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高中数学课件:正弦函数、余弦函数的性质_图文

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标:

1 、理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义 2 、正、余弦函数的周期性 3 、正、余弦函数的奇偶性和单调性

正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象

y

1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

-

2?

4?

6?

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?,……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
y

正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
1-

-

-

-

x

? 6?

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

2?

4?

6?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, ……与y=cosx,x∈[0,2π ]的图象相同
余弦函数 y

-

-

-

x

? cos x, x ? R 的图象

1、周期性
周期函数定义:对于函数f (x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f (x+T)=f (x) 那么函数f (x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数 的周期。
注:1、T要是非零常数 2、“每一个值”只要有一个反例,则f (x)就不为周期函数(如f (x0+t)?f (x0)) 3、 周期函数的周期T往往是多值的(如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周 期) 4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)

正弦函数是周期函数, 2k? (k ? Z且k ? 0) ,最小 正周期是 2? 余弦函数是周期函数, 2k? (k ? Z且k ? 0) ,最小 正周期是 2?
2、奇偶性

请观察正弦曲线、余弦曲线的形状和位置,说出它们 的异同点.

正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象

y

1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

2?

4?
-

6?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?,……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
y

正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
1-

-

-

x

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

2?

4?

6?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, ……与y=cosx,x∈[0,2π ]的图象相同
余弦函数 y

-

-

-

x

? cos x, x ? R 的图象

它们的形状相同,且都夹在两条平行直线y=1与y=-1之间。 它们的位置不同,正弦曲线交y轴于原点,余弦曲线交y轴于点 (0,1).正弦曲线关于原点对称,余弦曲线关于y轴对称

正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数

3、单调性
? 正弦函数在每一个闭区间 [? ? 上都是 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ]( k ? Z ) 增函数,其值从 ? 1 增大到 1;

在每一个闭区间 [ ?2 ? 2k? , 32? ? 2k? ](k ? Z ) 上都是减函 数,其值从 1 减小到 ? 1 余弦函数在每一个闭区间 [?? ? 2k? ,2k? ](k ? Z ) 上都是 增函数,其值从 ? 1 增大到 1 ;

在每一个闭区间 其值从 减小到 1

[2k? ,2(k ? 1)? ]( k ? Z ) 上都是减函数,

?1

4、最大值与最小值
? 正弦函数当且仅当 x ? 2 ? 2k? (k ? Z ) 时取得最大值1,正弦函数 当且仅当 x ? ? 时取得最小值-1 2 ? 2k? (k ? Z )

余弦函数当且仅当 x ? 2k? (k ? Z ) 时取得最大值1,正弦函数 ? ? 2k? (k ? Z ) 时取得最小值-1 当且仅当 x ? 32

例1 求下列三角函数的周期: (1)y ? 3 cos x
1 ? (2)y ? 2sin( x ? ) 2 6 解:(1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x


∴ 由周期函数的定义知道,原函数的周期为 2?


? ? 1 ( x ? 4 ? ) ? ] ? 2sin[( x ? (2)∵ 2sin[ 1 2 6 2 6 ) ? 2? ]


? ? 2sin( 1 x ? 2 6)

∴ 由周期函数的定义知道,原函数的周期为4?

例2、不求值,指出下列各式大于0还是小于0?

sin (?

?
18

) ? sin (?

?
10



? ? ?? 解:函数y ? sin x是?? , ?上的增函数, ? 2 2?
且?

?

2

??

?

10

??

?

18

?

?

2

10 18 ? ? ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? 0 18 10

? sin( ?

?

) ? sin( ?

?

)

? x ? 的单调增区间。 例3、求函数y ? sin(1 2 3 ), x ? [?2? ,2? ]

? x ? 函数y ? sin z的单调递增区间是 解:令 z ? 1 2 3.

? [? ? ? 2 k ? , 2 2 ? 2k? ]

由 ?? 2 ? 2k? ?

1 2

x? ? 3 ?

?

2

? 2k?得:

? ? 53 ? 4k? ? x ? ? 3 ? 4k? , k ? Z

? ? 取k ? 0, 得 ? 53 ?x? 3 ,而
? ? [? 53 , 3 ] ? [ ?2? ,2? ]
? x ? 的单调增区间是 因此,函数 y ? sin(1 2 3 ), x ? [?2? ,2? ]

? ? [ ? 53 , 3]

练习:

1 ? sin x 已知f ( x) ? log 1 . 2 1 ? sin x

(1)求f(x)的定义域和值域
(2)判断它的奇偶性、周期性; (3)判断f(x)的单调性.

小结:
1 、周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义
2 、正、余弦函数的周期性 3 、正、余弦函数的奇偶性和单调性

作业:

课本P53 A组4, 5, 6


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