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甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)


甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高二下学期第一次月考数 学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 40 分 1.给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. 命题 P: ?α∈R, sin (π﹣α) =cosα; 命题 q: ?m>0, 双曲线 下面结论正确的是() A.P 是假命题 B.¬q 是真命题
2



=1 的离心率为

. 则

C.p∧q 是假命题

D.p∨q 是真命题

3.“a=1”是“直线 x+2y=0 与直线 x+(a +1)y+a+1=0 平行”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.曲线 5x ﹣ky =5 的焦距为 4,那么 k 的值为() A. B. C. 或﹣1 D. 或﹣
2 2

5.已知 B(﹣5,0) ,C(5,0)是△ ABC 的两个顶点,且 sinB﹣sinC= sinA,则顶点 A 的轨迹方程为() A. =1(x<﹣3) B. =1(x≤﹣3)

C.

=1

D.

=1(x>3)

6.已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2,过 P,Q 分别作抛 物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为() A.1 B. 3 C.﹣4 D.﹣8 7.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有() A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种

2

8.若 S1=

x dx,S2=

2

dx,S3=

e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为() C.S2<S3<S1
m n

x

A.S1<S2<S3
6

B.S2<S1<S3
4

D.S3<S2<S1

9.在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f(2,1) +f(1,2)+f(0,3)=() A.45 B.60 C.120 D.210 10.有 5 列火车停在某车站并行的 5 条轨道上,若快车 A 不能停在第 3 道上,货车 B 不能 停在第 1 道上,则 5 列火车的停车方法共有() A.78 种 B.72 种 C.120 种 D.96 种 11.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(1+x)=2f(1﹣x)﹣x +3x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1) )处的切线方程是() A.x﹣y﹣2=0 B.x﹣y=0 C.3x+y﹣2=0 D.3x﹣y﹣2=0 12.设 f(x)是定义在 R 上的可导函数,且满足 f′(x)>f(x) ,对任意的正数 a,下面不 等式恒成立的是() A.f(a)<e f(0) B.f(a)>e f(0) C.
a a 2

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,{F_1}(-\sqrt{3},0) ,{F_2}(\sqrt{3},0) 共 20 分. 13.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有个. (用数 字作答) 14.已知函数 f(x)=3x +2x+1,若
2

(a>0)成立,则 a=.

15.若(ax + ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a +b 的最小值为.

2

6

3

2

2

16.设点 P 是曲线 值范围为.

上的任意一点,点 P 处的切线的倾斜角为 α,则 α 的取

三、解答题(本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17.已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根;q:不等式 4x +4(m﹣2)x+1>0 的解集为 R;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

18.已知以点 A(﹣1,2)为圆心的圆与直线 m:x+2y+7=0 相切,过点 B(﹣2,0)的动 直线 l 与圆 A 相交于 M、N 两点 (1)求圆 A 的方程. (2)当|MN|=2 时,求直线 l 方程. 19.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由. (1)渐近线方程为 x+2y=0,x﹣2y=0; (2)点 A(5,0)到双曲线上动点 P 的距离最小值为 . 20.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,实轴长 2 . (1)求双曲线的方程 (2)若直线 l:y=kx+ 与双曲线恒有两个不同的交点 A,B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围.

21.如图,椭圆 C:

经过点 P(1, ) ,离心率 e= ,直线 l 的方

程为 x=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ

的值;若不存在,说明理由.

22.在平面直角坐标系中,若 =(x﹣

,y) , =(x+

,y) ,且| |+| |=4,

(I)求动点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知定点 P(t,0) (t>0) ,若斜率为 1 的直线 l 过点 P 并与轨迹 C 交于不同的两点 A,B,且对于轨迹 C 上任意一点 M,都存在 θ∈[0,2π],使得 试求出满足条件的实数 t 的值. =cosθ? +sinθ 成立,

甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高二下学期第一 次月考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 40 分 1.给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为 q 是?p 的充分不必要条件,进而 根据逆否命题及充要条件的定义得到答案. 解答: 解:∵?p 是 q 的必要而不充分条件, ∴q 是?p 的充分不必要条件,即 q??p,但?p 不能?q, 其逆否命题为 p??q,但?q 不能?p, 则 p 是?q 的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同, 转化为 q 是?p 的充分不必要条件,是解答的关键.

