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宁夏银川市2015届高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

宁夏银川市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=() A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} D.{2,3,4} 2. (5 分)若复数 z 满足(1﹣i)z=4i,则复数 z 对应的点在复平面的() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分)已知 α 为第二象限角,sinα= ,则 sin A. B. C. 的值等于() D.

4. (5 分)从集合 A={﹣1,1,2}中随机选取一个数记为 k,从集合 B={﹣2,1,2}中随机选 取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第三象限的概率为() A. B. C. D.

5. (5 分)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是()

A.π

B.

C.

D.

6. (5 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 双曲线的离心率为() A. B. C. 2 或 D. 或

,则该

7. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x﹣y 的最小值是()

A.﹣5

B . ﹣4

C . ﹣3

D.﹣2

8. (5 分)某程序框图如图所示,运行该程序时,输出的 S 值是()

[来源:学科网] A.44 B.70 C.102 D.140

9. (5 分)在△ ABC 中,若向量 则 A.2 =() B. 2



的夹角为 60°,

=2

,且 AD=2.∠ADC=120°,

C. 2

D.6

10. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 x∈[0,2]时,f(x) =log2(x+1) ,则 f(7)=() A.﹣1 B. 1 C . ﹣3 D.3

11. (5 分)设 a,b,c 表示三条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是 () A.c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β B. b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c C. b?β,若 b⊥α,则 β⊥α D.a,b?α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,若 α⊥β,则 c?β 12. (5 分)一个大风车的半径为 8m,12min 旋转一周,它的最低点 Po 离地面 2m,风车翼片 的一个端点 P 从 Po 开始按逆时针方向旋转,则点 P 离地面距离 h(m)与时间 f(min)之间 的函数关系式是()

A. C.

B. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)如图,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是.

14. (5 分)若 M 是抛物线 y =4x 上一点,且在 x 轴上方,F 是抛物线的焦点,直线 FM 的倾 斜角为 60°,则|FM|=. 15. (5 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,若 cosC= ,且 sinC= 则△ ABC 的内角 A=. sinB,

2

16. (5 分)已知 是.

,则使 f(x)﹣e ﹣m≤0 恒成立的 m 的范围

x

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前 7 项和为 70, 且 a3 为 a1 和 a7 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn+1﹣bn=an,n∈N 且 b1=2,求数列
*

的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)已知四棱锥 E﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2, O 为 AB 的中点. (Ⅰ)求 证:EO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离.



19. (12 分)为了比较两种复合材料制造的轴承(分别称为类型 I 轴承和类型 II 轴承)的使用 寿命,检验了两种类型轴承各 30 个,它们的使用寿命(单位:百万圈)如下表: 类型 I 6.2 6.4 8.3 8.6 9.4 9.8 10.3 10.6 11.2 11.4 11.6 11.6 11.7 11.8 11.8 1 12.2 12.3 12.3 12.5 12.5 12.6 12.7 12.8 13.3 13.3 13.4 13.6 13.8 14.2 14.5 类型 II 1 8.4 8.5 8.7 9.2 9.2 9.5 9.7 9.7 9.8 9.8 10.1 10.2 IO.3 10.3 10.4 1 10.6 10.8 10.9 11.2 11.2 11.3 11.5 11.5 11.6 11.8 12.3 12.4 12.7 13.1 13.4 (Ⅰ)根据两组数据完成下面茎叶图;

(Ⅱ)分别估计两种类型轴承使用寿命的中位数; (Ⅲ)根据茎叶图对两种类型轴承的使用寿命进行评价. 20. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2, 点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△ AF2B 的面积为 且与直线 l 相切的圆的方程. 21. (12 分)已知函数 f(x)=a(x﹣1)﹣21nx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,求 a 的取值范围. ,求以 F2 为圆心

选做题请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于 ΘO,且 AB 是的 ΘO 直径,过点 D 的 ΘO 的切线与 BA 的延 长线交于点 M. (1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,当 t=1 时,曲线 C1 上的点为 A,当 t=

﹣1 时,曲线 C1 上的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ= .

