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《1.1集合》 教案


1.1 集合
适用学科 适用区域 数学 新课标 适用年级 课时时长(分钟) 高三 60

知 识 点

教学目标

集合的概念;集合中元素的性质(确定性、无序性、互异性) ;属于与不属于的应用;常用数集及其记法; 列举法;描述法;Venn 图法;两个集合相等的含义;证明集合相等的方法;子机、真子集、空集;包含 关系与属于关系的区别;子集个数问题;不包含关系的含义;并集、交集、补集;交、并、补的混合运 算 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述 法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中, 了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集 的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的概念和集合的运算、Venn 图 集合的运算、Venn 图

教学重点 教学难点

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教学过程 一、课堂导入 有一位牧民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义,于是他请教一位数学家:“尊敬的先生,请你告诉我集 合是什么?”集合是不定义的概念,数学家很难回答.一天,他看到牧民正在向羊圈里赶羊,等到牧民把羊全赶进羊圈并 关好门.数学家突然灵机一动,高兴地告诉牧民:“这就是集合”.你能理解集合了吗?集合就是把需要的东西拿到一起.

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二、复习预习 1.自然数的集合包含:零和 ;有理数的集合包含:整数和 2.在平面上,到一个定点的距离等于定长的点的集合 3.到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条线段的

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二、知识讲解 考点 1 元素与集合 (1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合与元素的关系:若 a 属于 A,记作 a∈A;若 b 不属于 A,记作 b?A. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集及其符号表示 数集 符号 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

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考点 2

集合间的基本关系 表示 关系 相等 子集 真子集 空集 文字语言 符号语言 A?B 且 B?A?A =B A?B 或 B?A A B或B A ??A? B(B≠?)

集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A 中任意一个元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有 一个元素不是 A 中的元素 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

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考点 3

集合的基本运算 集合的并集 符号表示 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为 U,则集 合 A 的补集为?UA

图形表示 ?UA={x|x∈U,且 x?A}

意义

{x|x∈A,或 x∈B}

{x|x∈A,且 x∈B}

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四、例题精析 【例题 1】 【题干】(1)已知非空集合 A={x∈R|x2=a-1},则实数 a 的取值范围是________. (2)已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________.

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【答案】(1)[1,+∞) (2)(-∞,1] 【解析】(1)∵集合 A={x∈R|x2=a-1}为非空集合, ∴a-1≥0,即 a≥1. (2)∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0}, 即 1-2+a≤0,∴a≤1.

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【例题 2】 【题干】若集合 A={x|x2+ax+1=0,x∈R},集合 B={1,2},且 A?B,则实数 a 的取值范围是________.

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【答案】[-2,2) 【解析】(1)若 A=?,则 Δ=a2-4<0,解得-2<a<2; (2)若 1∈A,则 12+a+1=0,解得 a=-2,此时 A={1},符合题意;
? 1? 5 (3)若 2∈A,则 22+2a+1=0,解得 a=-2,此时 A=?2,2?,不合题意. ? ?

综上所述,实数 a 的取值范围为[-2,2)

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【例题 3】 【题干】 已知全集 U=R,函数 y= A.{x|-2≤x<1} C.{x|1<x≤2} 1 的定义域为 M,N={x|log2(x-1)<1},则如图所示阴影部分所表示的集合是( x -4
2

)

B.{x|-2≤x≤2} D.{x|x<2}

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【答案】C 【解析】集合 M=(-∞,-2)∪(2,+∞),?UM=[-2,2],集合 N=(1,3),所以?UM∩N=(1,2].

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【例题 4】
? ? 1 1 2 1 【题干】若 x∈A,且 ∈A,则称集合 A 为“和谐集”.已知集合 M=?-2,-1,-2,0,1,2,3,2,3?,则 1-x ? ?

集合 M 的子集中,“和谐集”的个数为( A.1 C .3 B.2 D.4

)

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【答案】C 【解析】当 x=-2 时, 当 x=-1 时, 1 1 =3?M,故-2 不是“和谐集”中的元素; 1-x

1 1 =2∈M; 1-x

1 1 当 x=2时, =2∈M; 1-x 1 当 x=2 时, =-1∈M. 1-x 1 所以-1,2,2 可以作为“和谐集”中的一组元素; 1 1 2 当 x=-2时, =3∈M; 1-x 2 1 当 x=3时, =3∈M; 1-x 1 1 当 x=3 时, =-2∈M. 1-x 1 2 所以-2,3,3 可以作为“和谐集”中的一组元素;
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1 1 当 x=0 时, =1∈M,但 x=1 时, 无意义, 1-x 1-x 所以 0,1 不是“和谐集”中的元素. 1 1 2 所以集合 M 的子集为“和谐集”,其元素只能从两组元素:-1,2,2 与-2,3,3 中选取一组或两组,
? ? ? 1 2 ? 1 1 1 2 故“和谐集”有?-1,2,2?,?-2,3,3?,-1,2,2,-2,3,3 三个. ? ? ? ?