2. 命题 P: ?α∈R, sin (π﹣α) =cosα; 命题 q: ?m>0, 双曲线 下面结论正确的是() A.P 是假命题 B.¬q 是真命题



=1 的离心率为

. 则

C.p∧q 是假命题

D.p∨q 是真命题

考点: 特称命题;全称命题. 专题: 计算题. 分析: 由于可判断命题 p 为真命题,而命题 q 为真命题,再根据复合命题的真假判定,一 一验证选项即可得正确结果. 解答: 解:当 时,Rsin(π﹣α)=cosα,故命题 p 为真命题,

∵双曲线



=1 中 a=b=|m|=m,

∴c= ∴e= =

=m ,故命题 q 为真命题.

∴¬p 为假命题,¬q 是假命题,p∨q 是真命题; 故选 D. 点评: 本题主要考查了命题真假判断的应用,简单复合命题的真假判断,属于基础试题. 3.“a=1”是“直线 x+2y=0 与直线 x+(a +1)y+a+1=0 平行”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据直线平行的条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:当 a=1 时,两直线方程分别为 x+2y=0 与直线 x+2y+2=0 满足,两直线平行, 充分性成立. 若直线 x+2y=0 与直线 x+(a +1)y+a+1=0 平行, 2 则 a +1=2 且 a+1≠0, 解得 a=±1 且 a≠﹣1, 即 a=1, 2 ∴“a=1”是“直线 x+2y=0 与直线 x+(a +1)y+a+1=0 平行”的充要条件, 故选:C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用直线平行的条件是解决本题的关 键. 4.曲线 5x ﹣ky =5 的焦距为 4,那么 k 的值为() A. B. C. 或﹣1 D. 或﹣
2 2 2

考点: 椭圆的标准方程;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 2 2 2 分析: 先把曲线 5x ﹣ky =5 化为标准形式,分曲线 5x ﹣ky =5 是椭圆和曲线 5x ﹣ky =5 是双曲线两种情况进行分类讨论,能求出 k 的值. 解答: 解:曲线 5x ﹣ky =5 化为标准形式,得 ∵曲线 5x ﹣ky =5 的焦距为 4, 2 2 ∴当曲线 5x ﹣ky =5 是椭圆时, =2,解得 k=﹣1; 当曲线 5x ﹣ky =5 是双曲线时, =2,解得 k= . ∴k 的值为 或﹣1. 故选:C. 点评: 本题考查实数 k 的值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的 合理运用. 5.已知 B(﹣5,0) ,C(5,0)是△ ABC 的两个顶点,且 sinB﹣sinC= sinA,则顶点 A 的轨迹方程为() A. =1(x<﹣3) B. =1(x≤﹣3)
2 2 2 2 2 2



C.

=1

D.

=1(x>3)

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由正弦定理,得|AC|﹣|AB|=6<10=|BC|,点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线右 支,结合双曲线的标准方程用待定系数法,即可求出顶点 A 的轨迹方程. 解答: 解:∵sinB﹣sinC= sinA, ∴由正弦定理,得|AC|﹣|BC|= a(定值) , ∵双曲线的焦距 2c=10,|AC|﹣|BC|= a=6, 即|AC|﹣|AB|=6<10=|BC|,可得 A 的轨迹是以 BC 为焦点的双曲线左支 b =c ﹣a =16,可得双曲线的方程为
2 2 2

=1(x<﹣3)

∴顶点 A 的轨迹方程为

=1(x<﹣3)

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的定义和标准方程,正弦定理的应用,判断点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线一支,是解题的关键. 6.已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2,过 P,Q 分别作抛 物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为() A.1 B. 3 C.﹣4 D.﹣8 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 首先可求出 P(4,8) ,Q(﹣2,2) ,然后根据导数的几何意义求出切线方程 AP, AQ 的斜率 KAP, KAQ, 再根据点斜式写出切线方程, 然后联立方程即可求出点 A 的纵坐标. 2 解答: 解:∵P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2, ∴P(4,8) ,Q(﹣2,2) , ∵x =2y, ∴y= ,
2 2

