东台创新高级中学 2015—2016 学年度 第二学期高二理科数学期中考试 一．填空题（每小题 5 分共 70 分） 1．4 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 2．若行列式 2 n ． ，则 x= ． 3．已知二项式（x + ） 的展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中含 x 项的系数 是 ． 4． 从数字 0、 1、 2、 3、 4、 5 这 6 个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有 个 5．一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次性随机摸出 2 只球，则恰好有 1 只是白球的概率为 ． 6．矩阵 A= 为不可逆矩阵，则 a= ． 7．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7，且射击结果相 互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为 ． 8．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在 同一个食堂用餐的概率为 ． 9．矩阵 A= 10． 11．在 的特征值是 ． ． ． （用数字作答） 展开式中常数项为 的展开式中，常数项是 12．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2，甲、乙下和棋的概率为 0.5，则乙获胜的 概率为 ． 13．某学生参加 3 门课程的考试．假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的 概率依次为 ， ， ，且不同课程是否取得合格水平相互独立．则该生只取得一门课 程合格的概率为 ． 14．设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为 ξ，且 ξ 的数学 期望 Eξ= ，则口袋中白球的个数为 ． 二、解答题（共 90 分，步骤规范） ? 1 0 ? 1 0 ? ? ?，试求曲线 y＝sinx 在矩阵 MN 变换下得到的 2 15. （14 分）设 M＝? ?，N＝? ? ? ? 0 2 ? ? 0 1? 曲线方程． 16.(14 分 ) 设矩阵 M ? ? ? a 0? ? 的一个特征值为 2 ，若曲线 C 在矩阵 M 变换下的方程为 ? 2 1? x2 ? y 2 ? 1，求曲线 C 的方程. 17.(15 分)已知矩阵错误！未找到引用源。的一个特征值为错误！未找到引用源。,求 错误！未找到引用源。. ?1 0 ? 18.（15 分）已知矩阵 M ? ? ,求逆矩阵 M ?1 的特征值 ? ? 2 2? 19.（16 分）已知矩阵 A ? ? ? 1 2? ? ，求矩阵 A 的特征值和特征向量。 ? ?1 4 ? 2 1 20（16 分）分甲、乙两人投篮命中的概率分别为 与 ，各自相互独立．现两人做投篮游戏， 3 2 共比赛 3 局，每局每人各投一球． (1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率； (2) 设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求 ξ 的概率分布和数学期望 E(ξ)． 高二理科数学期中考试参考答案 一．填空题： 1．24． 9．2 或 3 2．2． 3．10．4、52 5． ． 6.3 或 4 7、0.58． 8． 12、0.3 13、 ．14、3. 10、﹣4 11、15 二．解答题 15. 选修 42：矩阵与变换 1 ? 1 0 ? 1 0 ?? 0 ? ? ? ? ? 2 ?，(6 分) 2 解：MN＝? ? ?＝? ? ? 0 2 ?? ? 0 1 ? ? 0 2 ? 设(x，y)是曲线 y＝sinx 上的任意一点，在矩阵 MN 变换下对应的点为(x′，y′)． ? 1 0 ?x ?＝?x′?，(10 分) ?? 则? 2 ? ? ? ? ??y? ? ?y′? ? 0 2? 1 1 所以 x′＝ x，y′＝2y，且 x＝2x′，y＝ y′，(12 分) 2 2 1 代入 y＝sinx，得 y′＝sin2x′， 2 即 y′＝2sin2x′. 即曲线 y＝sinx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y＝2sin2x.(14 分) 16、由题意，矩阵 M 的特征多项式 f (? ) ? (? ? a)((? ? 1) ， 因矩阵 M 有一个特征值为 2， f (2) ? 0 ，所以 a ? 2 . 所以 M ? ? ? ? …………6 分 ? 2 0? ? x ? ? x? ? ? x? ? 2 x ，即 ， ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ? ? y ? ? y?? ? y? ? 2 x ? y 代 入 方 程 x 2 ? y 2 ? 1 ， 得 (2 x)2 ? (2 x ? y)2 ? 1 ， 即 曲 线 C 的 方 程 为 ………14 分 8x2 ? 4 xy ? y 2 ? 1. ?x ? ? y? 17. 解：错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。 矩阵错误！未找到引用源。 8分 ∴错误！未找到引用源。 15 分 …………… …………… 18.设 M ?1 ?a b ? ?1 0? ? a b ? ?1 0? ?1 ?? ，则 MM ? ? ? ?? ??? ?， ?c d ? ? 2 2 ? ?c d ? ?0 1? b ? ? a 所以 ? ?? ? 2a ? 2c 2b ? 2d ? ?1 0? ?0 1? ， ? ? ?a ? 1 ， ?a ? 1， ?b ? 0 ， ?1 ?b ? 0 ， ? ? ? ?1 所以 ? 解得 ?c ? ?1， 所以 M ? ? ? ?1 ? 2 a ? 2c ? 0 ， ? ? 1 ? ?d ? . ? 2b ? 2d ? 1. ? ? 2 0? ． ……………………8 分 1? ? 2? 1 1 1 ? (? ? 1)(? ? ) ? 0 ，所以 ? ? 1 或 ． 2 2 1 ?? 2 1 ?1 所以，矩阵 M 的逆矩阵 M 的特征值为 1 或 2 ．…………………………15 分 M ?1 的特征多项式 f (? ) ? ?