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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分36基本不等式


开卷速查(三十六)
1.下列命题正确的是( )

基本不等式

A 级 基础巩固练

1 A.若 x≠kπ,k∈Z,则 sin2x+sin2x≥4 4 B.若 a<0,则 a+a≥-4 C.若 a>0,b>0,则 lga+lgb≥2 lga· lgb a a D.若 a<0,b<0,则b+b≥2 解析:当 sin2x=1 时,1+1=2<4,所以 A 错; 4 若 a<0,则 a+a≤-4,B 错; 因为 lga,lgb 可以小于零,C 错; b a 由 a<0,b<0,所以a,b都大于零,D 正确. 答案:D 1 1 2.若正实数 x,y 满足 x+y+x+y=5,则 x+y 的最大值是( A.2 C.4 B.3 D.5 )

?x+y?2 解析:∵xy≤ 4 ,x>0,y>0, x+y 1 4 4 ∴xy≥ , ≥ . ?x+y?2 xy x+y 4 4 ∴x+y+ ≤5.设 x+y=t,即 t+ t ≤5,得到 t2-5t+4≤0,解得 x +y

1≤t≤4,∴x+y 的最大值是 4. 答案:C 3.已知 a,b∈R,且 ab≠0,则下列结论恒成立的是( A.a+b≥2 ab
?a b? C.?b+a?≥2 ? ?

)

a b B.b+a≥2 D.a2+b2>2ab

解析:当 a,b 都是负数时,A 不成立,当 a,b 一正一负时,B 不成立,当 a=b 时,D 不成立,因此只有 C 是正确的. 答案:C 1 1 1 9 4.若正数 a,b 满足a+b=1,则 + 的最小值为( a-1 b-1 A.1 C.9 B.6 D.16 )

1 1 解析:方法一:因为a+b=1,所以 a+b=ab?(a-1)(b-1)=1, 1 9 所以 + ≥2 a-1 b-1 9 · =2×3=6. a-1 b-1 1

b-1+9a-9 1 1 1 9 方法二: 因为a+b=1, 所以 a+b=ab, + = a-1 b-1 ab-a-b+1
?1 1? =b+9a-10=(b+9a)?a+b?-10≥16-10=6. ? ?

1 1 1 方法三:因为a+b=1,所以 a-1= , b-1 1 9 9 所以 + =(b-1)+ ≥2 9=2×3=6. a-1 b-1 b-1

答案:B 2 1 5.设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 32b 的等比中项,则a+b的最小值 为( ) A.8 C.1 B.4 1 D.4

解析:由题意可知 3=3a32b=3a+2b,即 a+2b=1. 2 1 ?2 1? a 4b 因为 a>0,b>0, 所以a+b=?a+b?(a+2b)=b+ a +4≥2
? ?

a 4b b·a

a 4b 1 +4=8,当且仅当b= a ,即 a=2b=2时取“=”. 答案:A 6.若 x,y∈(0,2]且 xy=2,使不等式 a(2x+y)≥(2-x)(4-y)恒成 立,则实数 a 的取值范围为( 1 A.a≤2 C.a≥2 ) B.a≤2 1 D.a≥2

解析:由 x,y∈(0,2],xy=2, ?2-x??4-y? 10-2?2x+y? 10 得 a≥ = = -2. 2 x+ y 2x+y 2x+y 1 又由 2x+y≥2 2xy=4,∴a≥2. 答案:D x+8y 7.已知正数 x,y 满足 x+2y=2,则 xy 的最小值为__________.

x+2y 解析:由已知得 2 =1, x+8y 1 8 ?1 8? ?x+2y? x 16y? 1 ? 1? ? ? 10 + 则 xy = y + x = ?y +x ? ? = ? y+ x ? ≥ 2 (10 + 2 16) = ? ?? ? 2 ? 2? 4 1 9,当且仅当 x=3,y=3时取等号. 答案:9 8. 已知集合 A={x|x2-2x-3>0}, B={x|ax2+bx+c≤0}, 若 A∩B b2 a ={x|3<x≤4},A∪B=R,则 a +c2的最小值为__________. 解析:∵x2-2x-3>0,∴x<-1 或 x>3. ∵A∩B={x|3<x≤4},A∪B=R, ∴B={x|-1≤x≤4}. ∴-1 和 4 是 ax2+bx+c=0 的根. b c ∴-1+4=-a,(-1)×4=a. ∴b=-3a,c=-4a,且 a>0. b2 a ∴ a +c2≥2 b2 2b -6a 3 c2= c =-4a=2,

b2 a 当且仅当 a =c2取等号. 3 答案:2 9.若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则 c 的 最大值是__________.

a+b 解 析 : 由 基 本 不 等 式 得 2a + 2b≥2 2a2b = 2×2 2 , 即 2a +
b

a+b ≥2×2 2 ,所以 2a+b≥4.令 t=2a+b,由 2a+2b+2c=2a+b+c 可得 2a

+b+2c=2a+b· 2c,

t 1 t 4 4 所以 2c= =1+ ,由 t≥4,得 1< ≤3,即 1<2c≤3, t-1 t-1 t-1 4 所以 0<c≤log23=2-log23,故答案为 2-log23. 答案:2-log23 3 1 10.设关于 x 的不等式|x-2|<a(a∈R)的解集为 A,且2∈A,-2? A. (1)?x∈R,|x-1|+|x-3|≥a2+a 恒成立,且 a∈N,求 a 的值; 1 |b| (2)若 a+b=1,求3|b|+ a 的最小值,并指出取得最小值时 a 的值.
?3 ? ? 1 ? 3 1 1 5 解析:(1)∵2∈A,-2?A,∴?2-2?<a,?-2-2?≥a,即2<a≤2. ? ? ? ?

