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第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布_图文

第九节

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

结束

第九节

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1.均值 (1)一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为:
X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则称 E(X)= x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn为随机变量 X 的 均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
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离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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(2)若 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,则 Y 也是随机变量,且 E(aX+b)= aE(X)+b .
(3) ①若 X 服从两点分布,则 E(X)= p ; ②若 X~B(n,p),则 E(X)= np .

2.方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

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离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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2 ( x - E ( X )) 则 i 描述了 xi(i=1,2,?,n)相对于均值 E(X)的

偏离程度,而 D(X)=

i=1

? (xi-E(X))2pi

n

为这些偏离程度的加权

平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 .称 D(X)为随机变量 X 的方差, 其 算术平方根 D?X? 为随机变量 X 的标准差.
2 (2)D(aX+b)= a D(X) .

(3)若 X 服从两点分布,则 D(X)= p(1-p). (4)若 X~B(n,p),则 D(X)= np(1-p) .
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3.正态分布 (1)正态曲线的特点:

①曲线位于 x 轴 上方 ,与 x 轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 ③曲线在 x=μ 处达到峰值 σ 2π ;
④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ;

⑤当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移;
“瘦 ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越小,曲线越 高” ,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖” ,表示

总体的分布越 分散 .
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(2)正态分布的三个常用数据:
①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.682 6 ;

②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.954 4 ;
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.997 4 .

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1.理解均值 E(X)易失误,均值 E(X)是一个实数, 由 x 的分布列唯一确定,即 X 作为随机变量是可变的, 而 E(X)是不变的,它描述 X 值的取值平均状态.

2.注意 E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X) 易错.

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[试一试] 1. 设 X~B(n, p), 若 D(X)=4, E(X)=12, 则 n 和 p 分别为(

)

2 A.18 和 3 1 C.20 和 3

1 B.16 和 2 1 D.15 和 4

? ?np=12, 解析:∵X~B(n,p),∴? ? ?np?1-p?=4,

2 解得 p= ,n=18,∴选 A . 3

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2.已知 X 的分布列
X P -1
1 2

0
1 3

1
1 6

1 23 则在下列式子中①E(X)=- ;②D(X)= ; 3 27 1 ③P(X=0)= ,正确的个数是 3 A.0 C.2
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(

)

B. 1 D.3
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1 1 1 1 解析:由 E(X)=(-1)× +0× +1× =- ,故①正确. 2 3 6 3 由
? 1?2 1 ? 1?2 1 ? 1?2 1 5 D(X)=?-1+3? × +?0+3? × +?1+3? × = ,知②不正 2 ? 3 ? 6 9 ? ? ? ?

确.由分布列知③正确.
答案:C

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求离散型随机变量均值、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差, 可直接按定义(公式)求解;

(2)已知随机变量 ξ 的均值、 方差, 求 ξ 的线性函数 η=aξ +b 的均值、方差和标准差,可直接用 ξ 的均值、方差的性 质求解;
(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布 (如两点分 布、二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解.
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[练一练] 1.(2014· 杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试, 2 若甲、乙能通过面试的概率都为 ,且甲、乙两人能否通 3

过面试相互独立, 则面试结束后通过人数 ξ 的数学期望 E(ξ) 11 B. 9 8 C.1 D. 9 ? 2? 解析:由题意可知,ξ 服从二项分布 B?2,3?,所以 E(ξ)=
? ?

的值为 4 A. 3

(

)

2 4 2× = . 答案:A 3 3
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2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分, 罚不中得 0 分, 已知他命中的概率为 0.8,则罚球一次得分 ξ 的数学期望是 ( A.0.2 C.1 B.0.8 D.0 )

解析:因为 P(ξ=1)=0.8,P(ξ=0)=0.2. 所以 E(ξ)=1×0.8+0×0.2=0.8.
答案:B

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1.(2013· 广东高考)已知离散型随机变量 X 的分布列为

X
P

1 3 5

2
3 10

3
1 10

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则 X 的数学期望 E(X)= 3 A. 2 5 C. 2 B. 2 D.3

(

)

3 3 1 15 3 解析:E(X)=1× +2× +3× = = . 5 10 10 10 2 答案:A

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2.(2013· 湖北高考)如图,将一个各面都涂了 油漆的正方体,切割为 125 个同样大小 的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一 个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= 126 A. 125 168 C. 125
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( 6 B. 5 7 D. 5

)

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27 解析:依题意,X 的取值可能为 0,1,2,3,且 P(X=0)= ,P(X 125 54 36 =1)= ,P(X=2)= , 125 125 8 P(X=3)= ,E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2) 125 27 54 36 8 150 6 +3×P(X=3)=0× +1× +2× +3× = = , 125 125 125 125 125 5 故选 B .

