛物线 E 的交点个数; (Ⅲ)点 C 是 ?DPF 的外心,是否存在点 P ,使得 ?CDP 的面积最小. 若存在,请求出面积的最小值及 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax (e 为自然对数的底数). (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;
x

A O

F x

(Ⅱ) 定义: 函数 F ( x) 的定义域为 D , 若 ?x0 ? D , 使 F ( x0 ) ? x0 成立, 则称 x 0 为 F ( x) 的不动点. 当 a ? 1 时, (ⅰ)证明:函数 y ?

1 ( x ? 0) 存在唯一的不动点 x0 ,且 x0 ? (ln 2,1) ; f ( x)
1 (n ? N * ) , f (an )

(ⅱ)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ln 2, an ?1 ?

求证:?n ? N ,
*

f (a2 n ) ? f ( x0 ) 1 ? f ( x0 ) ? x0 ? 1 , ( x ? 0) (其中 x0 为 y ? a2 n ? x0 f ( x)

的不动点).

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分, 如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

? a 2? ? , A 的一个特征值 ? ? 2 . ? ?1 4 ? (Ⅰ)求矩阵 A ; (Ⅱ)在平面直角坐标系中,点 P (1,1) 依次 在矩阵 A 所对应的变换 ? 和关于 x 轴的反射 ..
已知矩阵 A ? ? 变换 ? 的作用下得到点 P? ,写出复合变换 ? ? ? 的变换公式,并求出点 P? 的坐标.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? 4sin ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,

建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , ( t 为参数). ? y ? ?1 ? t sin ?

(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)若直线 l 和曲线 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 3 2 ,求直线 l 的斜率.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 | x ? 1| ?2 x ? m .

1 1 1 ? ? ? 3abc 的最小值为 m . a 3 b3 c 3

2015 年厦门市高中毕业班适应性考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题: 1 题号 C 答案 二、填空题: 题号 答案 11 27 12 31 13 45 14 15 4或5 2 B 3 A 4 A 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 C

8 3

三、解答题: 16.本题考查解三角形和三角函数图象及性质等知识,考查学生运算求解能力、数据处理能 力及推理论证能力,考查学生数形结合思想、函数与方程思想及转化与化归思想,属于 中档偏易题.本题满分 13 分.

p p 2p ,∴ ? BCD , ? CBD , BC = BD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 6 6 3 3 1 2p 又∵ ?BCD 的面积为 3 ,∴ SD BCD = BD 鬃 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 = BC 2 = 3 ,· BC sin 4 2 3 ∴ BC = 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 p 在 D ABC 中, AC ? 7 , ? ABC , 3 p 由余弦定理得: AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB BC cos , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 3 1 即 7 = AB 2 + 4 - 2创2 AB ,整理得 AB 2 - 2 AB - 3 = 0 , 2 ∴ AB = 3 ,或 AB = - 1 (舍去),∴ AB 的长为 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, A(2, 0), B (- 1, 0), C (0, 3) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
解: (Ⅰ)∵ ? ABC ∵函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0, ? ? 0, ? ? 为 f ? x ? 的图象与 x 轴相邻的两个交点, ∴函数 f ( x) 的半个周期 ∴T = 6 =

p , ? ADC 3

?
2

其中 A, B ) 的图象经过 A, B, C 三点,

T 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 = 3 ,对称轴为 x = ,· 2 2

2p , w

p ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 1 p p p ∴ ? j = + k p , k Z ,∴ j = + k p , k Z , 2 3 2 3 ? p 又∵ ? ? ,∴ j = , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 3
∵ ? ? 0 ,∴ w =

p p x+ ), 3 3 p 3 又∵ f (0) = M sin = M= 3 2
∴ f ( x) = M sin(

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 ,∴ M = 2 , ·

∴函数 f ( x) 的解析式是 f ( x) = 2sin(

p p · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 x+ ) . · 3 3

17.本题以翻折的图形为载体,考查空间点、线、面位置关系、线面平行证明及求二面角大 小等有关基础知识,同时结合考查数列知识.本题考查空间想象能力、运算求解能力和 推理论证能力,考查数形结合和化归与转化等数学思想方法. 本题满分 13 分. A 解: (Ⅰ)证法一:在梯形 ABCD 中, AD∥BC, EF∥AB ,BE=3,∴AF=3, P Q 又 AD=6,BC=4,∴EC=1,FD=3, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