∴y′=x, ∴切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP=4,KAQ=﹣2, ∴切线方程 AP 为 y﹣8=4(x﹣4) ,即 y=4x﹣8, 切线方程 AQ 的为 y﹣2=﹣2(x+2) ,即 y=﹣2x﹣2, 令 ,





∴点 A 的纵坐标为﹣4. 故选:C. 点评: 本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程,属常考题,较难.解题的关键 是利用导数的几何意义求出切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP,KAQ. 7.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有() A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分步计数问题, A 只能出现在第一步或最后一步, 从第一个位置和最后 一个位置选一个位置把 A 排列,程序 B 和 C 实施时必须相邻,把 B 和 C 看做一个元素,同 除 A 外的 3 个元素排列,注意 B 和 C 之间还有一个排列. 解答: 解:本题是一个分步计数问题, ∵由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步, 1 ∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列,有 A2 =2 种结果 ∵程序 B 和 C 实施时必须相邻, ∴把 B 和 C 看做一个元素,同除 A 外的 3 个元素排列,注意 B 和 C 之间还有一个排列,共 有 A4 A2 =48 种结果 根据分步计数原理知共有 2×48=96 种结果, 故选 C. 点评: 本题考查分步计数原理,考查两个元素相邻的问题,是一个基础题,注意排列过程 中的相邻问题,利用捆绑法来解,不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列.
2 x 4 2

8.若 S1=

x dx,S2=

dx,S3=

e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为() C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1

A.S1<S2<S3

B.S2<S1<S3

考点: 微积分基本定理. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先利用积分基本定理计算三个定积分,再比较它们的大小即可. 解答: 解:由于 S1= S2= S3= dx=lnx| e dx=e |
2 x x

x dx=

2

|

= ,

=ln2, =e ﹣e.
2

且 ln2< <e ﹣e,则 S2<S1<S3. 故选:B.

点评: 本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识,考查运算求解能 力.属于基础题. 9.在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f(2,1) +f(1,2)+f(0,3)=() A.45 B.60 C.120 D.210 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 3 0 2 1 1 2 0 3 分析: 由题意依次求出 x y ,x y ,x y ,x y ,项的系数,求和即可. 解答: 解: (1+x) (1+y) 的展开式中,含 x y 的系数是: 含 x y 的系数是 含 x y 的系数是 含 x y 的系数是
0 3 1 2 2 1 6 4 3 0 6 4 m n

=20.f(3,0)=20;

=60,f(2,1)=60; =36,f(1,2)=36; =4,f(0,3)=4;

∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120. 故选:C. 点评: 本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力. 10.有 5 列火车停在某车站并行的 5 条轨道上,若快车 A 不能停在第 3 道上,货车 B 不能 停在第 1 道上,则 5 列火车的停车方法共有() A.78 种 B.72 种 C.120 种 D.96 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 由题意,需要分类,快车 A 停在第 1 道上和快车 A 不停在第 1 道上,根据分类计 数原理可得. 4 解答: 解:若快车 A 停在第 1 道上,其它 4 列任意停,故有 A4 =24 种,

若快车 A 不停在第 1 道上,则快车 A 有 3 种停法,货车 B 也有 3 种停法,其它 3 列任意停, 故有 3×3×A3 =54 种, 根据分类计数原理,共有 24+54=78 种, 故选:A. 点评: 本题考查了分类计数原理,特殊元素特殊安排原则,属于中档题. 11.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(1+x)=2f(1﹣x)﹣x +3x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1) )处的切线方程是() A.x﹣y﹣2=0 B.x﹣y=0 C.3x+y﹣2=0 D.3x﹣y﹣2=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 对等式两边进行求导数,通过赋值求切线斜率;对等式赋值求切点坐标;据点斜式 写出直线方程. 2 解答: 解:∵f(1+x)=2f(1﹣x)﹣x +3x+1 ∴f′(1+x)=﹣2f′(1﹣x)﹣2x+3 ∴f′(1)=﹣2f′(1)+3 ∴f′(1)=1 2 f(1+x)=2f(1﹣x)﹣x +3x+1 ∴f(1)=2f(1)+1 ∴f(1)=﹣1 ∴切线方程为:y+1=x﹣1 即 x﹣y﹣2=0 故选 A 点评: 本题考查对数的几何意义,在切点处的对数值是切线斜率,求切线方程. 12.设 f(x)是定义在 R 上的可导函数,且满足 f′(x)>f(x) ,对任意的正数 a,下面不 等式恒成立的是() A.f(a)<e f(0) B.f(a)>e f(0) C.
a a 2 3

