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等差数列的判定与证明-通项公式法


等差数列的判定与证明-通项公式法

a?b A? 2
a1+(n-1)d

na1 ?

n( n ? 1) d 2

n(a1 ? a2 ) 2

难点

等差数列常见的判定方法

(1)定义法:an+1-an=d(常数); (2)等差中项:2an+1=an+an+2,证明三个数 a、b、c 成等差

a+c 数列,一般利用等差中项证明 b= 2 ;
(3)通项公式为 n 的一次函数:an=kn+b(k、b 为常数).

3

等差数列中的基本运算

例 1:在等差数列{an}中, (1)已知 a1=-3,d=2,an=7,求 n; (2)已知 a5=11,a8=5,求 a1、d、an;

1 (3)已知 d=-2,a7=18,求 a1.
思维突破:由通项公式an=a1+(n-1)d,在a1、d、n、an 四个量中,可由其中任意三个量求第四个量.

4

? ? ? 2,解得 n=6. 解:(1)由 7=? ?-3?+?n-1?·

?

?

?

?

? ?a1+4d=11 (2) 由等差数列的通项公式及已知得 ? ? ?a1+7d=5 ? ?a1=19 ? ? ?d=-2

,解得

,所以 an=19+(n-1)(-2),即 an=-2n+21.
? ? ? ?? ?? ?

1? (3)已知 a7=a1+ 7-1 -2?=18,解得 a1=21. ? ?

先根据两个独立的条件解出两个量a1 和 d,进而再写出an 的表达式.

5

5 3 1-1.已知数列{an}为等差数列,a3=4,a7=-4,则 a15 的
- 值为______. 19 4

1-2.已知数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p,且 p≠q,
则 ap+q=____. 0

求等差数列的通项公式 例 2:在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求它的通 项公式.

6

思维突破:给出等差数列的两项,可转化为关于a1 与d 的 方程组,求得a1 与d,从而求得通项公式.

解法一:由 an=a1+(n-1)d 得
? ?10=a1+4d ? ? ?31=a1+11d ? ?a1=-2 ,解得? ? ?d=3

.

∴等差数列的通项公式为 an=3n-5. 解法二:由 an=am+(n-m)d 得 a12=a5+(12-5)d=a5+7d, 即 31=10+7d,∴d=3. ∴an=a5+(n-5)d=10+(n-5)×3=3n-5. ∴等差数列的通项公式为 an=3n-5.
7

求等差数列的通项公式①确定首项a1 和 公差d,需建立两个关于a1 和d 的方程,通过解含a1 与d 的方 程求得a1 与d 的值;②直接应用公式an=am+(n-m)d 求解.

2-1.已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. 求数列{an}的通项公式. 解:由a1+a2+a3=12,得3a2=12,即a2=4, ∴d=a2-a1=2,∴an=2n.

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