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数学必修2——2.1.3-2.1.4《直线与平面、平面与平面的位置关系》导学导练


高中数学必修 2

高中数学必修二 2.1.3《空间中直线与平面之间的位置关系》 2.1.4《平面与平面之间的位置关系》导学导练
【知识要点】
1、直线与平面之间的位置关系(重点、难点) 1)直线与平面之间的位置关系 (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 2)直线与平面之间的位置关系的图形表示及符号表示 A.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n // ? B.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n与? 相交 C.如果 m ? ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n D.如果 m // ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n 3.平面α ∩平面β =a,平面β ∩平面γ =b,平面γ ∩平面 a= c,若 a∥b,则 c 与 a,b 的位置关系是( A.c 与 a,b 都异面 C.c 至少与 a,b 中的一条相交 )

B.c 与 a,b 都相交 D.c 与 a,b 都平行 1、

已知 a ? α ,b ? α ,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ ? α . 4.已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有下列 命题

a

α

a∩α =A

a∥α

①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

2、两个平面之间的位置关系 (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 L

α α α ∥β

5、以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) β ①若 a∥b,b??,则 a∥? ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? α ∩β = L 其中正确命题的个数是 ( (A)0 个 ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ④若 a∥?,b??,则 a∥b ) (D)3 个

β

【范例析考点】
考点一.直线与平面的位置关系问题 例 1:已知 ? ? ? ? l , a∥ ? ,a∥ ? ,求证:a∥ l

(B)1 个 (C)2 个

6、已知 a∥?,b∥?,则直线 a,b 的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交; ④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有( (A)2 个 ) (D)5 个

(B)3 个 (C)4 个 )

7、下列判断中正确的是(

A. 若平面 α 内有两条直线都和平面 β 平行,则 α ∥β B. 若一条直线 l 与平面 α 和 β 所成的角相等,则 α ∥β 【针对练习】 1、下列命题中正确的个数是( ) C. 若直线 l∥平面 β ,直线 m ? β ,则 l∥m D. 若平面 α ∥平面 β ,直线 l ? α ,则 l∥β 8、 a,b 是异面直线,以下四个命题: ①过 a 至少有一个平面平行于 b ②过 a 至少有一个平面垂直于 b; ③至多有一条直线与 a,b 都垂直; ④至少有一个平面分别与 a,b 都平行. 正确命题的个数是( A. 0 C.2 D.3 ) 第1页 B. 1 ) C. 2 D. 3 ;

①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线 都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也 与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线 都没有公共点 A.0 B.1 2.对于直线 m、n 和平面 ? ,下面命题中的真命题是( 个人原创,版权所有,翻印必究,如需借用,QQ 索取密码

9、直线 a∥平面?,点 A∈?,则过点 A 且平行于直线 a 的直线 (A)只有一条,但不一定在平面?内 解密佛山吉红勇老师扣扣:一 0 七 669 八 11

个人原创,版权所有,翻印必究,如需借用,QQ 索取密码 (B)只有一条,且在平面?内 (C)有无数条,但都不在平面?内 (D)有无数条,且都在平面?内 10、A、B 是直线 l 外的两点,过 A、B 且和 l 平行的平面的个数 是( ) (C)无数个 (D)以上都有可能
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4、已知两条直线 m ,n ,两个平面 ?,? .给出下面四个命题: ① m ∥ n , m ⊥? ? n ⊥? ; ②? ∥ ? , m ?? , n ? ? ? m∥n ; ③ m ∥ n , m ∥? ? n ∥? ; ④ ? ∥ ? , m ∥ n , m ⊥? ? n ⊥ ? . 其中正确命题的序号是( A.①、③ C )