1 在线段 AF 上取点 Q,使 AQ ? QF ,连接 PQ, QE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 F D 1 1 ∵ AP ? PD ,∴ PQ // DF , 2 3 1 E C ∵ CE // DF ,∴ CE / /PQ , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 3 A ∴四边形 ECPQ 为平行四边形,∴ CP // EQ , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 P ∵ CP ? 平面 ABEF, EQ ? 平面 ABEF,∴CP∥平面 ABEF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
B 证法二:同证法一,EC=1,FD=3, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

B

延长 DC 交 FE 的延长线于点 M,连接 AM ,则 MC ? ∵ AP ?

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 CD , · F D 2

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 PD ,∴ CP / / MA , · 2 E C ∵ CP ? 平面 ABEF, MA ? 平面 ABEF,∴CP∥平面 ABEF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
证法三:同证法一,EC=1,FD=3, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 M 在线段 DF 上取点 R,使 FR ? ∵ AP ?

1 RD ,连接 PR,CR, 2

A P

1 B PD ,∴ PR // AF , 2 ∵PR ? 平面 ABEF, AF ? 平面 ABEF,∴ PR∥ 平面 ABEF; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 R F D 1 ∵FR ? RD , ∴EC ? FR ? 1, 2 ∵EC / / FR , ∴ 四边形 ECRF 为平行四边形,∴CR // EF , E C ∵CR ? 平面 ABEF, EF ? 平面 ABEF,∴ CR∥ 平面 ABEF; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∵PR CR ? R ,∴ 平面 PRC // 平面 ABEF , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 CP ? ∵ 平面 PRC,∴ CP∥ 平面 ABEF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
(Ⅱ )解法一:在梯形 ABCD 中,AB⊥ AD,AD∥ BC,∴ EF⊥ AF, EF⊥ FD, ∵ 平面 ABEF⊥ 平面 EFDC,平面 ABEF 平面 EFDC= EF ,AF ? 平面 EFDC, ∴ AF⊥ 平面 EFDC, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 设 AF ? x(0 ? x ? 4) , ∵ EF=BA=2,∴FD ? 6 ? x, EC ? 4 ? x , ∴FC ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 4 ? (4 ? x) 2 ,· ∵ 线段 AF,FC,FD 的长成等比数列,∴FC 2 ? AF ? FD ,

4 ? (4 ? x) 2 ? x(6 ? x) ,化简得 x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 , ∴x ? 2 或 x ? 5 (舍) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 以 F 为原点,FE,FD,FA 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 F (0, 0, 0) , E (2, 0, 0) , C (2, 2, 0) , D (0, 4, 0) , A(0, 0, 2) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
∴EC ? (0, 2, 0) , EA ? (?2, 0, 2) , 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 ACE 的一个法向量,
B A

z

P

? ?2 y1 ? 0, ?n1 ? EC ? 0, 则? ,即 ? , ? 2 x ? 2 z ? 0 F n ? EA ? 0 ? 1 1 ? D ? 1 y 取 z1 ? 1 ,则 x1 ? 1, y1 ? 0 ,∴n1 ? (1, 0,1) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
又 FC ? (2, 2, 0) , FA ? (0, 0, 2) , 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 ACF 的一个法向量, 则?

x

E

C

? ?n2 ? FC ? 0,

? ?n2 ? FA ? 0 A 取 x2 ? 1 ,则 y2 ? ?1, z2 ? 0, ∴n2 ? (1, ?1, 0) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
∴cos ? n1 ? n2 ??

,即 ?