(1)求 A、B 的极坐标; 2 2 (2)设 M 是曲线 C2 上的动点,求|MA| +|MB| 的最大值.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知 a,b,c∈R,a +b +c =1. (Ⅰ)求证:|a+b+c|≤ ; 2 (Ⅱ)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a+b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围.
2 2 2

宁夏银川市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=() A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} D.{2,3,4}

考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,先用列举法表示集合 A,进而由补集的性质,可得 B=?A(?AB) ,计算可 得答案. 解答: 解:根据题意,集合 A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5}, 若 CAB={1,3,5},则 B=?A(?AB)={0,2,4}, 故选 B. 点评: 本题考查补集的定义与运算,关键是理解补集的定义. 2. (5 分)若复数 z 满足(1﹣i)z=4i,则复数 z 对应的点在复平面的() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的关系式整理出 z 的表示形式, 进行复数的除法运算, 分子和分母同乘以分 母的共轭复数,点的代数形式的最简形式,写出对应的点的坐标,判断出位置. 解答: 解:∵复数 z 满足(1﹣i)z=4i, ∴z= = =﹣2+2i

∴复数对应的点的坐标是(﹣2,2) ∴复数对应的点在第二象限, 故选:B. 点评: 本题考查复数的代数形式的表示及其几何意义,本题解题的关键是求出复数的代数 形式的表示形式,写出点的坐标.

3. (5 分)已知 α 为第二象限角,sinα= ,则 sin A. B. C.

的值等于() D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和差的正弦公式进行求解即可. 解答: 解:∵α 为第二象限角,sinα= , ∴cosα=﹣ , 则 sin =sinαcos ﹣cosαsin = × + × = ,

故选:A 点评: 本题主要考查三角函数值的计算,根据两角和差的正弦公式是解决本题的关键.

4. (5 分)从集合 A={﹣1,1,2}中随机选取一个数记为 k,从集合 B={﹣2,1,2}中随机选 取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第三象限的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件(k,b)的取值所有可能的结果可以列 举出,满足条件的事件直线不经过第三象限,符合条件的(k,b)有 2 种结果,根据古典概型 概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件 k∈A={﹣1,1,2},b∈B={﹣2,1,2} 得到(k,b)的取值所有可能的结果有: (﹣1,﹣2) ; (﹣1,1) ; (﹣1,2) ; (1,﹣2) ; (1,1) ; (1,2) ; (2,﹣2) ; (2,1) ; (2,2)共 9 种结果. 而当 时,直线 不经过第三象限,

符合条件的(k,b)有 2 种结果, ∴直线不过第四象限的概率 P= . 故选 A. 点评: 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和 发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积 的比值得到. 5. (5 分)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是()

A.π

B.

C.

D.

考点: 由三视图 求面积、体积. 专题: 计算题.

分析: 由三视图可知:该几何体是两个同底的半圆锥,其中底的半径为 1,高为 = ,据此可计算出体积.

解答: 解:由三视图可知:该几何体是两个同底的半圆锥,其中底的半径为 1,高为 = 因此体积=2× , = .

故选 D. 点评: 本题考查由三视图计算原几何体的体积,正确恢复原几何体是计算的前提. 6. (5 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 双曲线的离心率为() A. B. C. 2 或 D. 或 ,则该

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 利用双曲线的焦点所在坐标轴,根据双曲线的渐近线求得 a 和 b 的关系,进而根据 求得 c 和 b 的关系,代入离心率公式,解答即可. 解答: 解:①当双曲线的焦点在 x 轴上时, 由渐近线方程 ,可令 a=k,b= 则 c=2k,e=2; ②当双曲 线的焦点在 y 轴上时, 由渐近线方程 则 c=2k,e= 离心率为:2 或 . ,可令 a= k (k>0) ,

k,b=k (k>0) ,

;[来源:学_科_网]

故选 C. 点评: 本题考查双曲线的离心率的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用和分类讨论.

7. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x﹣y 的最小值是()

A.﹣5

B . ﹣4

C . ﹣3

D.﹣2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束 条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化 z=3x﹣y 为 y=3x﹣z, 由图可知,当直线 y=3x﹣z 过 A(0,4)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最小值. ∴zmax=3×0﹣4=﹣4. 故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 8. (5 分)某程序框图如图所示,运行该程序时,输出的 S 值是()

A.44

B.70

C.102

D.140

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,K 的值,当 S=102 时,满足条件 S >100,退出循环,输出 S 的值为 102. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 K=1,S=0 S=2,K=4 不满足条件 S>100,S=10,K=7

不满足条件 S>100,S=24,K=10 不满足条件 S>100,S=44,K=13 不满足条件 S>100,S=70,K=16 不满足条件 S>100,S=102,K=19 满足条件 S>100,退出循环,输出 S 的值为 102. 故选:C. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 S,K 的值是解 题的关键,属于基本知识的考查.

9. (5 分)在△ ABC 中,若向量 则 A.2 =() B. 2



的夹角为 60°,

=2

,且 AD=2.∠ADC=120°,

C. 2

D.6

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.[来源:Z*xx*k.Com] 分析: 根据已知条件容易得到 D 为边 BC 的中点, △ ABD 为等边三角形, 从而可得到 AB=2, BC=4,从而要求 解答: 解:如图, 由 知,D 是 BC 边的中点; 先来求 ,从而得出答案.

∠ADC=120°; ∴∠ADB=60°; 又∠ABD=60°; ∴△ABD 是等边三角形,AD=2; ∴AB=2,BC=4; ∴ ∴ 故选:C. .[来源:学§科§网] ;

点评: 考查向量数乘的几何意义,等边三角形的概念,求向量长度的方法:先去求向量的 平方,以及数量积的计算公式. 10. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 x∈[0,2]时,f(x) =log2(x+1) ,则 f(7)=()

A.﹣1

B. 1

C . ﹣3

D.3

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f (x) 的图象关于直线 x=2 对称且为奇函数, 所以 f (x) =f (﹣4﹣x) =﹣f (4+x) , 从而 f(8+x)=f(x) ,即函数 f(x)的周期为 8,代入验证即可. 解答: 解:函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称且为奇函数. ∴f(x)=f(﹣4﹣x)=﹣f(4+x) ∴f(8+x)=f(x)即函数 f(x)的周期为 8 ∴f(7)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1, 故选 A 点评: 本题考查的是函数的奇偶性及周期性的综合运用,另外利用数形结合也可得到答案. 11. (5 分)设 a,b,c 表示三条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是 () A.c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β B. b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c C. b?β,若 b⊥α,则 β⊥α D.a,b?α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,若 α⊥β,则 c?β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据面面平行的几何特征及线面垂直的性质,可判断 A;根据线面平行的判定定理, 可判断 B;根据面面垂直的几何特征,可判断 C;根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定 定理,可判断 D. 解答: 解 :A 的逆命题为 c⊥α,若 α∥β,则 c⊥β,根据面面平行的几何特征及线面垂直的 性质,可得其逆命题成立; B 的逆命题为 b?α,c?α,若 b∥c,则 c∥α,根据线面平行的判定定理,可得其逆命题成立; C 的逆命题为 b?β,若 β⊥α,则 b⊥α,根据面面垂直的几何特征,当 b 与两平面的交线不垂 直时,结论不成立,故 C 的逆命题不成立; D 的逆命题为 a,b?α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,即 c⊥α,若 c?β,则 α⊥β,由面面垂直的判定 定理,可得其逆命题成立; 故选 C 点评: 本题以逆命题的判定为载体考查了空间直线与平面,平面与平面位置关系的判定, 熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键. 12. (5 分)一个大风车的半径为 8m,12min 旋转一周,它的最低点 Po 离地面 2m,风车翼片 的一个端点 P 从 Po 开始按逆时针方向旋转,则点 P 离地面距离 h(m)与时间 f(min)之间 的函数关系式是()

A. C.

B. D.

考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可设 h(t)=Acosωt+B,根据周期性 2.即可得出. 解答: 解:设 h(t)=Acosωt+B, ∵12min 旋转一周,∴ =12,∴ω= . =12,与最大值与最小值分别为 18,

由于最大值与最小值分别为 18,2. ∴ ,解得 A=﹣8,B=10. t+10.