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五、课堂运用 【基础】 1. (2012· 辽宁高考)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集合 A={0,1,3,5,8}, 集合 B={2,4,5,6,8}, 则(?UA)∩(?UB)=( A.{5,8} C.{0,1,3} B.{7,9} D.{2,4,6}

)

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解析:选 B ?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},则(?UA)∩(?UB)={7,9}.

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2.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 C .1 或 3 B.0 或 3 D.1 或 3

)

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解析:选 B 由 A∪B=A 得 B?A,有 m∈A,所以有 m= m或 m=3,即 m=3 或 m=1 或 m=0,又由集合中元素 互异性知 m≠1.

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3.(2012· 湖北高考)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的 个数为( A.1 C .3 ) B.2 D.4

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解析:选 D A={1,2},B={1,2,3,4},A?C?B,则集合 C 的个数为 24-2=22=4,即 C={1,2},{1,2,3},{1,2,4}, {1,2,3,4}.

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【巩固】
? ? 9a 4.若 1∈?a-3, 2 -1,a2+1,-1?,则实数 a 的值为________. ? ?

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解析:若 a-3=1,则 a=4,此时

9a 9a 4 -1=a2+1=17 不符合集合中元素的互异性;若 -1=1,则 a= ,符合条件; 2 2 9

9a 4 若 a2+1=1,则 a=0,此时 2 -1=-1,不符合集合中元素的互异性.综上可知 a=9. 4 答案:9

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m+n 5.(2013· 合肥模拟)对于任意的两个正数 m,n,定义运算⊙:当 m,n 都为偶数或都为奇数时,m⊙n= 2 ,当 m, n 为一奇一偶时,m⊙n= mn,设集合 A={(a,b)|a⊙b=6,a,b∈N*},则集合 A 中的元素个数为________.

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解析:(1)当 a,b 都为偶数或都为奇数时, 故符合题意的点(a,b)有 2× 5+1=11 个.

a+b =6?a+b=12,即 2+10=4+8=6+6=1+11=3+9=5+7=12, 2

(2)当 a,b 为一奇一偶时, ab=6?ab=36,即 1× 36=3× 12=4× 9=36,故符合题意的点(a,b)有 2× 3=6 个. 综上可知,集合 A 中的元素共有 17 个. 答案:17

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【拔高】 6.设全集 U=R,A={x|-x2-3x>0},B={x|x<-1},则 A.{x|x>0} B.{x|-3<x<-1} C.{x|-3<x<0} D.{x|x<-1} 图中阴影部分表示的集合为( )

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解析: 选 B 依题意得集合 A={x|-3<x<0}, 所求的集合即为 A∩B, 所以图中阴影部分表示的集合为{x|-3<x<-1}.

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7.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)· (x-3a)<0}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (3)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的取值范围.

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解:∵A={x|x2-6x+8<0},∴A={x|2<x<4}. ?a≤2, 4 (1)若 A?B,当 a=0 时,B=?,显然不成立;当 a>0 时,B={x|a<x<3a},应满足? ?3≤a≤2;当 a<0 时,B= ?3a≥4 ?3a≤2, 4 {x|3a<x<a},应满足? 此时不等式组无解,∴当 A?B 时,3≤a≤2. ?a≥4, 2 (2)∵要满足 A∩B=?,当 a=0 时,B=?满足条件;当 a>0 时,B={x|a<x<3a},a≥4 或 3a≤2.∴0<a≤3或 a≥4; 2 当 a<0 时,B={x|3a<x<a}.∴a<0 时成立,综上所述,a≤3或 a≥4 时,A∩B=?. (3)要满足 A∩B={x|3<x<4},显然 a=3.

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课程小结 1、在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下,集合的运算关系和包含 关系之间可以相互转化,如 A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?,在解题中运用这种转化能有效简化解 题过程. 2、解答集合题目应注意的问题 (1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系. (3)要注意空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. (4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. (5)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.

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