?2 x2 ? 2 y2 ? 0, , 2 z ? 0 ? 2

n1 ? n2 1 1 ? ? , | n1 | ? | n2 | 2? 2 2

P B

∵ 二面角 E-AC-F 为锐角, ∴ 二面角 E-AC-F 为 600 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 F 解法二:同解法一得 x ? 2 或 x ? 5 (舍) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 D H AF ? 2, EC ? 2 , G ∵EF ? 2 ,∴EF ? EC ,
E C 设点 G 为 FC 的中点,连接 EG ,则 EG ? FC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ∵ AF⊥ 平面 EFDC, AF ? 平面 AFC,∴ 平面 AFC ? 平面 EFDC, ∵ 平面 AFC 平面 EFDC= FC ,∴ EG⊥ 平面 AFC, ∵ AC ? 平面 AFC , ∴ EG⊥ AC,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 过 G 作 GH⊥ AC 交 AC 于 H,连接 EH, ∵ EG GH=G, ∴ AC⊥ 平面 EGH, ∵ EH ? 平面 EGH,∴ AC⊥ EH, ∴?EHG 是二面角 E-AC-F 的平面角, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

在 Rt ?CEF 中, EG ?

2,
EH ? 2 2 ?2 2 6 , ? 3 2 3

在 Rt ?ACE 中 , AE ? 2 2, EC ? 2 , ∴ AC ? 2 3 , ∴sin ?EHG ?

EG 2 3 ? ? , EH 2 6 2 3 ∵?EHG 为锐角, ∴?EHG ? 600 ,即二面角 E-AC-F 为 600 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

18.本题考查概率概念及其意义,独立事件,对立事件和互斥事件的概率,随机变量的分布 列及数学期望等相关知识;考查运算求解能力,数据处理能力和应用意识,考查转化与 化归和必然与或然等数学思想方法. 本题满分 13 分. 解:(Ⅰ )设茶厂 14 日当天采茶的预期收益为 ? 万元,则 ? 的可能取值为 6,3,1.5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

3 3 9 3 2 2 3 12 2 2 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 P(? ? 6) ? ? ? , P(? ? 3) ? ? ? ? ? , P(? ? 1.5) ? ? ? 5 5 25 5 5 5 5 25 5 5 25

所以 ? 的分布列为

?
P
所以 ? 的数学期望为 E (? ) ? 6 ?

6

3

1.5

9 25

12 25

4 25

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

9 12 4 ? 3 ? ? 1.5 ? ? 3.84 , 25 25 25

即茶厂 14 日当天采茶的预期收益为 3.84 万元. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ )茶厂若采用方案① ,设茶厂第二天采茶的预期收益为? 万元,则? 的可能取值为 6 和 3, 因为 P (? ? 6) ?

所以? 的分布列为

3 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 , P(? ? 3) ? , · 5 5

?
P
所以? 的数学期望为 E? ? 6 ?

6 4 5

3

1 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

3 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 3 ? ? 4.8 , · 5 5 所以茶厂若采用方案① 则其采茶总收益为 y1 ? 6 ? 4.8 ? 3.84 ? 14.64 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
茶厂若采用方案② 则其采茶总收益为 y2 ? 6 ? 3 ? 3.2 ? 14.8 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 因为 14.64<14.8,所以茶厂应该采用方案② 收益高,风险小,和谐社会,提供就业岗位. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 19.本题考查抛物线定义,直线方程,直线方程与抛物线、圆的位置关系等知识,考查学生 运算求解能力、推理论能力、抽象概括能力,考查数形结合、函数与方程、化归与转化 等数学思想. 本题满分 13 分. 解:(Ⅰ)过点 P 作 PQ ? x 轴于点 Q , 当 ?DPF ?

? ?FPQ ?

?
6

2? 时, PF ? 4 ,? PF ? PD ? 4 , 3
y D P

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ,·

Rt ?PQF 中, QF ? PF ? sin

?

6 DP ? PF .? AF ? DP ? QF ? 6 ,即 p ? 6 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
A O Q F x

? 抛物线 E 的方程: y 2 ? 12 x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
(也可由余弦定理求得 DF ? 4 3 ,在 Rt ?DAF 中, AF ? 6 ,即 p ? 6 ) (Ⅱ) 解法一:当点 P 为原点 O 时,直线 m 的方程: x ? 0 与抛物线 E 切于点 O ; 设 P ? x0 , y0 ? ,则 D ? ?3, y0 ? , F ? 3, 0 ? , k DF ? ? 直线 m : y ? y0 ?

6 y0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ,? km ? ,· y· y0 6
D P

6 ? x ? x0 ? ,化简得: 6 x ? y0 y ? y0 2 ? 6 x0 , y0
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 代入 y 2 ? 12 x 得 y ? 2 y0 y ? y0 ? 6 x0 , · C n
2
O F x ? y ? 2 y0 y ? y0 ? 0 ,? y ? y0 ( ? ? 0 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ,· m ? 直线 与抛物线 E 有且只有一个交点 P .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

?