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 压轴题;导数的概念及应用. 分析: 根据选项令 f(x)= ,可以对其进行求导,根据已知条件 f′(x)>f(x) ,

可以证明 f(x)为增函数,可以推出 f(a)>f(0) ,在对选项进行判断; 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的可导函数, ∴可以令 f(x)= ,

∴f′(x)=

=



∵f′(x)>f(x) ,e >0, ∴f′(x)>0, ∴f(x)为增函数, ∵正数 a>0, ∴f(a)>f(0) , ∴ >
a

x

=f(0) ,

∴f(a)>e f(0) , 故选 B. 点评: 此题主要考查利用导数研究函数单调性, 此题要根据已知选项令特殊函数, 是一道 好题; 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,{F_1}(-\sqrt{3},0) ,{F_2}(\sqrt{3},0) 共 20 分. 13.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有 14 个. (用 数字作答) 考点: 计数原理的应用. 专题: 算法和程序框图. 分析: 本题是一个分类计数问题,首先确定数字中 2 和 3 的个数,当数字中有 1 个 2,3 个 3 时,当数字中有 2 个 2,2 个 3 时,当数字中有 3 个 2,1 个 3 时,写出每种情况的结果 数,最后相加. 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题, 首先确定数字中 2 和 3 的个数, 当数字中有 1 个 2,3 个 3 时,共有 C4 =4 种结果, 2 当数字中有 2 个 2,2 个 3 时,共有 C4 =6 种结果, 1 当数字中有 3 个 2,1 个 3 时,共有有 C4 =4 种结果, 根据分类加法原理知共有 4+6+4=14 种结果, 故答案为:14 点评: 本题考查分类计数原理,是一个数字问题,这种问题一般容易出错,注意分类时要 做到不重不漏,本题是一个基础题,也是一个易错题,易错点在数字中重复出现的数字不好 处理.
2 1

14.已知函数 f(x)=3x +2x+1,若

(a>0)成立,则 a= .

考点: 微积分基本定理. 专题: 计算题. 分析: 先求出 f(x)在[﹣1,1]上的定积分,再建立等量关系,求出参数 a 即可. 解答: 解:由∫﹣1 f(x)dx=∫﹣1 (3x +2x+1)dx 3 2 1 =(x +x +x)|﹣1 =4=2f(a) , 2 得 f(a)=3a +2a+1=2,
1 1 2

解得 a=﹣1 或 . ∵a>0.∴a= 故答案为: . 点评: 本题主要考查了微积分基本定理、定积分的运算,属于基础题.
2 6 3 2 2

15.若(ax + ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a +b 的最小值为 2.

考点: 二项式系数的性质;基本不等式. 专题: 二项式定理. 分析: 利用二项式定理的展开式的通项公式,通过 x 幂指数为 3,求出 ab 关系式,然后 利用基本不等式求解表达式的最小值. 解答: 解: (ax + ) 的展开式中 x 项的系数为 20, 所以 Tr+1= 令 12﹣3r=3,∴r=3, ∴ab=1, a +b ≥2ab=2,当且仅当 a=b=1 时取等号. 2 2 a +b 的最小值为:2. 故答案为:2. 点评: 本题考查二项式定理的应用,基本不等式的应用,基本知识的考查.
2 2 2 6 3

= ,



16.设点 P 是曲线 值范围为[0°,90°]∪[120°,180°) .

上的任意一点,点 P 处的切线的倾斜角为 α,则 α 的取

考点: 简单复合函数的导数;直线的倾斜角. 分析: 先对函数进行求导, 然后表示出切线的且率, 再由切线的斜率与倾斜角之间的关系 课得到 α 的范围确定答案. 解答: 解:设点 P 是曲线 ∵ ∴y'=3x ﹣
2 2

上的任意一点,

∴点 P 处的切线的斜率 k=3x ﹣ ∴k ∴切线的倾斜角 α 的范围为:[0°,90°]∪[120°,180°) 故答案为:[0°,90°]∪[120°,180°) 点评: 本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系.考查知识的综合运用.

