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3.1不等关系与不等式2--上课用_图文

3.1不等关系与不等式 第二课时

讲授新课:
性质1: (对称性) 性质2 : (传递性)
a?b?b?a a ? b? ??a ?c b ? c?

a ?b ? a?c ?b?c 性质3(加法的单调性) :
推论 :
a ? b? ? ? a ? c ? b ? d 性质5 c ? d? (同向不等式的加法法则)

a?b? c ?a ? c?b

性质4 : (乘法的单调性) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

推论1 :

a ? b ? 0? ? ? ac ? bd c ? d ? 0? (同向不等式的乘法法则)
n n *

推论2 : a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , n ? 2)
(乘方性质)

a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * , n ? 2) (开方性质)

1 1 问:当a ? b时,求 与 的大小关系 ? a b

1 1 结论 : a ? b ? 0 ? ? a b 1 1 0?a?b? ? a b

题型一.利用不等式的性质判断正误

例1.对于实数a, b, c下判断中正确的是( D ) A.若a>b则ac >bc
2 2

1 1 B.若a>b>0则 ? 解决这类问题除了用不 a b 等式的性质,有使用特 b a 殊值法会更简洁。 C.若a<b<0则 ? a b 1 1 D.若a>b, ? 则a>0,b<0 a b

变式训练1:判断正误 c c () 1 ? 且c ? 0 ? a ? b a b (2)a>b且a+c>b+d ? c>d

反例:a<o,b>0

反例:c=o,d=0

a b (3)a>b>0且c>d>0 ? ? d c a b (4) 2 > 2 ? a>b √ c c



题型二.利用不等式的性质证明不等式 c c > . 例2.已知 a > b >0, c <0, 求证 a b 1
证明:因为a > b >0, 所以 ab >0,

ab 1 1 1 1 于是 a? ? b ? ,即 ? . b a ab ab c c ? , c c 由 c<0 , 得 即 ? . b a a b

>0.

思考:是否还有其他证明方法?

变式训练二

已知

1 1 ? ?0 a b

, x > y >0 ,

x y ? 求证: . x?a y ?b

迁移变式 3 1 1 1 试证:若 a>b>c,则 + + >0. a-b b-c c-a

题型三.利用不等式的性质比较大小 b c 例3.已知c>a>b>0,试比较 与 的大小 c-b c ? a

解: ?a ? b ?-b>-a

?c ? b ? c ? a ? 0

1 1 ? ? ?0 c?a c?b c b ? ? 又c ? b ? 0 c ?a c ?b

迁移变式 4 比较 3 ? 5与 2 ? 6 的大小.

题型四.利用不等式的性质求取值范围
x 例4.(1)如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y, 的范围 y ?-1 ? x ? y ? 2 (2)已知 ? , 求x和2 x ? 3 y的范围 ?2 ? x? y ? 4
解题回顾:同向不等式可以做加法运算,当同向不等式 两边都为正时,可以做乘法运算。本题常见的错误是将 取值范围扩大。

变式训练4: a (1)已知1<a<4,2<b<8,试求a-b与 的取值范围 b

-7<a-b<2

1 a ? ?2 8 b

(2)设f ( x) ? ax 2 ? bx, 且1 ? ( f -1) ? 2 , 2 ? f (1) ? 4 求f (?2)的取值范围。 提示: ? f (?1) ? a ? b, f (1) ? a ? b
?1 ? a ? b ? 2 ?? ?2 ? a ? b ? 4

又f (?2) ? 4a ? 2b

?只需求4a ? 2b的取值范围


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