(A)0 个 (B)1 个

11、直线 a,b 是异面直线,直线 a 和平面?平行,则直线 b 和平 面?的位置关系是( A)b?? B)b∥? ) C)b 与?相交 D)以上都有可能

B.②、④ C.①、④ D.②、③

5、已知 m ,n 为两条不同的直线,?,? 为两个不同的平面,则 下列命题中正确的是( ) A. m ? ?,n ? ?,m ∥ ?,n ∥ ? ? ? ∥ ? B. ? ∥ ?,m ? ?,n ? ? ? m ∥ n (B)恰有两个 C. m ⊥ ?,m ⊥ n ? n ∥? D. n ∥ m,n ⊥ ? ? m ⊥ ? 考点三.平面与平面的位置关系 例 3:不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面 α 的距离相等, 且 A ? α ,给出以下三个命题: ①△ABC 中至少有一条边平行于 α ; ②△ABC 中至多有两边平行于 α ; ③△ABC 中只可能有一条边与 α 相交. 其中真命题是_____________. 【针对练习】 1、 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那 么这两个二面角的大小关系是( A. 相等 B. 互补 ) D. 不能确定

12、如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都 平行的平面 (A)只有一个

(C)或没有,或只有一个(D)有无数个 13、 请讨论下列问题: 若直线 l 上有两个点到平面 α 的距离相等, 讨论直线 l 与平面 α 的位置关系. 考点二.直线与平面相交关系的证明 例 2: 已知 α ∩β =l,a ? α 且 a ? β ,b ? β 且 b ? α ,又 a∩b=P. 求证:a 与 β 相交,b 与 α 相交.

C. 相等或互补 )

【针对练习】 1. 下面说法中正确的是( )

2、下列命题正确的是(

A. 过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的 B. 过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的 C. 过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的 D. 过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的 3、如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1中,点 P,Q,R 分别在棱 AB,

A. 如果两个平面 α ,β 有一条公共直线 a,就说平面 α ,β 相交,并记作 α ∩β = a B. 两平面 α ,β 有一个公共点 A,就说 α ,β 相交于过点 A 的任意一条直线 C. 两平面 α ,β 有一个公共点 A,就说 α ,β 相交于点 A, 并记作 α ∩β = A D. 两平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC 2、已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l ( ) (B)与 m,n 中至少一条相交 (D)与 m,n 中一条相交

BB1,CC1 上,且 DP,QR 相交于点 O,求证:O,B,C 三点
共线.
1 1 1 1

(A)与 m,n 都相交 (C)与 m,n 都不相交

3、空间四点 A,B,C,D 共面,但不共线,则下面结论成立的是 ( )

A. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线 C. AB,BC,CD,DA 四条直线中总有两条平行 D. AB 与 CD 必相交

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高中数学必修 2 【课后练习】 一、选择题. 1、下列命题: ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ; ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线 平行; ③两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与 这个平面平行; ④若一条直线 a 和平面 α 内一条直线 b 平行,则 a∥α . 正确的个数是( A .0 个 B.1 个 ) C.2 个 ) D.3 个 A.都平行 C.一个相交,一个平行 B.都相交 D.都异面

8、如果平面?外有两点 A、B,它们到平面?的距离都是 a,则直 线 AB 和平面?的位置关系一定是( (A)平行(B)相交 二、填空题. 1、若点 M 在直线 a 上,直线 a 在平面 α 内,则 M,a,α 之 间的关系表示为__________. 2、设 a,b,c 是空间的三条直线,以下四个命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直 线; ③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 正确的个数是_________. 3、如图,AA1∥BB1∥CC1,且 AA1,BB1,CC1 不共面,则图中各条 线段所在的直线中,共有 ______ 对异面直线. ) (D)AB??

(C)平行或相交

2、下列命题中,不正确的是(

A. 两条平行直线与同一平面所成的角相等 B. 一条直线与两个平行平面所成的角相等 C. 一条直线平行于两个平行平面中的一个平面, 它也平行于另 一个平面 D. 如果两条直线与同一平面所成的角相等, 那么这两条直线不 一定平行 3、已知三条直线 m,n,l,三个平面 α ,β ,γ ,下面四个命题 中,正确的是(
A.

