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高二数学上学期期末试题及答案(文)


高二数学上学期期末试题(文) 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1.数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a5 ? 1 ,则 a10 ? ( A. 5 B. ? 1 C. 0 D. 1 2.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) 2 2 3 3 A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a >b D.a >b 3.已知等比数列前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 16 ,则 S 8 ? ( A. 160 B. 64 C. ? 64 D. ? 160 ) ) )

4.在 ?ABC 中,如果 ? a ? b ? c ?? b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于( A. 30 ? B. 60 ? C. 120? ) D. 150?

5.下列曲线中焦点坐标为 (?1,0) 的是(

A.

3 2 x ? 3y2 ? 1 2

B.y=-4x2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 2 3


6.在 ?ABC中,A ? 600,b ? 1, S ?ABC ? 3, 则

a?b?c ?( sin A ? sin B ? sin C
D. 2 3

A.

8 3 3

B.

2 39 3

C.

26 3 3

?x ? 0 ? 7.已知实数 x,y 满足 ? y ? 0 ,则 z=4x+y 的最大值为( ?x ? y ? 2 ?
A、10 B、8 C、2 D、0

)

? x ? y ? 2 ? 0? y ? x ? 1? 8.已知变量 x,y 满足约束条件 ? 则 的取值范围是( x ? x ? y ? 7 ? 0? ?
A. [ 9 ? 6]

)

5

B. (??? 9 ] ? [6? ??)

5

C. (??? 3] ? [6? ??)

D.(3,6]

9.命题 p : 函数 y ? log2 ( x2 ? 2 x) 的单调增区间是 [1, ??) ,命题 q : 函数 y ? 域为 (0,1) ,下列命题是真命题的为( )

1 的值 3 ?1
x

A. p ? q

B. p?q

C. p ? (?q )

D. ?q

10.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= 则|AF|为( )A. B. C. D.

25 ,|AF|<|BF|, 12

11.已知命题 p: ?x ? ? 1,2?, x 2 ? a ? 0, 命题q : ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 .若命题 p 且 q 是真命题,则实数 a 的取值范围为 ( ) A. a ? ?2或a ? 1 B.a≤-2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1 的双曲线方程为( )

12. 以直线 x± 2y=0 为渐近线, 且截直线 x-y-3=0 所得弦长为

A.

y2 x2 x2 y2 x2 x2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. y 2 ? ?1 D ? y2 ? 1. 4 8 8 4 4 4

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知 x ? 0, y ? 0 ,

1 2 ? ? 2 ,则 2 x ? y 的最小值为 x y ?1
的两个焦点分别为 ,点

.

14 . 设 椭 圆

在椭圆上,且



,则该椭圆的离心率为



15.椭圆 周长最大时,

的左焦点为

,直线

与椭圆相交于点



,当△FAB 的

的面积是____________.

16.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的 轨迹方程是________.

三、解答题(写出必要的解答过程,共 70 分) 17. (10 分)设数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2 且 a2 , a3 , a4 ? 1 成等比数列。 (1).求数列 ?an ? 的通项公式 (2).设,求前 n 项和 Sn .

18. (12 分)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{

an }的前 n 项和. 2 n ?1

19. (12 分)已知 A、B、C 为三角形 ABC 的三内角,其对应边分别为 a,b,c,若有 2acosC=2b+c 成立. (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求三角形 ABC 的面积.

20. (12 分)△ ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值。

21. (12 分)已知动点 M 到定点 F1 (?2,0) 和 F2 (2,0) 的距离之和为 4 2 . (Ⅰ)求动点 M 轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设 N( 0 ,2 ) , 过点 P(?1, ?2) 作直线 l , 交椭圆 C 异于 N 的 A, B 两点, 直线 NA, NB

的斜率分别为 k1 , k2 ,证明: k1 ? k2 为定值.

22. (12 分)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? 2 且点 P(3, 7 ) 在 a 2 b2

双曲线 C 上. (1)求双曲线 C 的方程; (2)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若△ OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程.

1---12:DAABA 13.3 . 14.

高二数学上学期期末试题(文) 参考答案 BBABB AD . 15.3 . 16.

x2 y2 - =1(x>3) 16 9

17. (1) an ? 2n ; (2) S n ?

n . n ?1

试题解析: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,又 a1 ? 2 则 a2 ? 2 ? d , a3 ? 2 ? 2d , a4 ? 1 ? 3 ? 3d , 又 a2 , a3 , a4 ? 1 成等比数列. ∴ a3 ? a2 ?a4 ? 1? ,即 ?2 ? 2d ? ? ?2 ? d ??3 ? 3d ? ,
2
2

解得 d ? ?1 或 d ? 2 ,

4分

又 d ? ?1 时, a3 ? a4 ? 1 ? 0 ,与 a2 , a 3 , a4 ? 1 成等比数列矛盾,

a ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,即 an ? 2n . ∴ d ? 2 ,∴ n
(2)因为 an ? 2n ,∴ bn ?