三、解答题(本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根;q:不等式 4x +4(m﹣2)x+1>0 的解集为 R;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法;复合命题的真假. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出 p, 再利用不等式 4x +4(m﹣2)x+1>0 的解集为 R 与判别式的关系即可得出 q; 由 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可得 p 与 q 为一真一假,进而得出答案. 2 解答: 解:∵方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根, ∴
2 2 2 2

,∴m>2 或 m<﹣2

又∵不等式 4x +4(m﹣2)x+1>0 的解集为 R, ∴ ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 与 q 为一真一假, (1)当 p 为真 q 为假时, ,解得 m<﹣2 或 m≥3. ,∴1<m<3

(2)当 p 为假 q 为真时, 综上所述得:m 的取值范围是 m<﹣2 或 m≥3 或 1<m≤2. 点评: 熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关 键. 18.已知以点 A(﹣1,2)为圆心的圆与直线 m:x+2y+7=0 相切,过点 B(﹣2,0)的动 直线 l 与圆 A 相交于 M、N 两点 (1)求圆 A 的方程. (2)当|MN|=2 时,求直线 l 方程. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径,从而求解圆的方程; (2)根据相交弦长公式,求出圆心到直线的距离,设出直线方程,再根据点到直线的距离 公式确定直线方程. 解答: 解: (1)意知 A(﹣1,2)到直线 x+2y+7=0 的距离为圆 A 半径 r, ∴
2


2

∴圆 A 方程为(x+1) +(y﹣2) =20 (2)垂径定理可知∠MQA=90°.且 在 Rt△ AMQ 中由勾股定理易知



设动直线 l 方程为:y=k(x+2)或 x=﹣2,显然 x=﹣2 合题意. 由 A(﹣1,2)到 l 距离为 1 知 .

∴3x﹣4y+6=0 或 x=﹣2 为所求 l 方程. 点评: 本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 19.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由. (1)渐近线方程为 x+2y=0,x﹣2y=0; (2)点 A(5,0)到双曲线上动点 P 的距离最小值为 . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;综合题;数形结合;转化思想. 分析: 根据双曲线和其渐近线之间的关系,设出双曲线的方程,根据点 A(5,0)到双曲 线上动点 P 的距离最小值为 ,转化为双曲线与半径为 的圆 A 相切,联立消去 y 得, 利用△ =0 即可求得双曲线的方程. 解答: 解:由渐近线方程为 x±2y=0,设双曲线方程为 x ﹣4y =m,∵点 A(5,0)到双 曲线上动点 P 的距离的最小值为 , 说明双曲线与半径为 的圆 A 相切, 2 2 2 2 2 2 ∵圆 A 方程为(x﹣5) +y =6,与 x ﹣4y =m 联立消去 y 得:4(x﹣5) +x =24+m 化简得 2 2 到:5x ﹣40x+76﹣m=0,△ =40 ﹣4×5×(76﹣m)=0, 2 2 解得 m=﹣4 所以满足条件的双曲线方程为 x ﹣4y =﹣4, 即y ﹣
2 2 2

=1. ,0)渐近线为 x±2y=0,双曲线方程为: .

或者双曲线的顶点在(5+

所以所求双曲线方程为:y ﹣

2

=1,



点评: 考查双曲线的简单的几何性质, 特别是双曲线方程与其渐近线方程之间的关系, 已 知双曲线的方程求其渐近线方程时,令
2

即可,反之,如此题设双曲线方程为 x

2

﹣4y =m,避免了讨论,条件(2)的设置增加了题目的难度,体现了转化的思想,属中档 题. 20.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,实轴长 2 . (1)求双曲线的方程 (2)若直线 l:y=kx+ 与双曲线恒有两个不同的交点 A,B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,实轴长 2 即可求出双曲线的标准方程;
2 2

,求出几何量,

(2) 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 k ≠ 且 k <1, 再由∠AOB 为锐角, 得 xAxB+yAyB >0,利用韦达定理结合题设条件进行求解. 解答: 解: (1)∵中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,实轴长 2 ∴ ∴双曲线的方程为 (2)将 y=kx+ ;
2 2





代入双曲线消去 y 得(1﹣3k )x ﹣6

kx﹣9=0.

