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【经典实用】2012届高三数学第一轮第3单元导数及其应用


第三单元 导数及其应用

第13讲 导数的概念及运算 第14讲 导数与函数的单调性 第15讲 导数与函数的极值

第16讲 导数与函数的最值
第17讲 导数的综合运用

第三单元 导数及其应用

第三单元 │ 知识框架 知识框架

第三单元 │ 考纲要求 考纲要求
导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义. (2)导数的运算 ①能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数), y=x, 1 2 3 y=x ,y=x ,y=x的导数. ②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导数.

第三单元 │ 考纲要求
常见基本初等函数的导数公式: C′=0(C 为常数);(xn)′=nxn-1,n∈N+; (sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx; (ex)′=ex;(ax)′=axln a(a>0,且 a≠1); 1 1 (ln x)′=x;(logax)′=xlogae(a>0,且 a≠1). 常用的导数运算法则: 法则 1:[u(x)± v(x)]′=u′(x)± v′(x). 法则 2:[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). ?u?x?? u′?x?v?x?-u?x?v′?x? 法则 3:? v?x? ?′= (v(x)≠0). v2?x? ? ?

第三单元 │ 考纲要求

(3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系; 能利用导数研究 函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数 一般不超过三次). ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函 数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最 小值(其中多项式函数一般不超过三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.

第13讲 │ 导数的概念及应用

第13讲 导数的概念及应用

第13讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是Δx→0 lim f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx→0 =__________________,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 Δx Δx

f′(x0)或 y′|x=x0 , 即 f′(x0) = lim Δy = 处 的 导 数 , 记 作 ______________ Δx→0 Δx f?x0+Δx?-f?x0? lim ______________________. Δx→0 Δx 2.当 x 变化时,f′(x)是 x 的一个函数,我们称它为 f(x) 导函数 导数 的________,简称______,有时也记作 y′,即 f′(x)=y′= f?x+Δx?-f?x? ________________. lim Δx→0 Δx

第13讲 │ 函数及其表示

3.导数的几何意义 (1)设函数 y=f(x)在 x0 处可导, f′(x0)表示曲线上 则 切线的斜率 相应点 M(x0,y0)处的____________,点 M 处的切线方 y-y0=f′(x0)(x-x0) 程为______________________. (2)设 s=s(t)是位移函数,则 s′(t0)表示物体在 t0 时 瞬时速度 刻的____________. (3)设 v=v(t)是速度函数,则 v′(t0)表示物体在 t= 加速度 t0 时刻的________.

第13讲 │ 函数及其表示

4.几种常见函数的导数 (1)C 是常数,则 C′=____; 0 n nxn-1 (2)(x )′=______(n∈Q*); cosx -sinx (3)(sinx)′=______;(4)(cosx)′=________; 1 1 (5)(ln x)′=______;(logax)′=________; x ex x x)′=________. lna ax· lna x· (6)(e )′=____;(a 5.求导法则 u′±v′ (1)(u± v)′=________;(2)(u· v)′=________; u′v+uv′ u′v-uv′ ?u? (3)? v ?′=__________. v2 ? ?

第13讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 导数的概念
例 1 函数 f(x)在 x=x0 处可导,用 f′(x0)表示 下列各式: f?x0+2Δx?-f?x0? (1)Δx→0 lim ; Δx f?x0+h?-f?x0-h? (2)lim . h→0 h

[思路] 用导数的定义即可求解.

第13讲 │ 要点探究

f?x0+2Δx?-f?x0? [解答] (1)原式=2· lim =2f′(x0). Δx→0 2Δx f?x0+h?-f?x0-h? (2)原式=2· lim =2f′(x0). h→0 2h [点评] 利用导数定义解题,要充分体会导数定义 的实质,表达式不同,但表达的实质可能相同.比如 下面的变式题:

第13讲 │ 要点探究
下列式子中与 f′(x0)相等的是( f?x0?-f?x0-2Δx? (1)liΔx→0 m ; 2Δx f?x0+Δx?-f?x0-Δx? (2)liΔx→0 m ; Δx f?x0+2Δx?-f?x0+Δx? (3)liΔx→0 m ; Δx f?x0+Δx?-f?x0-2Δx? (4)liΔx→0 m . Δx A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4) )

第13讲 │ 要点探究

[思路] 紧扣导数定义, 正确理解增量 Δx 的实质.

B [解析] 根据导数定义,分子中 x0 的增量 应与分母相同,故选 B.

第13讲 │ 要点探究

? 探究点2

导数的几何意义

1 3 4 例 2 已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程;

第13讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵y′=x2,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k
? = y′?x=2=4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 ?

x-2???,即 4x-y-4=0. y-4=4 1 3 4 (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 3 3 ? 1 3 4? ? A?x0,3x0+3?,则切线的斜率 k= y′?x=x0=x2.∴切线方 ? 0 ? ? ?1 3 4? 2 3 4 ? ? ? x0+ ?=x2?x-x0?,即 y=x2· 程为 y- 3 ? 0 x- x0+ . 3? 0? 3 3 ?

? ? ?

第13讲 │ 要点探究
∵点 2 3 4 2 P(2,4)在切线上, ∴4=2x0- x0+ , 即 3 3 x3-3x2+ 0 0

? ? 4=0,∴x3+x2-4x2+4=0,∴x2??x0+1??- 0 0 0 0 ? ?? ? ? ?? ? 4??x0+1????x0-1??=0,∴??x0+1????x0-2??2=0,解得 x0=-1

或 x0=2,故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2= 0. (3)设切点为??x0,y0??,故切线的斜率为 k=x2=1,解得 0
? 5? ?? ? x0=± 1,故切点为?1,3?,?-1,1??.故所求切线方程为 ? ?
? ?

5 y- =x-1 和 y-1=x+1,即 3x-3y+2=0 和 x-y 3 +2=0.

