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二面角及其平面角


二面角及其平面角 [引言] 二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点,也是许多同学较为头疼的问题.本文则 主要讲解二面角类问题的常用解法. [概念] 由一条直线出发的两个半平面组成的图形(或:一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形) 叫做二面角.直线叫做二面角的棱,半平面叫做二面角的面.

图 1 二面角ɑ-l-β 由半平面ɑ-直线 l-半平面 β 构成 [二面角的度量] 以二面角棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角. 二面角的平面角的三个特征:1、点在棱上 2、线在面内 3、与棱垂直 二面角的平面角的大小范围:0°≤θ≤180° 平面角是 90°的二面角叫做直二面角 [二面角的平面角作法] 做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键, 这里笔者提供找平面角的三种 方法供同学们参考 1、定义法: 此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点 P 作平面ɑ内一条直线 AP 与 平面β 内一条直线 BP 分别与棱 l 垂直,则∠APB 即为二面角ɑ-l-β 的平面角. 2、三垂线(逆)定理法:此法适用于过面上一点找平面角.过平面 β 上一点 P 作 PA⊥ɑ于 A, 再过 A 作 AB⊥棱 l 于 B,连接 BP.易证平面 ABP⊥l,故∠APB 即为二面角ɑ-l-β 的平面角 3、垂面法:此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点 P 分别作平面ɑ、β 的垂 线 PA、PB,连接 B、O、A.易证平面 PBOA⊥l,故∠APB 即为二面角ɑ-l-β 的平面角

图 2 二面角的平面角的三种作法 [例题 1]

已知锐二面角ɑ-l-β,A 为ɑ内一点,A 到 β 的距离为 2√3,到 l 距 离为 4,求二面角 ɑ-l-β 的大小 此例题较简单,通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步: 1、找到或作出题目中二面角的平面角 2、证明 1 中的角为所求二面角 3、计算出角的大小 一“作”二“证”三“计算” 下面给出参考解法 解:过 A 作 AO⊥ɑ 于 O,过 O 作 OD⊥l 于 D,连结 AD.(对应 1) 由三垂线定理得 AD⊥l ∴∠ADO 即为二面角ɑ-l-β 的平面角(对应 2) ∵AO 为 A 到 β 的距离,AD 为 A 到 l 的距离 ∴AO=2√3,AD=4 在 Rt△ADO 中 ∴sin∠ADO=√3/2 ∵二面角的范围是[0,π ] 故∠ADO=60° 即二面角 ɑ-l-β 的大小为 60°(对应 3) 需要注意的是, 有时题目中并不直接给出点到平面的距离, 此时点到平面的距离通常要用到 简单几何体的体积或勾股定理求出. [思考]

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.若 PA=1,AD=2,试求二面角 B-PC-A 的正切值. 点拨:不妨证明 BD⊥平面 PAC,或利用面积法求出点到平面的距离. [拓展延伸] 以下内容供有余力的同学参考 面积射影定理: “平面图形射影面积等于被射影图形的面积 S 乘以该图形所在平面与射影面

所夹角的余弦.” S 射影面积=S 原图形面积×cosθ 即 cosθ=S 射影图/S 原图 (平面多边形及其射影的面积分别是 S 原,S 射影,它们所在平面所成锐二面角的为 θ) 证明思路:因为射影就是将原图形的长度(三角形中称高)缩放,所以宽度是不变的,又因为 平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度 (三角形中称高) 的比.那么这个比 值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱 (即原多边形图的平面和射影平面的交线),那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形 的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算,即可. 运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题,关键是从图中找出斜面多边形和它在有关 平面上的射影 (即找到从一个面内一点向另一面的垂线) 通常求两个面内的三角形的面积比 较容易.


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