?

2

2

A

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 解法二:由(Ⅰ)得 A ? ?3, 0 ? , F ? 3, 0 ? ,设 P 3t , 6t ,则 D ? ?3, 6t ? , ·
2

?

?

1 1 k DF ? ?t ,? km ? ,直线 m : y ? 6t ? ? x ? 3t 2 ? ,即 x ? ty ? 3t 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 t t · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 代入 y 2 ? 12 x 中,得 y 2 ? 12ty ? 36t 2 ? 0 , · ? y ? 6t ,? 直线 m 与抛物线 E 有且只有一个交点 P .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x0 ? 3 2 (Ⅲ)解法一:由已知得 DP 的中垂线: x ? ,与直线 m : 6 x ? y0 y ? y0 ? 6 x0 联立, 2 2 2 y0 ? 3 x0 ? 9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 得到圆心 C 的纵坐标 yc ? ,· y0

? BC ? y0 ? yc ? y0 ?

y0 2 ? 3x0 2 ? 9 y 2 ? 36 ? 0 , y0 4 y0
y0 2 ? 36 ? ? 1 1 3 1296 ? BC ? DP ? ? y0 ? 72 y0 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ,· 2 96 y0 96 y0
2

又 DP ? x0 ? 3 ,则 S ?CDP
3

不妨设 f ? y0 ? ? y0 ? 72 y0 ?
2

1296 ( y0 ? 0 ) , y0

由 f ? ? y0 ? ? 0 得 0 ? y0 ? 2 3 ,由 f ? ? y0 ? ? 0 得 y0 ? 2 3 ,

1296 3 y0 ? 2 3 f ? ? y0 ? ? 3 y0 ? 72 ? 2 ? y0

?

?? y

2

0

?2 3
2

?? y

2

0

? 36 ?

y0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ,·

? 当 y0 ? 2 3 时,函数 f ? y0 ? 有最小值; ? 当点 P 的坐标为 1, 2 3 或 1, ?2 3 时, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 S ?CDP ? 4 3 取得最小值. · 解法二:由(Ⅱ)得 DP 的中垂线: x ?

?

? ?

?

3t 2 ? 3 ,又直线 m : x ? ty ? 3t 2 垂直平分 DF , 2

? 圆心 C 的纵坐标: yC ?

9t 2 ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ,· y 2t P D 9t 2 ? 3 3t 2 ? 3 2 ? BC ? 6t ? ? ,又 DP ? 3t ? 3 , 2t 2t
则S
CDP
C n 3t 2 ? 3? ? 1 9 1 A ? BC ? DP ? ? t 3 ? 2t ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x· O F 2 4t 4 t

2

不妨设 f ? t ? ? t ? 2t ? ( t ? 0 ) ,
3

1 t

? 3 ?? 3? 2 3? t ? ?? t ? ? ? t ? 1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 , · 3 ?? 3 ? 1 ? 3t ? 1?? t ? 1? ? 2 f ? ? t ? ? 3t ? 2 ? 2 ? ? t t2 t2 ? ? 3 ? 3? 3 0, , ?? ? f ?t ? 在 ? 递减,在 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 递增;? 当 t ? 3 时,函数 f ? t ? 有最小值; ? ? ? ?
2 2

? 当点 P 的坐标为 1, 2 3 或 1, ?2 3 时, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

?

? ?

?

9 3 1 t ? 2t ? ? 4 3 取得最小值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 4 t 解法三:设 ?DPF 外接的圆 C 半径为 R , ?DFP ? ? ,不妨设 t ? 0 , 6t t ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ?DFP ? ?PDF ? ?AFD ,? sin ? ? 36t 2 ? 36 t2 ?1 S ?CDP ?
由正弦定理得:

2R ?
3

DP 3t ? 3 ? t ? 1? , ? ? 3? sin ? sin ? t
2 2
2

3 2

2 9 ? t ? 1? ,又 ? DP ? ? 9 ? ? t 2 ? 1?2 , ? ? ? R ?? ? ? 2 ? 4 4 t2 2

3t 2 ? 3? ? 3 t2 ?1 1 9 1 ? t 3 ? 2t ? . · ? BC ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ,则 S ?CDP ? BC ? DP ? 2 4t 4 t 2 t
2