第13讲 │ 要点探究

[点评] (1)解决此类问题一定要分清是“在某点处 的切线”还是“过某点的切线”; (2)对未知切点坐标的问 题,一般是首先设出切点的坐标,然后根据需要三个 方面出击,即利用“切点处的导数等于切线的斜率”, “切点在曲线上”, “切点在切线上”建立方程组求解; (3) 切点的横坐标与该切点处的切线的斜率这两个量之间 可以相互转化. 另外,要注意曲线的切线与曲线不一定只有一个公共 点.

第13讲 │ 要点探究

在例 2 中,第(1)小题中切线与曲线是否 还有其他公共点?

[解答] 得

? 由? 4x-y-4=0, ?
? ? ?

1 3 4 y= x + , 消去 y, 3 3
?

x3-12x+16=0 即??x-2??2??x+4??=0,∴x=2 或 x=

-4 代入 4x-y-4=0, 求得 y=4 或 y=-20.即公共点 为(2,4)(切点)和(-4,-20).∴除切点外,还有一个交 点(-4,-20).

第13讲 │ 要点探究
? 探究点3 导数的物理意义

例 3 直线运动, 已知路程 s(单位: m)是时间 t(单 位:s)的函数:s=3t2+2t+1.求: (1)从 t=2 变到 t=3 时,s 关于 t 的平均变化率, 并解释它的实际意义; (2)当 t=2 时的瞬时速度; (3)当 t=2 时的加速度.

[思路] (1)利用概念求函数 f(x)的平均变化率为 Δy ;(2)瞬时速度为位移函数在某一时刻上的导数值; Δx (3)加速度为速度函数在某一时刻上的导数值.

第13讲 │ 要点探究
[解答] (1)Δs=s(3)-s(2)=(3× 2+2× 3 3+1)-(3× 2+ 2 Δs 17 2× 2+1)=17,∴ = =17,表示从 t=2 变到 t=3 Δt 3-2 时, 关于 t 的平均变化率为 17, s 即此段时间质点的平均 速度为 17 m/s. (2)s′(t)=6t+2,∴s′(2)=6× 2+2=14(m/s).即当 t =2 时的瞬时速度为 14 m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s,则 v(t)=s′(t)=6t+2, ∴v′(t)=6,∴v′(2)=6,即当 t=2 时的加速度为 6 m/s2.
[点评] 导函数的实质是瞬时变化率,物理中的“某 一时刻的速度”、“加速度”等概念都能用导数来刻画.

第13讲 │ 要点探究
? 探究点4
例 4

导数的运用

下 列 函 数 求 导 运 算 正 确 的 个 数 为 : ①(3x)′= 1 x 3 log3e; ②(log2x)′= ; ③(ex)′=ex ; ④(xa)′= axlna; x· ln2 ⑤(cosx)′=sinx.( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

[思路] 先判断原函数的类型,再套用公式求解.

第13讲 │ 要点探究
B
x

[解析] 对于①,函数为指数函数,因此 ??3 ?? ′=
? ? ?

?

x?

3 ln3;对于②,函数为对数函数,因此

?lnx? log2x ′= ? ? ′= ?ln2?
? ? ?

1 x ;对于③,函数为指数函数,因此???e ???′=ex;对于④, x· ln2 函数为幂函数,因此???x ???′=axa-1;对于⑤,函数为三角函
a

数,因此???cosx???′=-sinx.以上只有②③两个正确.

[点评] 利用公式求导,不能混淆“幂函数”与“指数函 数”的求导公式,不能混淆指数函数导数的系数与对数函 数导数的系数.

第13讲 │ 要点探究

例5

求下列函数的导数: x-x5 (1)y=ax+xa;(2)y= ; x2 x2 (3)y=elnxlgx;(4)y= . sinx

第13讲 │ 要点探究

[解答] (1)y′=(ax)′+(xa)′=axlna+axa-1; x-x5 3 3 3 (2)y= =x- -x ,∴y′=(x- )′-(x3)′= 2 x 2 2 3 5 - x- -3x2; 2 2 1 lnx (3)y=e lgx=xlgx,y′=(xlgx)′=lgx+ ; ln10 ? x2 ? 2xsinx-x2cosx (4)y′=?sinx?′= . sin2x ? ?

第13讲 │ 要点探究

[点评] 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求 导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用, 而且要特别注意求导法则对求导的作用,在实施化简 时,要注意变换的等价性,避免不必要的失误.对于 某些不满足求导法则条件的函数,可适当进行恒等变 形,步步为营,使解决问题水到渠成.

第13讲 │ 要点探究

函数 y=xe-x 的导数为________.

?x? 1-x x [解析] 原函数可化为 y= x,y′=?ex? x e e ? ? ex-xex 1-x ′= ?? x??2 = x . e ?e ?

第13讲 │ 规律总结 规律总结
1.函数 f(x)的导数的实质是“增量之比的极限”, 即瞬时变化率,f′(x0)是函数 f(x)在导函数 f′(x)当 x=x0 时的函数值. 2.函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是指 曲线 y=f(x)在点 P(x0, 0))处的切线的斜率, f′(x0) f(x 即 =k 切,此时切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

第13讲 │ 规律总结

3.准确理解曲线的切线,需要注意的两个问题 (1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征, 直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切 线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两 个以上公共点; (2)曲线未必在其切线的同侧,如曲线 y=x3 在其过 (0,0)点的切线 y=0 的两侧.

第13讲 │ 规律总结

4.要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同, “在某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横 坐标处的导数值为切线的斜率, 而对于“过某点”的切线, 则该点不一定是切点,要利用解方程组的思想求切线的 方程. 5.利用导数公式求导数时,先要根据这几种基本函 数的定义,判断原函数是哪类基本函数,再套用相应的 导数公式求解,切不可因判断函数类型失误而出错.另 外,还要避免求导过程中指数或系数的运算失误.