∴h(t)=﹣8cos

故选:B. 点评: 本题考查了三角函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)如图,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是 144.

考点: 归纳推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 根据杨辉三角中的已知数据,易发现:每一行的第一个数和最后一个数与行数相同, 之间的数总是上一行对应的两个数的积,即可得出结论. 解答: 解:由题意 a=12×12=144. 故答案为:144. 点评: 此题主要归纳推理,其规律:每一行的第一个数和最后一个数与行数相同,之间的 数总是上一行对应的两个数的积.通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规 律解决问题是应该具备的基本能力.

14. (5 分)若 M 是抛物线 y =4x 上一点,且在 x 轴上方,F 是抛物线的焦点,直线 FM 的倾 斜角为 60°,则|FM|=4. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,由直线倾斜角求出斜率,写出直线方程,和 抛物线方程联立求得 M 的坐标,再由抛物线焦半径公式得答案. 解答: 解:如图,

2

由抛物线 y =4x,得 F(1,0) , ∵直线 FM 的倾斜角为 60°,∴ 则直线 FM 的方程为 y= 联立
2

2

, , (舍)或 x2=3.

,即 3x ﹣10x+3=0,解得

∴|FM|=3+1=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了数学转化思想方法,是中档题. 15. (5 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,若 cosC= ,且 sinC= 则△ ABC 的内角 A= .

sinB,

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosC,代入已知第一个等式整理得到关系式,第二个关系式利 用正弦定理化简,代入上式得出的关系式整理表示出 a,再利用余弦定理表示出 cosA,把表示 出的 a 与 c 代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数. 解答: 解:由已知等式及余弦定理得:cosC= 将 sinC= sinB,利用正弦定理化简得:c= b②, = ,即 a +b ﹣c =2a ①,
2 2 2 2

②代入①得:a =b ﹣ b = b ,即 a= b,

2

2

2

2

∴cosA= 则 A= . .

=

=



故答案为:

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键.

16. (5 分)已知 是[2,+∞) .

,则使 f(x)﹣e ﹣m≤0 恒成立的 m 的范围

x

考点: 分段函数的应用;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. x 分析: 运用参数分离的方法,分别讨论当 x≤1 时,当 x>1 时,函数 f(x)﹣e 的单调性和 最大值的求法,注意运用导数,最后求交集即可. 解答: 解:当 x≤1 时,f(x)﹣e ﹣m≤0 即为 m≥x+3﹣e , x x 可令 g (x) =x+3﹣e , 则 g( ′ x) =1﹣e , 当 0<x<1 时, g( ′ x) <0, g (x) 递减; [来源:Z#xx#k.Com] 当 x<0 时,g′(x)>0,g(x)递增.g(x)在 x=0 处取得极大值,也为最大值,且为 2, 则有 m≥2 ① 当 x>1 时,f(x)﹣e ﹣m≤0 即为 m≥﹣x +2x+3﹣e , 2 x x 可令 h(x)=﹣x +2x+3﹣e ,h′(x)=﹣2x+2﹣e ,由 x>1,则 h′(x)<0, 即有 h(x)在(1,+∞)递减,则有 h(x)<h(1)=4﹣e, 则有 m≥4﹣e ② 由①②可得,m≥2 成立. 故答案为:[2,+∞) . 点评: 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题,同时考查运用导数判断 单调性,求最值的方法,属于中档题和易错题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) 已知各项都不相等的等差数列{an}的前 7 项和为 70, 且 a3 为 a1 和 a7 的等比中项. [来 源:学科网 ZXXK] (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn+1﹣bn=an,n∈N 且 b1=2,求数列
* x 2 x x x

的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (I)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,通过前 7 项和为 70、且 a3 为 a1 和 a7 的等比 中项,可得首项和公差,计算即可;

(II)通过递推可得 bn=n(n+1) ,从而

=

,利用并项法即得结论.