以下解法同上. 20.本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识, 考查归纳猜想、推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化 归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.本题满分 14 分. 解: (Ⅰ) f '( x) ? e ? a , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
x

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ;令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ; 所以 f ( x) 在 (??, ln a ) 单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ) (ⅰ)证法一:依题意,只需研究关于 x 的方程 而

1 ? x 在 R+上根的个数, f ( x)

1 ? x ? xf ( x) ? 1 ? 0 , f ( x) x 2 x 2 记 g ( x) ? xf ( x) ? 1 ? xe ? x ? 1 ,即 g ( x) ? xe ? x ? 1( x ? 0) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 x ? g '( x) ? ( x ? 1)e ? 2 x , 由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时, f ( x) ? f (0) ,即 e x ? x ? 1 ? 0 ,

? g '( x) ? ( x ? 1)e x ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 2 x ? x 2 ? 1 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? g ( x) 在 R+上单调递增; ·
又 g (ln 2) ? 2 ln 2 ? (ln 2) ? 1 ? ?(ln 2 ? 1) ? 0, g (1) ? e ? 2 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
2 2

函数 g ( x) 的图像在 R+上连续不断,? 存在唯一 x0 ? (ln 2,1) ,使得 g ( x0 ) ? 0 ,

? 函数 y ?

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ( x ? 0) 在 R+上存在唯一的不动点 x0 ,且 x0 ? (ln 2,1) . · f ( x) 1 证法二:依题意,只需研究关于 x 的方程 ? x 在 R+上根的个数, f ( x) 1 而 ? x ? xf ( x) ? 1 ? 0 , f ( x) x 2 x 2 记 g ( x) ? xf ( x) ? 1 ? xe ? x ? 1 ,即 g ( x) ? xe ? x ? 1( x ? 0) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? g '( x) ? ( x ? 1)e x ? 2 x ,? g ''( x) ? ( x ? 2)e x ? 2 , x ? 0 ,? ( x ? 2)e x ? 2 ? e0 ? 2 ,? g ''( x) ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? g '( x) ? ( x ? 1)e x ? 2 x 在 R+上单调递增,? g '( x) ? g'(0) ? 1 ? 0 ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? g ( x) 在 R+上单调递增; · 以下同证法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 (ⅱ)证法一:要证不等式

f (a2 n ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? x0 ? 1 成立, a2 n ? x0

(e a2 n ? a2 n ) ? (e x0 ? x0 ) e a2 n ? e x0 x0 只需证 · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? (e ? x0 ) ? x0 ? 1 成立,即证 ? e x0 .…(*) · a2 n ? x0 a2 n ? x0
下面用数学归纳法证明: ?n ? N * , a2 n ? x0 . ①当 n ? 1 时,由(Ⅰ)得, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 由 ( ⅰ ) 得 , 0 ? ln 2 ? x0 , ? f (ln 2) ? f ( x0 ) , 又 a2 ?

1 , f (a1 )

? a2 ?

1 1 ? ? x0 , f (ln 2) f ( x0 ) 即 a2 ? x0 ,? n ? 1 时,结论成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
② 假设 n ? k k ? N * 时,结论成立,即 a2 k ? x0 ,

?

?

f ( x) 在 (0, ??) 上 单 调 递 增 , 且 a2 k ? x0 ? 0 , ? f (a2 k ) ? f ( x0 ) ? f (0) ? 1 ,
?0 ? 1 1 , ? f (a2 k ) f ( x0 )

又 a2 k ?1 ?