第13讲 │ 规律总结

6.理解和掌握求导法则和导数的四则运算法则是灵 活进行求导运算的前提条件,导数的运算法则实质是可 把原来函数的加、减、乘、除的运算转化为导数的加、 减、乘、除的运算,从而降低了运算难度,加快了运算 速度,简化了计算方法.在求导数时,有些函数虽然表 面形式上为函数的商或积,但在求导前利用公式恒等变 形可将函数转化为和或差形式,然后进行求导,这样可 避免使用积、商的求导法则,从而减少运算量,提高运 算速度,避免出错.

第14讲│导数与函数的单调性

第14讲

导数与函数的单调性

第14讲│ 知识梳理

知识梳理
函数的单调性 若函数 f(x)在某区间内可导,则 f′(x)>0? f(x)在该 区 间 上 ____________ ; f′(x)<0? f(x) 在 该 区 间 上 单调递增 ____________. 单调递减 反之,若 f(x)在某区间上单调递增,则在该区间上 f′(x)≥0 有____________恒成立;若 f(x)在某区间上单调递减, f′(x)≤0 则在该区间上有____________恒成立.

第14讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1 导数与函数单调性的关系

例1 果函数 y=f(x)的图象如图 14-1 所示, 那么导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

第14讲│ 要点探究

第14讲│ 要点探究
[思路] 由原函数的图象变化趋势是“增、减、增、 减”,运用“增则正,减则负”规律,即可判断导函数的 图象.

A [解析]由原函数的单调性可以得到导函数的正负 性情况,依次是“正、负、正、负”,即导函数的图象与x 轴的位置应是“上、下、上、下”,符合规律的只有A.
[点评] 解决此类问题时, 审题应看清已知条件是导函 数还是原函数, 然后用“导数的正负性决定原函数的增减” 原则进行判断.

第14讲│ 要点探究
已知函数f(x)是定义在(0,b)上的可导函数,其导 函数图象如图14-3所示,则函数f(x)的图象可以是图中 ( )

图14-3

图14-4

第14讲│ 要点探究

A [解析] 由导函数图象知函数f(x)在x=a 处取得最大值,且在[0,c]上为凹函数,在[c, b]上为凸函数,所以选A.

第14讲│ 要点探究
? 探究点2 利用导数求解函数的单调区间

例2 区间.

确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x 的单调

[思路] 使导数大于 0 的区间为增区间, 小于 0 的区间为减区间.

第14讲│ 要点探究
[解答] f???x???=2x3-9x2+12x,
? ?? ? f′???x???=6x2-18x+12=6??x-1????x-2??.

-∞,1??? , ???2,+∞??? ;单调递减 单调递增区间为 区间为(1,2).

? ? ?

[点评] (1)所求单调区间端点 1,2 处可闭可开.(2) 两个单调递增区间不能“并”起来. 函数的单调性是函数 在某一区间内的性质, 讨论函数的单调性应该在定义域 范围内进行.

第14讲│ 要点探究

已知函数f(x)=x· lnx和g(x)=x·x(a>0 a 且a≠1). (1)求f(x)在x=1处的切线方程; (2)求证:f(x+1)>2x-1; (3)求g(x)的单调区间.

第14讲│ 要点探究

[解答] (1)由题意知:f′(x)=(x· lnx)′=1+lnx, 则f′(1)=1,所以f(x)在x=1处的切线方程为x-y-1 =0. (2)f(x+1)-(2x-1)=(x+1)ln(x+1)-2x+1, 令h(x)=(x+1)ln(x+1)-2x+1, 则h′(x)=ln(x+1)-1, 当-1<x<e-1时,h′(x)<0; 当x>e-1时,h′(x)>0. ∴h(x)min=h(e-1)=(e-1+1)ln(e-1+1)-2(e- 1)+1=3-e>0,∴h(x)>0,∴f(x+1)>2x-1.

第14讲│ 要点探究

(3)依题意有g′(x)=ax+xaxlna=ax(1+xlna), ∴当0<a<1时,g(x)的增区间是(-∞,- logae),减区间是(-logae,+∞); 当a>1时,g(x)的增区间是(-logae,+∞),减区 间是[-∞,-logae).

第14讲│ 要点探究
? 探究点3 已知单调区间求解参数范围 例 3 已知 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范 围; (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在 [0, +∞)上单调递增?若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 说明理由.
[思路] (1)通过解 f′???x???>0 求单调递增区间;(2)转化为 f′???x??? >0 在 R 上恒成立问题,求 a;(3)假设存在 a,则 f??0??是 f???x???的 极小值,或转化为恒成立问题.
? ?

第14讲│ 要点探究

[解答] f′(x)=ex-a. (1)若 a≤0,f′(x)=ex-a>0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增.若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x) 的递增区间为(lna,+∞). (2)∵f(x)在 R 内单调递增, ∴f′(x)≥0 在 R 上恒 成立. x-a≥0, a≤ex 在 R 上恒成立. ∴e 即 ∴a≤(ex)min, 又∵ex>0,∴a≤0.

第14讲│ 要点探究
(3)方法一:由题意知 ex-a≤0 在(-∞,0]上恒成 立.∴a≥ex 在(-∞,0]上恒成立.∵ex 在(-∞,0]上为 增函数. ∴x=0 时,x 最大为 1.∴a≥1.同理可知 ex-a≥0 e 在 [0 , + ∞) 上 恒 成 立 . ∴a≤ex 在 [0 , + ∞) 上 恒 成 立.∴a≤1,∴a=1. 方法二:由题意知 x=0 为 f(x)的极小值点.∴f′(0) =0,即 e0-a=0,∴a=1,经检验 a=1 符合题意.