2 1 1 1 ? ? ? n?2n ? 2? n?n ? 1? n n ? 1

∴ S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? bn

1 n 1 1 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ) ? 1? . n ?1 n ?1 2 2 3 3 4 n n ?1
18.(1) 2-n (2)

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得 a1+d=0,2a1+12d=-10 a1=1,d=-1 故 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an=2 - n (2) 设 数 列 { Sn=a1+ = a1+ +…+ +…+ ① = - + +…+ +…+ } 的 前 n 项 各 为 Sn , 即 ②所以,当 )- 时,①-②得

=1-(

=1-(1-

)-

=

即 Sn=

综上,数列数列{ 19. (1) A ?

}的前 n 项和 Sn=

2? , (2) S?ABC ? 3 . 3 试题解析: (1) ∵ 2a cos C ? 2b ? c , 由正弦定理可知 2sin A cos C ? 2sin B ? sin C

①,

而在三角形中有:sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ②,由①、②可化简得:

1 2cos A sin C ? sin C ? 0 ,在三角形中 sin C ? 0 ,故得 cos A ? ? ,又 0 ? A ? ? ,所 2 2? 以A? . 3 2? 2 2 o s (2) 由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? c , 即: 3
1 1 1 3 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,∴ bc ? 4 .故得: S ?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2 2
20. (1) (2)

【解析】(1)∵a=bcosC+csinB ∴由正弦定理知 sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形 ABC 中,A= -(B+C) ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得 sinBsinC=cosBsinC 而 C∈(0, ),∴sinC≠0,∴sinB=cosB 又 B(0, ),∴B= (2)△ ABC 的面积 S= 而 a2+c2≥2ac ac 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accosB

acsinB=



当且仅当 a=c 时等号成立.

因此△ ABC 面积的最大值为 2 ? 1

x2 y 2 ? ? 1; 21. (Ⅰ) (Ⅱ)证明过程详见解析. 8 4
【解析】 试题解析: (Ⅰ)由椭圆定义,可知点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,以 4 2 为长轴长的

x2 y 2 ? ? 1. 椭圆.由 c ? 2, a ? 2 2 ,得 b ? 2 .故曲线 C 的方程为 8 4
直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,

(Ⅱ)当

? x2 y 2 ? ?1 ? 由? 8 ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 2) x ? 2k 2 ? 8k ? 0 . 4 ? y ? 2 ? k ( x ? 1) ?
2k 2 ? 8k 4k (k ? 2) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
从而 k1 ? k2 ?

y1 ? 2 y2 ? 2 2kx1 x2 ? (k ? 4)( x1 ? x2 ) 4k (k ? 2) ? ? ? 2k ? (k ? 4) 2 ?4. x1 x2 x1 x2 2k ? 8k

当直线 l 的斜率不存在时,得 A(?1, 得 k1 ? k2 ? 4 . 综上,恒有 k1 ? k2 ? 4 .

14 14 ), B(?1, ? ), 2 2

12 分

22.(Ⅰ)

x2 y2 ? ? 1 .(Ⅱ) y ? 2 x ? 2 与 y ? ? 2 x ? 2 . 2 2

【解析】 :(Ⅰ)由已知 e ?

2 可知双曲线为等轴双曲线设 a=b
2 2

及点 P(3, 7 ) 在双曲线 C 上解得 a ? 2, b ? 2

x2 y2 ? ? 1. 所以双曲线 C 的方程为 2 2
(Ⅱ)由题意直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 得 (1 ? k ) x ? 4kx ? 6 ? 0 y2 ? ?1 ? ?2 2

设直线 l 与双曲线 C 交于 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,则 x1 、 x2 是上方程的两不等实根,

?1 ? k 2 ? 0 且 ? ? 16k 2 ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 即 k 2 ? 3 且 k 2 ? 1



4k 6 , x1 ? x 2 ? ? 2 1? k 1? k2 1 1 又 S ?OEF ? OQ ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ?1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 2 2 2 4k 2 24 ?( ) ? ?8 即 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 8 2 1? k 1? k2
这时 x1 ? x 2 ? 所以

? 3 ? k 2 ? (k 2 ? 1) 2

即k4 ? k2 ? 2 ? 0

?(k 2 ? 1)(k 2 ? 2) ? 0
又 k2 ?1 ? 0

?k 2 ? 2 ? 0

?k ? ? 2

适合①式

所以,直线 l 的方程为 y ?

2x ? 2 与 y ? ? 2x ? 2 .
2 1? k2
,利用 S ?OEF ?

另解:求出 EF 及原点 O 到直线 l 的距离 d ? 求解.

1 EF ? d ? 2 2 2

或求出直线 y ? kx ? 2 与 x 轴的交点 M (0,? ) ,利用

2 k

S?OEF ?

k ( x1 ? x2 ) 1 OM ? y1 ? y2 ? ? x1 ? x2 ? 2 2 求解 2 k


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