? a2 k ? 2

1 1 ? ? x0 ,所以 0 ? a2 k ?1 ? x0 ,? f (0) ? f (a2 k ?1 ) ? f ( x0 ) , f (a2 k ) f ( x0 ) 1 1 ? ? ? x0 ,即 a2 k ? 2 ? x0 . ? n ? k ? 1 时,结论成立. f (a2 k ?1 ) f ( x0 )
a2 n

根据①,②可得, ?n ? N * , a2 n ? x0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 所以要证不等式(*)成立,只需证 e 即证 e
a2 n

? e x0 ? e x0 (a2 n ? x0 ) 成立,

? a2 n e x0 ? e x0 ? x0e x0 .
x

…………(**) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 h '( x) ? e x ? e x0 ? 0 ,当且仅当 x ? x0 取到等号, ·

记 h( x) ? e x ? xe 0 ( x ? x0 ) ,

? h( x) 在 [ x0 , ??) 上单调递增,
?n ? N * , a2 n ? x0 ,? h(a2 n ) ? h( x0 ) ,即(**)式成立. f (a2 n ) ? f ( x0 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? ? f ( x0 ) ? x0 ? 1 ,命题得证. · a2 n ? x0 f (a2 n ) ? f ( x0 ) 证法二:要证不等式 ? f ( x0 ) ? x0 ? 1 成立, a2 n ? x0 f (a2 n ) ? f ( x0 ) f (a2 n ) ? f ( x0 ) 只需证 · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? e x0 ? 1 成立,只需证 ? f '( x0 ) . ………(*) · a2 n ? x0 a2 n ? x0
下面用数学归纳法证明: ?n ? N * , a2 n ? x0 .(过程、得分同证法一) · · · · · · · · · · · · (此步骤共 2 分)12 分 所以要证不等式(*)成立,只需证 f (a2 n ) ? f ( x0 ) ? f '( x0 )(a2 n ? x0 ) 成立, 即证 f (a2 n ) ? f '( x0 ) ? a2 n ? f ( x0 ) ? f '( x0 ) ? x0 . 又 …………(**) 记 h( x) ? f ( x) ? f '( x0 ) ? x( x ? x0 ) ,? h '( x) ? f '( x) ? f '( x0 ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

f '( x) ? e x ? 1 在 [ x0 , ??) 上单调递增, x ? x0 , 当且仅当 x ? x0 取到等号, ? h '( x) ? f '( x) ? f '( x0 ) ? 0 , ? h( x) 在 [ x0 , ??) 上单调递增,

?n ? N * , a2 n ? x0 ,? h(a2 n ) ? h( x0 ) ,即(**)式成立. f (a2 n ) ? f ( x0 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? ? f ( x0 ) ? x0 ? 1 ,命题得证. · a2 n ? x0 f (a2 n ) ? f ( x0 ) 证法三:要证不等式 ? f ( x0 ) ? x0 ? 1 成立, a2 n ? x0 f (a2 n ) ? f ( x0 ) 1 只需证 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ? x0 ? 1 成立, · a2 n ? x0 x0
下面用数学归纳法证明: ?n ? N * , a2 n ? x0 .(过程、得分同证法一) · · · · · · · · · · · · (此步骤共 2 分)12 分 所以要证不等式(*)成立,只需证 f (a2 n ) ? f ( x0 ) ? ( 即证 f (a2 n ) ? (

1 ? x0 ? 1)(a2 n ? x0 ) 成立, x0

1 1 ? x0 ? 1) ? a2 n ? f ( x0 ) ? ( ? x0 ? 1) ? x0 . …………(**) x0 x0 1 1 1 记 h( x) ? f ( x) ? ( ? x0 ? 1) x( x ? x0 ) ,? h '( x) ? f '( x) ? ( ? x0 ? 1) ? e x ? ? x0 , x0 x0 x0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

1 ? x0 在 [ x0 , ??) 上单调递增, x ? x0 , x0 1 1 1 即 h '( x) ? 0 当且仅当 x ? x0 取到等号, ? h '( x) ? h '( x0 ) ? (e x0 ? x0 ) ? ? ? ? 0 , x0 x0 x0 ? h( x) 在 [ x0 , ??) 上单调递增,


h '( x) ? e x ?

?n ? N * , a2 n ? x0 ,? h(a2 n ) ? h( x0 ) ,即(**)式成立.
f (a2 n ) ? f ( x0 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? f ( x0 ) ? x0 ? 1 ,命题得证. · a2 n ? x0 21. (1)本题考查矩阵与变换、矩阵的乘法等知识;考查运算求解能力;函数与方程数学思 想.满分 7 分. ?
解: (Ⅰ )解法一:矩阵 A 的特征多项式 f (? ) ?