[点评] 已知函数 f(x)在某区间内单调求参数问题, 常转化为其导函数 f′(x)在该区间内大于等于 0(单调增函 数)或小于等于 0(单调减函数)恒成立问题.有时问题也 可以借助集合的思想解决

第14讲│ 要点探究
[2010· 东北模拟] 已知函数f(x)=mx3-3(m+ 1)x2+(3m+6)x+1,其中m<0. (1)若f(x)的单调增区间是(0,1),求m的值; (2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切 线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
[解答] (1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6, ∵f(x)的单调增区间是(0,1), ∴f(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6>0的解集为 (0,1),则0,1是关于x的方程3mx2-6(m+1)x+3m+6=0 的两个根, ∴m=-2.

第14讲│ 要点探究

(2)由已知,当x∈[-1,1]时,f′(x)>3m, ∴mx2-2(m+1)x+2>0. 又m<0,要使g(x)=mx2-2(m+1)x+2>0在x∈[- 1,1]上恒成立,
?g?-1?>0, ? 只需满足? ?g?1?>0, ?

4 解得- <m<0. 3

第14讲│ 规律总结

规律总结
1.初等函数的单调性利用单调性的概念和函数图象 与性质进行研究, 而非基本初等函数的单调性一般用导数 进行研究. 2.函数的单调性是函数在定义域内的局部性质,因 此利用导数讨论函数的单调区间时, 首先要研究函数的定 义域, 再求导数 f′(x), 通过判断函数定义域被导数为零的 点或不可导点所划分的各区间内导数 f′(x)的符号, 来判断 函数 f(x)在该区间上的单调性.

第14讲│ 规律总结

3.f′(x)>0(或 f′(x)<0)在区间(a,b)上成立只是 f(x) 在这个区间上是增加(减少)的充分条件,而不是必要条 件,因此,由函数单调性求其所含参数的取值问题时, 对于导数值为零的点需要单独验证,以免出错. 4.当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一 个,由于集合的并集运算“∪”,其运算结果为一个整体, 因此这些单调区间一般不能用“∪”连接,而只能用“逗 号”或“和”字隔开.

第15讲│导数与函数的极值

第15讲

导数与函数的极值

第15讲│ 知识梳理 知识梳理
函数的极值 (1)函数极值的定义 ①已知函数y=f(x),设x0是定义域内任一点,如果对 x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处 y 极大值=f(x0) 极大值 取________,记作______________,并把x0称为函数f(x)的 极大值点 一个__________; ②如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0 y 极小值=f(x0) 极小值 处取________,记作____________,并把x0称为函数f(x)的 极小值点 一个____________; 极值 ③极大值与极小值统称________,极大值点与极小值 极值点 点统称为________.

第15讲│ 知识梳理

(2)求函数极值的方法 ①第1步:求导数f′(x); ②第2步:求方程f′(x)=0的所有实数根; ③第3步:当f′(x0)=0时,如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ______,右侧________,那么f(x0)是极大值;如果在x0 f′(x)<0 f′(x)>0 附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小 值.

第15讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 导数与函数极值的关系

例1 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x) 在(a,b)内的图象如图15-1所示,则函数f(x)在开区 间(a,b)内有极小值点( )

A.1个 C.3个

B.2个 D.4个

第15讲│ 要点探究
[思路] 结合图象,根据极值的定义分析.
A [解析] 函数在极小值点附近的图象应有先减后增 的特点,因此应该在导函数的图象上找从x轴下方变为x轴
? ? 上方的点,这样的点只有1个,所以函数f ???x??? 在开区间 ??a,b??

内只有1个极小值点,故选A.

[点评] 对于导函数的图象,重点考查其在哪个区间上 为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附 近,导函数的值是怎样变化的,如果是由正值变为负值,则 函数在该点处取得极大值;如果由负值变为正值,则函数在 该点处取得极小值.

第15讲│ 要点探究
已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f′(x) 的图象如图15-2所示,则函数f(x)的极小值是( )

A.a+b+c B.8a+4b+c C.3a+2b D.c

第15讲│ 要点探究

D [解析] 由图象易知,函数f(x)在(-∞,0) 和(2,+∞)为减函数,在(0,2)上为增函数,因此 当x=0时,函数有极小值f(0)=c.

第15讲│ 要点探究
? 探究点2 利用导数求函数极值

例2

求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.

[思路] 求出方程f′ ???x??? =0的根,通过列表求 极值.

第15讲│ 要点探究
[解答] f′???x???=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0, 得x1=-1,x2=3.当x变化时,f′ ???x??? 与f ???x??? 的变化情况 如下表:

? ? 因此,当x=-1时函数取得极大值,且f ??-1?? =10;

当x=3时函数取得极小值,且f??3??=-22.

?

?

第15讲│ 要点探究

[点评] 函数的极值也是函数在定义域内的局 部性质,求解函数极值时,不能忽视了函数的定 义域

第15讲│ 要点探究
lnx 求函数f(x)= x 的极值. lnx ? ? ? ? ?x ?= ?0,+∞? ,由导 [解答] 函数 f? ? 的定义域为? ? x 1-1nx ? ? ? ? ?x ?= 数公式表和求导法则得, ? ? f′ .解方程 f′??x ??=0, x2

得 x=e.当 x 变化时,f′??x??与 f??x ??的变化情况如下表:

? ?

? ?

1 故当 x=e 时函数取得极大值,且极大值为 f(e)= . e

第15讲│ 要点探究

例3 已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1) 的极值点的个数.

[思路] 即讨论函数的导数的变号零点的个数.

第15讲│ 要点探究

[解答] f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)= ex[x2+(a+2)x+(2a+1)], 令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0. (1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a- 4)>0, 即a<0或a>4时,x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个 不同的实根x1,x2,不妨设x1<x2. 于是f′(x)=ex(x-x1)(x-x2),从而有下表

第15讲│ 要点探究

即此时f(x)有两个极值点. (2)当Δ=0即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)= 0有两个相同的实根x1=x2. 于是f′(x)=ex(x-x1)2, 故当x<x1时f′(x)>0,当x>x2时f′(x)>0,因此f(x)无极值.