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3.(2013· 天津高考)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡 片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张, 编号分别 为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的 可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解:(1)设“取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片”为事
3 2 2 C1 6 2C5+C2C5 件 A,则 P(A)= = . C4 7 7

6 所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 . 7
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(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
3 C3 1 C 4 3 4 P(X=1)= 4= ,P(X=2)= 4= , C7 35 C7 35 3 C3 2 C 4 5 6 P(X=3)= 4= ,P(X=4)= 4= . C7 7 C7 7

所以随机变量 X 的分布列是
X P 1
1 35

2
4 35

3
2 7

4
4 7

1 4 2 4 17 随机变量 X 的数学期望 EX=1× +2× +3× +4× = . 35 35 7 7 5
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[类题通法]

求离散型随机变量均值的步骤
(1)理解随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得的全部值;

(2)求 X 的每个值的概率;
(3)写出 X 的分布列;
(4)由均值定义求出 E(X).

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[典例]

(2013· 浙江高考)设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球,

c 个蓝球, 且规定: 取出一个红球得 1 分, 取出一个黄球得 2 分, 取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每 球取到的机会均等)2 个球, 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数 之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变 5 5 量 η 为取出此球所得分数.若 E(η)= ,D(η)= ,求 a∶b∶c. 3 9
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提 示

(1)关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况,然 后分类讨论,根据情况算出相应的概率、写出分布列; (2)类似第(1)问写出分布列,根据期望、方差的公式 建立方程求解.
[ 解] (1)由题意得ξ =2,3,4,5,6. 3×3 1 2× 3×2 1 故 P(ξ=2)= = ,P(ξ =3)= = , 3 6×6 4 6×6 P(ξ =4)= 2×3×1+2×2 5 2×2×1 1 = ,P(ξ=5)= = , 18 9 6×6 6×6 所以ξ的分布列为

1×1 1 P(ξ =6)= = . 6×6 36

ξ
P
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2
1 4

3
1 3

4
5 18
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5
1 9

6
1 36
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离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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(2)由题意知 η 的分布列为 η 1 2

P

a a+b+c

b a+b+c

3 c a+b+c

a 2b 3c 5 所以 E(η)= + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3
? ? ? 5 ?2 5 ?2 5 ?2 a b c 5 ? ? ? ? ? ? D(η)= 1-3 · + 2-3 · + 3-3 · = . ? ? a+b+c ? ? a+b+c ? ? a+b+c 9 ? ?2a-b-4c=0, 化简得? ? ?a+4b-11c=0,

解得 a=3c,b=2c,

故 a∶b∶c=3∶2∶1.
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[类题通法]

1.D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表 明平均偏离程度越大,说明 X 的取值越分散;反之,D(X)越小,X 的取值越集中在 E(X)附近, 统计中常用 D?X?来描述 X 的分散程度.
2. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平, 方差反映 了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变 量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均 值,若均值相同,再用方差来决定.

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[针对训练] (2014· 贵阳模拟)有甲、 乙两个建材厂, 都想投标参加某重点建设,

为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽 取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:
X P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 Y P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

其中 X 和 Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要 求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方 差的指标分析该用哪个厂的材料.
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解:E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9, D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4; E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9; D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4 =0.8. 由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料的抗 拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂 的材料.

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[ 典例]

(1)(2013· 石家庄模拟 )设随机变量 ξ 服从正态 )

分布 N (1, σ 2), 若 P(ξ<2)=0.8, 则 P(0<ξ<1)的值为(

A.0.2 B.0.3 C .0.4 D.0.6 (2)(2014· 合肥模拟)已知随机变量ξ 服从正态分布 N (2,σ 2),
P(ξ ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)= A.0.16
想一想
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( C .0.68

)

B.0.32

D.0.84

解答此类问题的关键是什么?
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离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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[解析 ] (1)P(0< ξ < 1)= P(ξ <2) - P(ξ < 1) = 0.8 - 0.5 =0.3,故选 B.
[答案] B

(2) 因为曲线的对称轴是直线 x =2, 所以由图知 P(ξ ≤0) =P(ξ >4)= 1-P(ξ≤4)=0.16.

[答案]
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A
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保持本例(2)条件不变,求 P(0<ξ≤4).
解析:由P(ξ>4)=P(ξ≤0)=0.16 ∴P(0<ξ≤4)=1-2×0.16=0.68.

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[类题通法]

关于正态总体在某个区间内取值的概率求法

(1)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ), P(μ-2σ<X≤μ+2σ), P(μ-3σ <X≤μ+3σ)的值;
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.
①正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的 区间上概率相等.

②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).