∵|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2, 1 ∴a2+a-2≤0,∴-2≤a≤1,∴2<a≤1. 又 a∈N,∴a=1. 1 5 1 |b| a+b |b| b a |b| 1 (2) ∵ 2 < a≤ 2 , ∴ 3|b| + a = 3|b| + a = 3|b| + 3|b| + a ≥ - 3 +

2

?b<0, a |b| 2 3-1 × = . 当且仅当 ?2 3|b| a 3 a =3b2, ?

3 a= ? ? 3-1, 即? 1 b =- ? 3-1 ?

时上

1 式取等号.又∵2<

3 3-1



3+ 3 5 2 3-1 1 |b| ≤ ,∴ + 的最小值是 2 2 3|b| a 3 ,

3+ 3 取最小值时 a= 2 . B级 能力提升练

1 11.已知正实数 a,b 满足 a+2b=1,则 a2+4b2+ab的最小值为 ( ) 7 A.2 161 C. 36 B.4 17 D. 2

1 1 解析:因为 1=a+2b≥2 2ab,所以 ab≤8,当且仅当 a=2b=2时 1 1 1 取等号.又因为 a2+4b2+ab≥2 a2· 4b2+ab=4ab+ab.令 t=ab,所以 1? ?1? 17 1 ? 1 f(t)=4t+ t 在?0,8?单调递减,所以 f(t)min=f?8?= 2 .此时 a=2b=2.
? ? ? ?

答案:D 9 12.已知函数 y=x-4+ (x>-1),当 x=a 时,y 取得最小值 x+1 b,则 a+b=( A.-3 C.3 ) B.2 D.8

9 9 解析:y=x-4+ =x+1+ -5,由 x>-1,得 x+1>0, x+1 x+ 1 9 >0,所以由基本不等式得 y=x+1+ -5≥2 x+1 x+1 9 9 ?x+1?× x+1

9 -5=1,当且仅当 x+1= ,即(x+1)2=9,所以 x+1=3,即 x=2 x+1 时取等号,所以 a=2,b=1,a+b=3. 答案:C 13.[2015· 武汉模拟]经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(万 辆 / 小 时 ) 与 汽 车 的 平 均 速 度 v( 千 米 / 小 时 ) 之 间 有 函 数 关 系 y = 92v (v>0). v +3v+1 600
2

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大?最 大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为 1 万辆/小时,则汽车的平均速 度应控制在什么范围内? 解析: (1)y = 92v v +3v+1 600
2



92 ≤ 1 600 v+ v +3 2

92 92 = 83 1 600 v· v +3

≈1.108. 1 600 当 v= v ,即 v=40 千米/小时,车流量最大,最大值约为 1.108 万辆/小时. 92v (2)据题意有 2 ≥1, v +3v+1 600 化简得 v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,

所以 25≤v≤64. 所以汽车的平均速度应控制在[25,64](千米/小时)这个范围内. 14.为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内, 每喷洒 1 个单位的净化剂,空气中释放的浓度 y(单位:毫克/立方米) 随 着 时 间 x( 单 位 : 天 ) 变 化 的 函 数 关 系 式 近 似 为 y =

?8-x-1,0≤x≤4, ? 1 ?5-2x,4<x≤10.

16

若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓

度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当 空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时, 它才能起到净化空气的 作用. (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂, 6 天后再喷洒 a(1≤a≤4)个单 位的药剂, 要使接下来的 4 天中能够持续有效净化, 试求 a 的最小值(精 确到 0.1,参考数据: 2取 1.4). 解析:(1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂, 64 ? ?8-x-4,0≤x≤4, 所以浓度 f(x)=4y=? ? ?20-2x,4<x≤10. 则当 0≤x≤4 时,由 所以此时 0≤x≤4. 当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4,解得 x≤8, -4≥4,解得 0≤x≤8, 8-x 64

所以此时 4<x≤8. 综合得 0≤x≤8,若一次投放 4 个单位的净化剂,则有效净化时间 可达 8 天. (2)设从第一次喷洒起,经 x(6≤x≤10)天, 16 ? ? 1 ? ? 16a ? ? - 1 ? ? 浓度 g(x)=2 5-2x +a? = 10 - x + -a=(14- ? ? ? 14-x ?8-?x-6? ? 16a x) + -a-4≥2 14-x 16a ?14-x?· -a-4=8 a-a-4.因为 14-x 14-x

∈[4,8],而 1≤a≤4,所以 4 a∈[4,8],故当且仅当 14-x=4 a时,y 有 最小值为 8 a-a-4.令 8 a-a-4≥4,解得 24-16 2≤a≤4, 所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.


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