第15讲│ 要点探究

(3)当Δ<0即0<a<4时x2+(a+2)x+(2a+1)>0, f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)为增函 数,此时f(x)无极值. 因此当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点,当0≤a≤4 时,f(x)无极值点.

[点评] 函数的极值点必须满足在该点左右两侧导 数值异号.当函数的导数可以归结为一个二次三项式 时,只要这个二次三项式的判别式不大于零,则这个 函数一定没有极值点.

第15讲│ 要点探究
? 探究点3 利用极值求参数

例4 若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得 极值10,试求a,b的值.

[思路] 根据极值的含义,利用f???1???=10,f′(1) =0,解方程组得a,b的值,并注意验证.

第15讲│ 要点探究
[解答] 由导数公式表和求导法则得,f′ ???x??? =3x2+2ax+
?f?1?=10, ? ? ? ? ? b,依题意得 ? ?? ?? ?f′?1?=0, ? ?a2+a+b=9, ? 即? ?2a+b=-3, ? ?a=4, ? 解得 ? ?b=-11 ?



?a=-3, ? ? ?b=3, ?

但由于当a=-3,b=3时,f′ ???x??? =3x2-6x+

3≥0,故f ???x??? 在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以
?a=-3, ? ? ?b=3 ? ?a=4, ? 不合题意,舍去;而当 ? ?b=-11 ?

时,经检验知符

合题意,故a,b的值分别为4,-11.

第15讲│ 要点探究

[点评] 由于f′(x0)=0不是函数在x0处取得极值的充 要条件,因此,已知函数极值求参数时,所求得的结 果应按照函数在一点处取得极值的条件进行检验,考 查其是否符合函数取得极值的条件,从而进行取舍.

第15讲│ 要点探究

ax+b 设a>0,函数f(x)= 2 (b为常数). x +1 (1)证明:函数f(x)的极大值点和极小值点各有一 个; (2)若函数f(x)的极大值为1,极小值为-1,试求 a的值.

第15讲│ 要点探究
-ax2-2bx+a [解答] (1)证明:f′(x)= ,令f′(x)= 2 2 ?x +1? 0,得ax2+2bx-a=0,∵Δ=4b2+4a2>0,∴ax2+2bx -a=0有两个不相等的实根,记为x1,x2,且x1<x2. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:

可见,函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个;

第15讲│ 要点探究
? ?f?x1?=ax1+b=-1, x2+1 ? 1 (2)由(1)得,? ax2+b ? 2 ?f?x2?= x2+1 =1, ?
2 ?ax1+b=-x1-1, ? 即? ?ax2+b=x2+1, ? 2

两式相加得 a(x1+x2)+2b

2b 2 2 =x2-x1,∵x1+x2=- ,∴x2-x2=(x1+x2)(x2-x1) 2 1 a =0,∴x1+x2=0,∴b=0,∴a(x2-1)=0,得 x1= -1,x2=1,故 a=2.

第15讲│ 规律总结 规律总结
1. 极值也是函数在定义域内的局部性质, 因此利 用导数研究函数的极值时,一般也应首先考虑函数的 定义域,然后求函数的导数,得到导数为零的点,这 些点将整个定义域分为若干个区间,然后将 x,f′(x), f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中, 通过表 格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还 是极小值,所以在解题中注意表格的正确列法.

第15讲│ 规律总结

2.根据极值的定义,导数为 0 的点只是可疑点, 不一定是极值点,只有在该点两侧导数的符号相反, 即函数在该点两侧的单调性相反时,该点才是函数的 极值点,另一方面,极值点处的导数也不一定为零, 还要考察函数在该点处的导数是否存在,因此,在函 数可导的条件下,导数为 0 的点是函数在该点取得极 值的必要条件.

第15讲│ 规律总结

3.函数的极值点反映了函数在某一点附近的大小情 况,因此极值点是区间内部的点而不会是端点,极值点可 以不存在,也可以有若干个,而且极大值不一定比极小值 大,极小值也不一定比极大值小. 4.极值反映了函数图象特殊点的特点,导数符号反映 了函数图象单调性的变化特点,二者结合可基本反映函数 图象的大体特征,因此,解决非基本初等函数问题,常常 通过导数,确定函数的大致图象,然后借助数形结合来处 理问题.

第16讲│导数与函数的最值

第16讲

导数与函数的最值

第16讲│ 知识梳理

知识梳理
(1)函数 f(x)在[a,b]上必有最值的条件 如 果 在 区 间 [a , b] 上 函 数 y = f(x) 的 图 象 ________________________,那么它必有最大值和最小 是一条连续不断的曲线 值. (2)求函数 y=f(x)在[a, b]上的最大值与最小值的步 骤 ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的______; 极值 ② 将 函 数 y = f(x) 的 各 极 值 与 端点处的函数值 f(a)、f(b) __________________________比较,其中最大的一个是 最大值,最小的一个是最小值.

第16讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1 区间上的函数最值 (包括闭区间、开区间和一般的区间)
例1 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2] 的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值.

[思路] 分类讨论 a 的符号, 利用导数确定函数的 最大(小)值后,列出方程组求 a,b 的值.

第16讲│ 要点探究
[解答] 由题设知 a≠0,否则 f???x???=b 为常函数,与题设 矛盾. f′???x???=3ax2-12ax=3ax??x-4??,令 f′???x???=0,得 x1=0, x2=4(舍去). ①当 a>0 时,列表如下:
? ?

第16讲│ 要点探究
由上表可知,当 x=0 时,f???x???取得极大值,也就是函 数在[-1,2]上的最大值,∴f??0??=3,即 b=3.又 f(-1)= 2 =-16a+3,???2???<f???-1???, -7a+3, f f ∴x=2 时函数在[-
? ? ? ? ? ? ? ?