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[针对训练]

某班有 50 名学生,一次考试后数学成绩 X(X∈N)服从正态分 布 N(100,102),已知 P(90≤X≤100)=0.3,估计该班学生数学 成绩在 110 分以上的人数为________.
1-2P?90≤X≤100? 解析:由题意知,P(X>110)= =0.2. 2 ∴该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50=10.
答案:10

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[课堂练通考点]
1.(2013· 福州质检)已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2), 且 P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.682 6,若 μ=4,σ=1,则 P(5<X<6)= A.0.135 8 C.0.271 6 B.0.135 9 D.0.271 8 ( )

1 解析:由题意知,P(5<X<6)= [P(2<X ≤ 6)-P(3<X ≤ 5)] 2 0.954 4-0.682 6 = =0.135 9.故选 B . 2
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2.从 1,2,3,4,5 中选 3 个数,用 ξ 表示这 3 个数中最大的一个, 则 E(ξ)= A.3 C.5 B.4.5 D.6 ( )

1 3 解析: 由题意知, ξ 只能取 3,4,5.则 P(ξ=3)= , P(ξ=4)= , 10 10 6 1 3 6 P(ξ=5)= .故 E(ξ)= ×3+ ×4+ ×5=4.5. 10 10 10 10

答案:B

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3.设一随机试验的结果只有 A 和 A ,且 P(A)=p,令随机变量
? ?1?A出现?, X=? ? ?0?A不出现?,

则 X 的方差 D(X)等于 B.2p(1-p) D.p(1-p)

(

)

A.p C.-p(1-p)

解析:X 服从两点分布,故 D(X)=p(1-p).
答案:D

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4.随机变量 X 的分布列为
X 0 1 5 1 m 3 10

P

n

且 E(X)=1.1,则 D(X)=________. 1 3 1 解析: 由分布列的性质得 +n+ =1, 所以 n= .又 E(X) 5 10 2

1 1 3 =0× +1× +m× =1.1,解得 m=2.所以 D(X)=(0 5 2 10 1 1 3 2 2 -1.1) × +(1-1.1) × +(2-1.1) × =0.49. 5 2 10 答案:0.49
2

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5.(2014· 昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30 天) 的日最高气温的统计表如下:

日最高气温 t(单位:℃) 天数

t≤22 6

22<t≤28 28<t≤32 t>32 12 Y Z

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚, 但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9.

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某水果商根据多年的销售经验, 六月份的日最高气温 t(单位: ℃) 对西瓜的销售影响如下表:
日最高气温 t(单位:℃) 日销售额X t≤22 2 22<t≤28 5 28<t≤32 6 t>32 8

(单位:千元)
(1)求 Y,Z 的值;

(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差; (3)在日最高气温不高于 32℃时,求日销售额不低于 5 千元的 概率.
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离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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解:(1)由已知得:P(t≤32)=0.9, ∴P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1, ∴Z=30×0.1=3, Y=30-(6+12+3)=9. 6 12 (2)P(t≤22)= =0.2,P(22<t≤28)= =0.4, 30 30 9 3 P(28<t≤32)= =0.3,P(t>32)= =0.1, 30 30 ∴六月份西瓜日销售额 X 的分布列为

X P
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2 0.2
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5 0.4
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6 0.3
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8 0.1
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∴E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5, D(X) = (2 - 5)2×0.2 + (5 - 5)2×0.4 + (6 - 5)2×0.3 + (8 - 5)2×0.1=3. (3)∵P(t≤32)=0.9,P(22<t≤32)=0.4+0.3=0.7, ∴ 由 条 件 概 率 得 : P(X≥5|t≤32) = P(22 < t≤32|t≤32) = P?22<t≤32? 0.7 7 = = . 0.9 9 P?t≤32?

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“课下提升考能”见课 时跟踪检测(六十九) (进
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第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布 1 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 P(ξ=xi)=pi, i=1,2, …, n x1p1+...
第九章 离散型随机变量的期望与方差正态分布_图文.ppt
正态分布 第九节 离散型随机变量的期望与方差、正态分布 抓主干 知识回顾 研考向 考点研究 答题模板系列 课时 跟踪检测 上页 下页 1.均值与方差 理解取有限...
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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理) 第9节第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布.._职业技术培训_职业教育_教育专区。第十章 计数原理、概率...
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第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布 高考导航 C 目录 ONTENTS 主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时...
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2019届高三数学(理)一轮复习课件:第九章 第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。2019 第 九 节 离散型随机变量的均值与...
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离散型随机变量的均值方差正态分布 - 高三总复习 数学(理) 提素养满分指导 研动向考纲考向 第九节 离散型随机变量的均值 切脉搏核心突破 与方差...
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第九章 第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布 - 课时作业 A 组基
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届高考数学一轮复习第十一章第九节离散型随机变量的均值与方差正态分布课件理(3)
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高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第九节离散型随机变量的均值与方差正态分布课件理 - 考纲要求: 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、...
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第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布 结束 第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布 1.均值 (1)一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: X ...
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2019版理数练习:第十章 第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布 - 你
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