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
2 2

即 k ≠ 且 k <1.① 设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,则 xA+xB= 由∠AOB 为锐角,得 xAxB+yAyB>0, 即 xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ ) (kxB+ = >0.② ,xAxB= .

)=(k +1)xAxB+

2

k(xA+xB)+2

, ∴ 综上: 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

21.如图,椭圆 C: 程为 x=4. (1)求椭圆 C 的方程;

经过点 P(1, ) ,离心率 e= ,直线 l 的方

(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ

的值;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 压轴题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意将点 P (1, )代入椭圆的方程,得到 ,

再由离心率为 e= ,将 a,b 用 c 表示出来代入方程,解得 c,从而解得 a,b,即可得到椭 圆的标准方程; (2)方法一:可先设出直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆的方程并整理成关于 x 的 一元二次方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系数的关系求得 x1+x2= ,

,再求点 M 的坐标,分别表示出 k1,k2,k3.比较 k1+k2=λk3 即可求得参 数的值; 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,以之表示出直线 FB 的方程为 ,由此

方程求得 M 的坐标, 再与椭圆方程联立, 求得 A 的坐标, 由此表示出 k1, k2, k3. 比较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值 解答: 解: (1)椭圆 C: 经过点 P (1, ) ,可得

① 由离心率 e= 得 = ,即 a=2c,则 b =3c ②,代入①解得 c=1,a=2,b=
2 2

故椭圆的方程为 (2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)③ 代入椭圆方程 并整理得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x2= , ④

在方程③中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k) , 从而 , , =k﹣

注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

=

=k

所以 k1+k2=

+

=

+

﹣ (

+



=2k﹣ ×



④代入⑤得 k1+k2=2k﹣ ×

=2k﹣1

又 k3=k﹣ ,所以 k1+k2=2k3 故存在常数 λ=2 符合题意 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,则直线 FB 的方程为

令 x=4,求得 M(4,



从而直线 PM 的斜率为 k3=



联立

,得 A(



) ,

则直线 PA 的斜率 k1=

,直线 PB 的斜率为 k2=

所以 k1+k2=

+

=2×

=2k3,

故存在常数 λ=2 符合题意

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题, 考查了分析转化的能力与探究的能力, 考查 了方程的思想,数形结合的思想,本题综合性较强,运算量大,极易出错,解答时要严谨运 算,严密推理,方能碸解答出.

22.在平面直角坐标系中,若 =(x﹣

,y) , =(x+

,y) ,且| |+| |=4,

(I)求动点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知定点 P(t,0) (t>0) ,若斜率为 1 的直线 l 过点 P 并与轨迹 C 交于不同的两点 A,B,且对于轨迹 C 上任意一点 M,都存在 θ∈[0,2π],使得 试求出满足条件的实数 t 的值. 考点: 轨迹方程;平面向量数量积的运算. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)| |+| |=4 符合椭圆的定义,利用定义法求轨迹方程即可; (Ⅱ)用参数确定 M 的坐标,代入椭圆方程,可得 x1x2+4y1y2=0,利用韦达定理,即可求 出满足条件的实数 t 的值. 解答: 解: (I)∵ ∴动点 Q(x,y)到两个定点 ∴轨迹 C 是以 ,且 , 的距离的和为 4, 为焦点的椭圆,方程为 , =cosθ? +sinθ 成立,

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=x﹣t,代入 消去 y 得 5x ﹣8tx+4t ﹣4=0, 由△ >0 得 t <5,且
2 2 2



∴y1y2=(x1﹣t) (x2﹣t)=

设点 M(x,y) ,由 ∵点 M(x,y)在 C 上,

可得

∴ =

=4(cos θ+sin θ)+2sinθcosθ(x1x2+4y1y2)=4+2sinθcosθ(x1x2+4y1y2) ∴2sinθcosθ(x1x2+4y1y2)=0, 又因为 θ∈[0,2π]的任意性,∴x1x2+4y1y2=0, ∴ ,又 t>0,得 t= 检验,满足条件,故 t 的值是 . ,

2

2

代入 t=

点评: 定义法是求圆锥曲线中轨迹方程的重要方法, 直线方程与圆锥曲线方程联立, 利用 韦达定理是我们常用的方法.


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