解答: 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) , 则 ,解得 ,[来源:学科网]

∴an=2n+2; * (II)∵bn+1﹣bn=an,∴bn﹣bn﹣1=an﹣1=2n (n≥2,n∈N ) , bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1 =an﹣1+an﹣2+…+a1+b1 =n(n+1) , ∴ = = , = = .

∴Tn=

点评: 本题考查数列的通项公式、前 n 项和,考查递推公式,利用并项法是解决本题的关 键,注意解题方法的积累,属于中档题. 18. (12 分)已知四棱锥 E﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2, O 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证:EO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离. ,

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (I)连接 CO,利用△ AEB 为等腰直角三角形,证明 EO⊥AB,利用勾股定理,证 明 EO⊥CO,利用线面垂直的判定,可得 EO⊥平面 ABCD; (II) 利用等体积, 即 VD﹣AEC=VE﹣ADC, 从而可求点 D 到面 AEC 的距离. [来源:学科网 ZXXK] 解答: (I)证明:连接 CO ∵ ∴△AEB 为等腰直角三角形 ∵O 为 AB 的中点,∴EO⊥AB,EO=1…(2 分) 又∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ACB 是等边三角形 ∴ ,…(4 分) 2 2 2 又 EC=2,∴EC =EO +CO , ∴EO⊥CO, ∵AB∩CO=O ∴EO⊥平面 ABCD…(6 分)

(II)解:设点 D 到面 AEC 的距离为 h ∵ ∴ ∵ ∴ ∴点 D 到面 AEC 的距离为 …(12 分) …(8 分) , E 到面 ACB 的距离 EO=1, VD﹣AEC=VE﹣ADC∴S△ AEC?h=S△ ADC?EO… (10 分)

点评: 本题考查线面垂直,考查点到面距离的计算,解题的关键是掌握线面垂直的判定方 法,考查等体积的运用,属于中档题. 19. (12 分)为了比较两种复合材料制造的轴承(分别称为类型 I 轴承和类型 II 轴承)的使用 寿命,检验了两种类型轴承各 30 个,它们的使用寿命(单位:百万圈)如下表: 类型 I 6.2 6.4 8.3 8.6 9.4 9.8 10.3 10.6 11.2 11.4 11.6 11.6 11.7 11.8 11.8 1 12.2 12.3 12.3 12.5 12.5 12.6 12.7 12.8 13.3 13.3 13.4 13.6 13.8 14.2 14.5 类型 II 1 8.4 8.5 8.7 9.2 9.2 9.5 9.7 9.7 9.8 9.8 10.1 10.2 IO.3 10.3 10.4 1 10.6 10.8 10.9 11.2 11.2 11.3 11.5 11.5 11.6 11.8 12.3 12.4 12.7 13.1 13.4 (Ⅰ)根据两组数据完成下面茎叶图;

(Ⅱ)分别估计两种类型轴承使用寿命的中位数;

(Ⅲ)根据茎叶图对两种类型轴承的使用寿命进行评价. 考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据两组数据,即可得到茎叶图; (Ⅱ)注意到两组数字是有序排列的,中位数为第 15,16 两个数,即可得出结论; (Ⅲ)由中位数及标准差分析即可. 解答: 解: (Ⅰ)茎叶图:

(Ⅱ)由茎叶图知,类型 I 轴承的使用寿命按由小到大排序,排在 15,16 位是 11.8,12.2, 故中位数为 12;类型 II 轴承的使用寿命按由小到大排序,排在 15,16 位是 10.4,10.6,故中 位数为 10.5; (Ⅲ) 由所给茎叶图知, 类型 I 轴承的使用寿命的中位数高于对类型 II 轴承的使用寿命的中位 数,表明类型 I 轴承的使用寿命较长;茎叶图可以大致看出类型 I 轴承的使用寿命的标准差大 于类型 II 轴承的使用寿命的标准差,表明类型 I 轴承稳定型较好. 点评: 本题考查了样本的数字特征,属于中档题. 20. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2, 点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△ AF2B 的面积为 且与直线 l 相切的圆的方程. 考点: 椭圆的标准方程;圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)先设出椭圆的方程,根据题设中的焦距求得 c 和焦点坐标,根据点(1, ) 到两焦点的距离求得 a,进而根据 b= 求得 b,得到椭圆的方程. ,求以 F2 为圆心

(Ⅱ)先看当直线 l⊥x 轴,求得 A,B 点的坐标进而求得△ AF2B 的面积与题意不符故排除, 进而可设直线 l 的方程为:y=k(x+1)与椭圆方程联立消 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根

据韦达定理可求得 x1+x2 和 x1?x2,进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径,求得 k,最后求得 圆的半径,得到圆的方程. 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . ∴ ∴a=2,又 c=1,b =4﹣1=3, 故椭圆的方程为 .
2

,由题意可得:



(Ⅱ)当直线 l⊥x 轴,计算得到: , 意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x+1) ,
2 2 2 2

,不符合题



,消去 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0

显然△ >0 成立,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 又 ,





又圆 F2 的半径



所以 化简,得 17k +k ﹣18=0, 2 2 即(k ﹣1) (17k +18)=0,解得 k=±1 所以, ,
4 2



故圆 F2 的方程为: (x﹣1) +y =2. 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线,椭圆与圆的关系.考查了学生综合 运用所学知识,创造性地解决问题的能力. 21. (12 分)已知函数 f(x)=a(x﹣1)﹣21nx(a∈R) .[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)将 a=1 代入,求出函数的导数,从而得到函数的单调区间; (Ⅱ)通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性,求出函数的极值,从而得到 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)a=1 时,函数 f(x)=x﹣1﹣2lnx,定义域是(0,+∞) , f′(x)=1﹣ = ,

2

2

由 f′(x)>0 解得:x>2,由 f′(x)<0,解得 0<x< 2, ∴f(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增; (Ⅱ) (1)当 a≤0 时,由 x∈(0,1) ,得 x﹣1<0,﹣2lnx>0, ∴f(x)>0 恒成立,即 a≤0 符合题意; (2)当 a>0 时,f′(x)=a﹣ = (x﹣ ) , ①当 a≤2 时,即 ≥1 时,由 f′(x)<0 得 0<x< , 即 f(x)在区间(0,1)单调递减,故 f(x)>f(1)=0, 满足对?x∈(0,1) ,f(x)>0 恒成立, 故此时 f(x)在区间(0,1)上无零点,符合题意; ②当 a>2 时,即 0< <1 时,由 f′(x)>0 得 x> ,由 f′(x)<0 得 0<x< , 即 f(x)在(0, )递减,在( ,1)递增, 此时 f( )<f(1)=0, 令 g(a)=e ﹣a,当 a>2 时,g′(a)=e ﹣1>e ﹣1>0 恒成立, a 故函数 g(a)=e ﹣a 在区间(2,+∞)递增, 2 ∴g(a)>g(2)=e ﹣2>0; a 即 e >a>2, ∴0< 而 f( < < <1, )=a( ﹣1)﹣2ln = +a>0,
a a 2