1,2]上取得最小值,∴f???2???=-16a+3=-29,∴a=2.

②当 a<0 时,同理可得,当 x=0 时,f(x)取得极小 值,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=-29,即 b = - 29. 又 f( - 1) = - 7a - 29 , f(2) = - 16a - 29 , f(2)>f(1),∴x=2 时函数在[-1,2]上取得最大值,∴f(2) =-16a-29=3,∴a=-2. 综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

第16讲│ 要点探究

[点评] 由函数的最值来确定参数,解题的关键是 利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值,通 过待定系数法,列出相应的方程,从而得出参数的 值.同时由于系数 a 的符号对函数的单调性有直接的 影响,其最值也受 a 的符号的影响,因此,需要进行 分类讨论.

第16讲│ 要点探究

[2010· 宝鸡质检] 已知函数 f(x)=axlnx 图象上点 (e , f(e)) 处 的 切 线 方 程 与 直 线 y = 2x 平 行 ( 其 中 e = 2.71828…),g(x)=x2-tx-2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取 值范围.

第16讲│ 要点探究

[解答] (1)由点(e,f(e))处的切线方程与直线 2x-y =0 平行,得该切线斜率为 2,即 f′(e)=2. 又∵f′(x)=a(lnx+1),令 a(lne+1)=2 得 a=1, ∴f(x)=xlnx. - (2)由(1)知 f′(x)=lnx+1,显然 f′(x)=0 时 x=e 1,

第16讲│ 要点探究

? 1? x∈?0, e ?时 ? ?

f′(x)<0,
?1 ? x∈ ?e ,+∞? 时 ? ?

∴ 函数

? 1? f(x)在 ?0, e ? 上 单调递 减. 当 ? ?

f′(x)>0,所以函数

?1 ? 1 ? ,+∞?上单调递增,①当 ∈[n,n f(x)在 e e ? ?

?1? 1 1 ? ?=- ;②当 ≤n<n+2 +2]时,f(x)min=f e e e ? ?

时,函数 f(x)在

[n,n+2]上单调递增,因此 f(x)min=f(n)=nlnn;∴f(x)min 1? ? 1? ?- e?0<n<e ?, ? ? =? ? ? ?nlnn?n≥1?. ? ? e?

第16讲│ 要点探究

(3)对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,又 g(x)= 2 2 2 x -tx-2,∴3xlnx≥x -tx-2,即 t≥x-3lnx-x. 2 3 2 ? ? ?0,e?,则 h′(x)=1- + 设 h(x)=x-3lnx-x,x∈? ? x x2 = x2-3x+2 ?x-1?x-2? ? = ,由 h′(x)=0 得 x=1 或 x=2, x2 x2

第16讲│ 要点探究

∴x∈(0,1),h′(x)>0,h(x)单调递增,x∈(1,2),h′(x)<0, h(x)单调递减, x∈(2, h′(x)>0, e], h(x)单调递增; ∴h(x) =h(1)=-1,且 h(e)=e-3-2e-1<-1,∴h(x)max 极大值 0,e???,3f(x)≥g(x)恒成立, =h(1)=-1.因为对一切 x∈ ∴t≥h(x)max=-1.故实数 t 的取值范围为??-1,+∞??. [点评] 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与 主元分离于不等式两端, 从而问题转化为求主元函数的 最值, 进而求出参数范围. 这种方法本质也还是求最值, 但它思路更清晰,操作性更强.
? ? ? ? ?

第16讲│ 要点探究
? 探究点2 导数解决实际应用问

例 2 某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定 的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费 t(亿元), 可增加销售额约为-t2+5t(亿元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 亿元之内, 则应 投入多少广告费,才能使该公司收益最大? (2)现该公司准备投入 3 亿元, 分别用于广告促销和技 术改造,经预测,每投入技术改造费 x(亿元),可增加的 1 3 销售额约为- x +x2+3x(亿元).请设计一个资金分配方 3 案,使该公司的收益最大?(注:收益=销售额-投入)

第16讲│ 要点探究

[思路] 根据题中给出的等量关系式, 得到函数的解析 式,然后利用导数求最值.

[解答] (1)设投入 t(亿元)的广告费后增加的收益为 f(t)(亿元), 则有 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t(0≤t≤3), f′(t)=-2t+4,令 f′(t)=0,得 t=2. 当 0≤t<2 时,f′(t)>0;当 2<t≤3 时,f′(t)<0.∴当 t=2 时,f(t)取得极大值,也是最大值,即投入 2 亿元的 广告费时,该公司的收益最大.

第16讲│ 要点探究

(2)设用于技术改造的资金为 x(亿元), 则用于广告 促销的资金为(3-x)(亿元),又设由此获得的收益是 1 3 g(x)(亿元), g(x)=(- x +x2+3x)+[-(3-x)2+5(3 则 3 1 3 -x)]-3=- x +4x+3(0≤x≤3),∴g′(x)=-x2+4.令 3 g′(x)=0, 解得 x=-2(舍去)或 x=2.又∵当 0≤x<2 时, g′(x)>0,当 2<x≤3 时,g′(x)<0.∴当 x=2 时, g(x)取得极大值,也是最大值,故将 2 亿元用于技术改 造,1 亿元用于广告促销时,该公司的收益最大.

第16讲│ 要点探究

[点评] 用导数求解实际问题中的最大值或最小值 时,一般先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确 定其定义域,然后转化为导数模型求解.

第16讲│ 要点探究

1 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这 两墩相距 m 米.余下工程只需要建两端桥墩之间的桥 面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元; 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不 考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最 小?

第16讲│ 要点探究

[思路] (1)用 x 表示出桥墩数目, 即可建立其函数 关系;(2)利用导数求解模型.
? ? [解答] (1)设需要新建 n 个桥墩,则??n+1??x=m,

m ? ?? ? ? ? ?x?=256n+?n+1??2+ x?x= 即 n= x -1,所以 y=f? ? ? ?? ? ?m ? 256m ? ? ? -1?+m?2+ x?= 256 x ? ? x +m x+2m-256. ? ?