)
B. m∥ β l⊥m m⊥ γ n⊥ γ

α ⊥γ β ⊥γ
m∥ γ n∥ γ

?α ∥ β

? l∥ β

4、 如图, 正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 a, 点 E, F 分别是 BB1,
? m∥n

C.

? m∥n

D.

CC1 的中点,则A1D1 到截面 AEFD 的距离是___________.
5、已知三棱锥 P - ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,且 三个侧面的面积分别为 S1, S2, S3,则这个三棱锥的体积为

4、正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后,AB 与 CD 所成的 角为( A. 30° ) B. 45° C. 60° D. 90°

______________________. 6、△ABC 所在平面 α 外有一点 P,过点 P 作 PO⊥平面 α ,垂 足为 O,连接 PA,PB,PC. (1)若 PA = PB = PC,则点 O 为 △ABC 的________心; (2)若 PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是 △ABC 的______心; (3)若点 P 到三边 AB, BC, CA 的距离相等, 则点 O 是 △ABC 的 ______心; (4)若 PA = PB = PC,∠C = 90?,则点 O 是 AB 边的______点; (5)若 PA = PB = PC,AB = AC,则点 O 点在 __________ 线上. 三、判断题: 1.判断下列命题的真假 (1)过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. (2)过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. ( ( ) )

5、若直线 a 不平行于平面 α ,且 a ? α ,则下列结论成立的是 ( )

A.α 内的所有直线与 a 异面 B.α 内的直线与 a 都相交 C.α 内存在唯一的直线与 a 平行 D.α 内不存在与 a 平行的直线 6、下面四种说法中: (1)两条平行直线中的一条平行于一个平面, 则另一条也平行 于这个平面; (2)平行于平面内一条直线的直线平行于该平面; (3)过平面外一点只有一条直线和这个平面平行; (4)若一条直线和一个平面平行, 则这条直线和这个平面内所 有直线都平行. 正确说法的个数为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

( 3 )若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行 . ( )

( 4 )若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线平行 . ( )

7、如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条, 那么它们的 交线和这两条平行线的位置关系是( )

(5 )若直线 l??,则 l 不可能与平面 ?内无数条直线都相交 . 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣:一 0 七 669 八 11

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解密佛山吉红勇老师扣扣:一 0 七 669 八 11
A

6、空间四边形 ABCD,E、F 分别是 AB、BC 的中 点, 求证:EF∥平面 ACD.
B F C E D

(6)若直线 l 与平面?不平行,则 l 与?内任何一条直线都不平 行(
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四、解答题. 1、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AA1,

CC1 的中点,求证:点 D1,E,F,B 共面.
F

7、 经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E1E∥B1B
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D1 E1 A1

C1 B1 C B

2、已知平面 α ∩平面 β = a,平面 α ∩平面 γ = b,平面 β ∩平面 γ = c,且 a∩b = O. 求证:a,b,c 相交于一点.
A

D E

8、 已知一条直线与三条平行直线都相交, 求证: 这四条直线共面. 已知直线 a∥b∥c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:l 与 a、b、c 共面.

4、已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别是 AB,

PC 的中点.
(1)求证:MN∥平面 PAD; (2)当 MN⊥平面 PCD 时,求二面角 P - CD - B 的大小. 9、如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是

AB 、 PC 的中点

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(1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 ,求异面直线 PA 与 MN 所 成的角的大小
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P H N

D A B

C

M

5、 平面?与⊿ABC 的两边 AB、 AC 分别交于 D、 E, 且 AD∶DB=AE∶ EC,求证:BC∥平面?
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10、 如图,正方形 ABCD 与 ABEF 不在同一平 面内 , M 、 N 分别在 AC 、 BF 上,且
AM ? FN 求证: MN // 平面 CBE
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C
T

C ? E A D

B

M D B N A F
H

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E

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