? ?a ?2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? (? ? a)(? ? 4) ? 2 , · 1 ? ?4
?1 ? 2? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? · 4?
? x0 ? ?
0

? ? 2 ,? (2 ? a)(2 ? 4) ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ,? A ? ? ?1

解法二:设属于矩阵 A 的特征值 ? ? 2 的一个特征向量为 ? ? ? ? , y
?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 则 A? ? 2? ,即 ? ? ? ? ? 2 ? ? ,· ? ?1 4 ? ? y0 ? ? y0 ?
?ax0 ? x0 ?ax0 ? 2 y0 ? 2 x0 ? x0 ? 即? ,整理得 ? , ? ? ? ? 为非零向量,则 x0 ? 0 ,所以 a ? 1 , ?? x0 ? 4 y0 ? 2 y0 ? y0 ? ? x0 ? 2 y0

?a

2 ? ? x0 ?

? x0 ?

? 1 2? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?A?? ? · ? ?1 4 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)设关于 x 轴的反射变换 ? 对应的矩阵为 B ,则 B ? ? 0 ?1? , · ? ? 复合变换 ? ? ? 对应的矩阵为 BA ? ? 1
0 ?? 1 2 ? ?1 2 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? ?? ??? ? ? 0 ?1?? ?1 4 ? ?1 ?4 ?

?1

0?

x ? x ? 2y ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? 复合变换 ? ? ? 的变换公式为 ? ? ? y ? x ? 4 y ? ?x ? 1 ? x? ? 3 将 ? 代入 ? ? ? 的变换公式,得 ? ,? P? 的坐标为 (3, ?3) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ?y ?1 ? y? ? ?3

?

(2)本小题主要考查直线的参数方程及其几何意义、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系 等基础知识;考查运算求解能力;数形结合思想.满分 7 分. 解:(Ⅰ ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? ? 2 cos ? ? 4sin ? ,? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? , · 2 2 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? 曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 4 y ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ,· 2 2 直线 l 过点 (1, - 1) ,且该点到圆心的距离为 (1 ? 1) ? (?1 ? 2) ? 5 , \ 直线 l 与曲线 C

相交. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ )解法一:当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 过圆心, AB ? 2 5 ? 3 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 则直线 l 必有斜率,设其方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 , 圆心到直线 l 的距离 d ?

1
2

k ?1 解得 k ? ?1 ,? 直线 l 的斜率为 ?1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
解 法 二 : 将

? ( 5) 2 ? (

3 2 2 2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ) ? 2 2

? x ? 1 ? t cos ? ? ? y ? ?1 ? t sin ?





( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5





(t cos ? ) 2 ? (1 ? t sin ? ) 2 ? 5 , 2 整理得, t ? 2(sin ? )t ? 4 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ?2sin ? , t1t2 ? ?4 ,

AB ?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 4sin 2 ? ? 16 ? 3 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
不妨设 ? 为直线的 l 的倾斜角,则 sin ? ?

2 ? 3? ,则 ? ? 或 ,? 直线 l 的斜率为 ?1 .· · · · · · · · · · · · · · 7分 2 4 4

(3)本小题主要考查利用二元和三元基本不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识; 考查运算求解能力;化归与转化、分类与整合的思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ ) a, b, c ? R? ,? 13 ? 13 ? 13 ? 3 3 13 ? 13 ? 13 ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 a b c a b c abc 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3abc ? ? 3abc ① a b c abc 而 3 ? 3abc ? 2 3 ? 3abc ? 6 ② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 abc abc 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? a 3 ? b3 ? c 3 ? ?6 ③ · abc 当且仅当 a ? b ? c 时, ① 式等号成立;当且仅当 3 ? 3abc 时,② 式等号成立; abc 则当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,③ 式等号成立,即 a 3 ? b3 ? c 3 ? (Ⅱ )由(Ⅰ )知 m ? 6 ,则 | x ? 1| ?2 x ? 6 ,即 | x ? 1|? 6 ? 2 x ,

3 取得最小值 m ? 6 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 abc

??6 ? 2 x ? x ? 1 ? 6 ? 2 x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
??6 ? 2 x ? x ? 1 ?? ?x ?1 ? 6 ? 2x

7 ? x?? ? 解得 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 · ? ? x ? ?5

7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? 原不等式的解集为 (? , ??) . · 3


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