第16讲│ 要点探究
? 256m 1 1 m? 3 (2)由(1)知 f′ x =- 2 + mx- = 2?x2-512?. x 2 2 2x ? ? 3 ? ? ?x?=0, 令 f′? ? 得 x =512, 所以 x=64.当 0<x<64 时, ???x??? f′ 2
? ? ? ? ? ?

<0,f???x???在区间(0,64)内为减函数;当 64<x<640 时,f′???x??? >0,f???x???在区间(64,640)内为增函数.所以 f???x???在 x=64 处取得极小值也是最小值,此时, m 640 n= x -1= -1=9.故需新建 9 个桥墩才能使 y 64 最小.

第16讲│ 要点探究

2 [2010· 合肥二检] 某电视生产厂家有 A、B 两 种型号的电视机参加家电下乡活动, 若厂家投放 A、 型号 B 电视机的价值分别为 p、q 万元,农民购买电视机获得的补 1 2 贴分别为 p,lnq 万元, 已知厂家把总价值为 10 万元的 A、 10 5 B 两种型号投放市场,且 A、B 两型号的电视机投放金额都 不低于 1 万元,请你制定一个投放方案,使得在这次活动 中农民得到的补贴最多, 并求出其最大值(精确到 0.1, 参考 数据:ln4≈1.4).

第16讲│ 要点探究

[解答] 设 B 型号电视机的价值为 x 万元(1≤x≤9), 农民得 到的补贴为 y 万元,则 A 型号电视机的价值为(10-x)万元, 1 2 2 1 由题意得,y= (10-x)+ lnx= lnx- x+1, 10 5 5 10 2 1 y′= - ,由 y′=0 得 x=4, 5x 10 当 x∈[1,4)时,y′>0,当 x∈(4,9]时,y′<0, 2 所以当 x=4 时,y 取最大值,ymax= 1n4-0.4+1≈1.2. 5 即厂家分别投放 A、B 两型号电视机 6 万元和 4 万元时, 农民得到补贴最多,最多补贴约为 1.2 万元.

第16讲│ 规律总结 规律总结
1.函数的最值与函数的极值是两个不同的概念.求 极值时,先求得导数为 0 的点,然后根据该点两侧的单调 性判断它是不是极值点,如果是极值点,进一步判断在该 点取得极大值还是极小值,而最值是函数在区间[a,b]上 所有点的函数值中的最大值或最小值. 2.根据最值的定义可知:函数的最值只可能在极值 点取得,或者在区间的端点处取得.因此,求函数在闭区 间内的最值时,只需要比较导数为 0 的点的函数值与端点 值的大小,其中最大的值即为函数的最大值,最小的值即 为函数的最小值.

第16讲│规律总结
3.求函数在开区间或无穷区间上的最值时,由于端 点不在定义域范围内,因此,若该函数在开区间或无穷 区间上只有一个极值点时,那么不与端点值比较,也可 以知道它是最值点. 4.在生产生活中,常常会遇到一些最优化问题,即 要求在一定条件下使得用料最少、消耗最省、用力最省、 经营利润最大、生产效率最高、强度最大等,解决这些 问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,也往往把 问题归结为求函数的最大值和最小值,而导数是解决这 类问题的通性通法,因此利用导数求解最优化问题也是 函数内容的继续与延伸.

第16讲│ 规律总结

5.利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法 如下:(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确 设定所求最大值或最小值的变量 y 与自变量 x,把实际 问题转化为数学问题,即列出函数关系 y=f(x),并根据 实际问题中的限制条件确定 y=f(x)的定义域;(2)求 f′(x),令 f′(x)=0,得出方程所有实数根;(3)比较函数 在各个区间端点和在极值点的取值大小,确定其最大值 或最小值;(4)检验结果的实际意义,给出答案.

第17讲│导数的综合运用

第17讲

导数的综合运用

第17讲│ 知识梳理

知识梳理
m<f(x)min 1.f(x)>m 恒成立等价于________;f(x)<m 恒成 m>f(x)max 立等价于________. 2.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极大值为 f(x1) , 极 小 值 为 f(x2) , 若 函 数 有 三 个 零 点 , 则 f(x1)>0 且 f(x2)<0 ________________ ; 函 数 有 两 个 零 点 , 则 f(x1)=0 或 f(x2)=0 函 数 有 且仅 有一 个 零点, 则 ________________; f(x1)<0 或 f(x2)>0 ________________.

第17讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1 利用导数研究不等式的证明 例1 [2010· 湖南十二校二联] 已知函数 f(x)=x3-ax, 1 5 g(x)= x2-lnx- . 2 2 (1)若 g(x)与 f(x)在同一点处有相同的极值,求实数 a 的值; (2)对一切 x∈(0,+∞),有不等式 f(x)≥2x· g(x)-x2+5x -3 恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 2 5 1 2 (3)记 G(x)= x - -g(x),求证:G(x)> x- (e 是自 2 2 e ex 然对数的底数).

第17讲│ 要点探究

1 [解答] (1)由题知,g′(x)=x- ,令 g′(x)=0 x 得 x=1(x>0), 当 0<x<1 时,g′(x)<0;当 x>1 时,g′(x)>0, 故当 x=1 时,g(x)有极小值为 g(1)=-2, ∴f(1)=-2,且 f′(1)=0,∴a=3.