故当 a>2 时,f( 即?x0∈(

)?f( )<0,

, ) ,使得 f(x0)=0 成立,

∴a>2 时,f(x)在区间(0,1)上有零点,不合题意, 综上,a 的范围是{a|a≤2}. 点评: 本题考查了函数的单调性,考查了导数的应用,考查分类讨论思想,本题有一定的 难度. 选做题请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于 ΘO,且 AB 是的 ΘO 直径,过点 D 的 ΘO 的切线与 BA 的延 长线交于点 M. (1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题. 分析: (1)利用 MD 为⊙O 的切线,由切割线定理以及已知条件,求出 AB 即可. (2)推出∠AMD=∠ADM,连接 DB,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD,通过 AB 是⊙O 的直径,四边形 ABCD 是圆内接四边形,对角和 180°,求出∠DCB 即可. 解答: 选修 4﹣1:几何证明选讲 解: (1)因为 MD 为⊙O 的切线,由切割线定理知, 2 MD =MA?MB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB,…(2 分) , 所以 MA=3,AB=12﹣3=9.…(5 分) (2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,连接 DB,又 MD 为⊙O 的切线, 由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD, (7 分) 又因为 AB 是⊙O 的直径,所以∠ADB 为直角,即∠BAD=90°﹣∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是 90°﹣∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°.…(8 分) 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°, 所以∠DCB=120°…(10 分) 点评: 本题考查圆的内接多边形,切割线定理的应用,基本知识的考查. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,当 t=1 时,曲线 C1 上的点为 A,当 t=

﹣1 时,曲线 C 1 上的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ= .

(1)求 A、B 的极坐标; (2)设 M 是曲线 C2 上的动点,求|MA| +|MB| 的最大值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1) 当 t=1 时, 代入参数方程可得即 A 即可得出 点 A 的极坐标,同理可得 (2)由 ρ=
2 2 2

, 利用



及其点 B 的极坐标.
2

,化为 4ρ +5(ρsinθ) =36,利用
2 2 2

即可化为直角坐标

方程,设曲线 C2 上的动点 M(3cosα,2sinα) ,可得|MA| +|MB| =10cos α+16,再利用余弦函 数的单调性即可得出. 解答: 解: (1)当 t=1 时,代入参数方程可得 即A ,

∴ . 当 t=﹣1 时,同理可得 Z_X_X_K] (2)由 ρ=

=2,

,∴

,∴点 A 的极坐标为

,点 B 的极坐标为

.[来源:学_科_网

,化为 ρ (4+5sin θ)=36,∴4ρ +5(ρsinθ) =36,化为 4(x +y )

2

2

2

2

2

2

+5y =36,化为 则 |MA| +|MB| =
2 2

2

,设曲线 C2 上的动点 M(3cosα,2sinα) ,

+

=18cos α+8sin α+8 2 =10cos α+16≤26,当 cosα=±1 时,取得最大值 26. 2 2 ∴|MA| +|MB| 的最大值是 26. 点评: 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的标准方程及其参数方程、三角 函数基本关系式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力,属于中档 题. 选修 4-5:不等式选讲 2 2 2 24 .已知 a,b,c∈R,a +b +c =1.

2

2

(Ⅰ)求证:|a+b+c|≤ ; 2 (Ⅱ)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a+b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;不等式的证明. 专题: 计算题;证明题;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 2 2 分析: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a+b+c) ≤(1 +1 +1 ) (a +b +c ) ,即可得证; 2 (Ⅱ) 不等式|x﹣1|+|x+1|≥ (a+b+c) 对一切实数 a, b, c 恒成立, 则由 (Ⅰ) 可知, |x﹣1|+|x+1|≥3, 运用绝对值的定义,即可解出不等式. 2 2 2 2 2 2 2 解答: (Ⅰ)证明:由柯西不等式得, (a+b+c) ≤(1 +1 +1 ) (a +b +c ) , 2 即有(a+b+c) ≤3,即有|a+b+c|≤ ; 2 (Ⅱ)解:不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a+b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立, 则由(Ⅰ)可知,|x﹣1|+|x+1|≥3, 由 x≥1 得,2x≥3,解得,x≥ ; 由 x≤﹣1,﹣2x≥3 解得,x≤﹣ , 由﹣1<x<1 得,2≥3,不成立. 综上,可得 x≥ 或 x≤﹣ . 则实数 x 的取值范围是(﹣ ]∪[ ) .

点评: 本题考查柯西不等式的运用,考查不等式恒成立问题,考查绝对值不等式的解法, 属于中档题.


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