第17讲│ 要点探究
(2)原不等式可化为:x
3

?1 2 5? -ax≥2x? x -lnx- ?-x2+5x-3,化简得: 2? ?2

3 ax≤2xlnx+x2+3,因为 x∈(0,+∞),故上式可化为 a≤2lnx+ +x,则 x ? ? 3 3 可知 a≤2lnx+ +x 恒成立,即 a≤?2lnx+ +x?min, x x ? ? 3 记 t(x)=2lnx+ +x(x>0), x ? ? x2+2x-3 3 2 3 则 t′(x)=?2lnx+ +x?′= - 2+1= , x x x x2 ? ? x2+2x-3 令 t′(x)=0 得, =0,x=1, x2 在(0,1)上 t′(x)<0,在(1,+∞)上 t′(x)>0, 故当 x=1 时,t(x)有极小值为 4,即为最小值,故 a∈(-∞,4].

第17讲│ 要点探究
1 2 (3)由题知,G(x)=lnx,原不等式可化为 lnx> x- , e ex ?1 ? x 2 即证 xlnx> x- 成立,记 F(x)=xlnx,其最小值为 F? ?= e e ?e ? 1 1 - ,即 F(x)≥- . e e x 2 1 记 H(x)= x- ,则其最大值为 H(1)=- , e e e 所以当 x∈(0,+∞)时,F(x)>H(x),故原不等式成立.
[点评] 利用导数证明不等式的关键是构建适当的辅助 函数,即设法利用导数方法来研究函数的单调性,需要把 要证的不等式等价转化为同一函数的不同函数值的形式.

第17讲│ 要点探究
? 探究点2 利用导数研究方程的根

例 2 设 a∈R,试讨论关于 x 的三次方程 x3-3x2-a=0 有相异实根的个数.

[思路] 构造函数, 利用导数研究函数图象的大 致形状,并结合数形结合思路求解.

第17讲│ 要点探究
[解答] 将原方程变形为 x3-3x2=a(※),令 y=f(x) =x3-3x2,则 y′=3x(x-2).由 y′=0,得 x=0 或 x= 2.由下表讨论函数的单调性和极值:

x y′ y

(-∞,0) + ↗

0 0

(0,2) - ↘

2 0

(2,+∞) + ↗

极 大 值

极 小 值

第17讲│ 要点探究

此时,f(x)的极大值是 f(0)=0,极小 值是 f(2)=-4.于是函数 y=f(x)=x3- 3x2 的大致图象如图所示. 因为方程(※)的相异实根的个数是 y =f(x)的图象和直线 y=a 的交点的个数, 所以相异实根的个数为: (1)当 a<-4 或 a>0 时,有 1 个; (2)当 a=-4 或 a=0 时,有 2 个; (3)当-4<a<0 时,有 3 个.

第17讲│ 要点探究

[点评] 用求导的方法确定某些方程有无实 根,有几个实根,是一种有效的解题方法,它 主要通过构造函数,然后用导数研究函数的变 化情况,并运用数形结合思想求解.

第17讲│ 要点探究
? 探究点2 导数在研究数学问题的其他应用

例3 若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x) 对其定义域上的任意实数 x 分别满足:f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b, 则称直线 l: y=kx+b 为函数 f(x)和 g(x)的“隔 离直线”. 已知 h(x)=x2, φ(x)=2elnx(其中 e 为自然对数 的底数). (1)求 F(x)=h(x)-φ(x)的极值; (2)函数 h(x)和 φ(x)是否存在隔离直线?若存在,求 出此隔离直线的方程;若不存在,请说明理由.

第17讲│ 要点探究

[ 解 答] (1)∵F ??x?? = h ??x ?? - φ ??x ?? = x2 - 2elnx ??x>0 ?? , 2e 2 x- e x+ e ? ? x =2x- = ∴F′ .当 x= e时,F′ ??x ??= x x
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

0.∵当 0<x< e时,F′??x ??<0,此时函数 F??x ??是减少的;当 x> e时,F′??x ??>0,此时函数 F??x ??是增加的,∴当 x= e 时,F??x ??取极小值,其极小值为 0.
? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

第17讲│ 要点探究

(2)由题可知函数 h??x ??和 φ??x ??的图象在 x= e处有公
? ? ? ? 共点, 因此若存在 h??x ??和 φ??x ??的隔离直线, 则该直线过这

? ?

? ?

个公共点.设隔离直线的斜率为 k,则直线方程为 y-e
? ? =k x- e ?? ,即 y=kx+e-k e.由 h ??x ?? ≥kx+e-k e ? ? ? ? ? ? ?

x∈R???,可得 x2-kx-e+k e≥0,当 x∈R 时恒成立.

第17讲│ 要点探究
? ? ∴Δ= k-2 e ,∴由 Δ≤0,得 k=2 e.下面证明 φ??x ??≤2 ex ? ? ? ?2 ? ?

-e, x>0 时恒成立. G??x ??=φ??x ??-2 ex+e=2elnx-2 e 当 令 2 e e-x?? 2e ? ? ? ? x+e,则 G′??x ??= -2 e= ,当 x= e时,G′??x ??= x x 0.∵当 0<x< e时, ??x ??>0, G′ 此时函数 G??x ??是增加的; x> e 当
? ? ? ? ? ? 时,G′??x ??<0,此时函数 G??x ??是减少的,∴当 x= e时,G??x ??取 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

极大值, 其极大值为 0.从而 G??x ??=2e1nx-2 ex+e≤0, φ??x ?? 即
? ? ? ? ? ? ≤2 ex-e??x>0 ??恒成立,∴函数 h??x ??和 φ??x ??存在唯一的隔离直

? ?

? ?

线 y=2 ex-e.

第17讲│ 规律总结 规律总结
1.利用导数证明不等式是导数的应用之一,一般地, 要证明不等式 f(x)>g(x)在区间 I 上恒成立,则可构造函数 h(x)=f(x)-g(x),通过讨论 h′(x)在区间 I 上的取值范围, 判断出函数 h(x)的单调性,然后由函数 h(x)在区间 I 上的 一个初始值,证得不等式成立. 2.利用导数研究方程问题,主要是指根据方程构造 函数,然后利用导数,研究得到函数的单调性、极值、最 值,从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问 题.


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