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高一秋季第1讲集合的概念与运算(学生版)


第1讲

集合的概念与 运算

1.1 元素与子集
知识点睛
元素与子集是集合中最基本的概念.其基本题型如下: 1、 根据给定的集合性质确定某元素是否属于某集合或确定某待定元数值; 2、 对数集中的元素按某种规律排序并找出其中某个特定元素; 3、 对某集合中元素按特定运算规则进行计算 4、 确定满足某条件的子集个数 基本解题思路有:利用集合的互异性;分类讨论或枚举;对数集的元素排序;反证法等

经典精讲
【例1】 已知 A ? {1,3,x} , B ? {1, x 2 } ,且 A ? B ? {1,3, x} . 求 x 的所有可能值个数.

a2 , ?, an }?1≤ a1 ? a2 ? ? ? an , n ≥ 2? 具有性质 P :对任意的 【例2】 已知数集 A ?| a1 ,

i , j ?1≤ i ≤ j ≤ n ? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

3, 6} 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅰ)分别判断数集 {1 ,3 ,4} 与 {1,2 , a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且 ?1 a1 ? a2 ?1 ? ? ? an ?1

第 1 讲·联赛班

1

【例3】 已知集合 A ? ?x 5x ? a ? 0?,B ? ?x 6x ? b ? 0?, a, b ? N , 且 A ?B ? N ? ?2 , 3 , 4 的个数为( A. 20 ) B. 25 C. 30 D. 42

则整数对 ?a, b ? ?,

? a a a3 a4 ? 【例4】 已知任意的记集合 T ? ?0,1,2,3,4,5,6} , M ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4? ,将 M 中的元 2 ?7 7 7 7 ? 素按从大到小顺序排列,则第 2005 个数是( ) 5 5 6 3 A. ? 2 ? 3 ? 4 B. 5 ? 52 ? 63 ? 24 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 0 3 1 1 0 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7

【例5】 设 A ? [?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为( A. [0,3) B. [0,3] C. [?1, 2) D. [?1, 2]



【例6】 已知 a 为给定的实数,那么集合 M ? {x | x2 ? 3x ? a2 ? 2 ? 0, x ? R} 的子集的个数为( A.1 B.2 C.4 D.不确定

)

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【例7】 对于集合 {1, 2,..., n} 和它的每一个非空子集,定义“交替和”如下: 把集合中的数按从大到小的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数. 例如: {1, 2, 4,6,9} 的交替和为 9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ,{5}的交替和为 5. 对于 n=7,求所有这些交替和之和.

1.2 集合的运算
知识点睛
集合的基本运算包括交并补运算,.其基本题型如下: 1、 给定两个或多个集合对其做复杂的复合运算,只要先利用函数或解析几何等相关知识确定原始集 合,就可以按部就班地计算出最后结果. 2、 题目中对集合定义某种新运算,要求按新运算来进行计算. 但第一类题型往往要用到很多高中的知识作为基础,因此放在以后的章节中逐渐渗透.

经典精讲
【例8】 集合 A= {x | x2 ? [ x] ? 2} ,B= {x || x |? 2} ,求 A ? B , A ? B .

【例9】 定义集合运算: A ? B ? {z | z ? xy, x ? A, y ? B} ,设 A ? {2,0} , B ? {0,8} ,则集合 A ? B 的所有 元素之和为( ) A.16 B.18 C.20 D.22

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【例10】 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), x1 ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对于 A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1, b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差和距离分别为

A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);

d ( A, B) ? ? d (ai ? bi )
i ?1

n

(Ⅰ)当 n=5 时,设 A ? (0,1,0,0,1), B ? (1,1,1,0,0) ,求 A ? B , d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅲ) 证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数.

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1.3 有限集的阶
知识点睛
定义:有限集 A 的元素数目叫做这个集合的阶,记作|A|. 注:高考中常记作 card(A),本讲义中一律写作|A|. 求集合的阶的问题通常与组合相关,特别是求满足某给定条件的子集的阶的最大值问题通常难度 很大.这类问题在竞赛中变化极多,难以掌握.此处仅举数例说明,更深层次的问题将在学完组合基础 之后再来学习.

经典精讲
【例11】 设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2000 , x ? 4k ? 1, k ? Z}, 集合B ? { y | 1 ? y ? 3000 , y ? 3k ?1, k ? Z}, 求 | A ? B | .

【例12】 S 是 {1,2,...,1989} 的一个子集,且 S 中任两数之差不能为 4 或 7, (1) 证明:原集合中任 11 个连续整数中最多有 5 个能是 S 中元素. (2) 试求 s max .

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【例13】 已知 A 与 B 是集合{1,2,3,?,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同,且 A∩B 为空集。若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

【例14】 已知集合 B 是集合 {1,2,?,100} 的子集,且对任意 x ? B ,都有 3 x ? B ,则集合 B 中的元素最 多有多少个?

【例15】 已知集合 B 是集合 {1,2,?,100} 的子集,且对任意 x ? B ,都有 2 x ? B ,则集合 B 中的元素最 多有( ) (A)67 个 (B)68 个 (C)69 个 (D)70 个

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实战演练
【演练 1】集合 M= {u | u ? 12m ? 8n ? 4l; m, n, l ? Z} ,N= {u | u ? 20 p ? 16q ?12r; p, q, r ? Z} .M,N 的关 系为( ) (A)M=N (B) M ? N , N ? M (C)M 为 N 的真子集 (D)N 为 M 的真子集

【演练 2】设集合 A 的元素都是正整数,满足以下条件: (1) A 的元素个数不小于 3; (2) 若 a ? A ,则 a 的所有因数都属于 A; (3) 若 a ? A, b ? A ,1<a<b,则 1 ? ab ? A . 试解答: (1)证明 1,2,3,4,5 均为 A 中元素; (2)试确定 2005 是否为 A 中元素.

【演练 3】设 A 所有可表为两个整数平方和的的数所组成的集合,即 A ? {x | x ? m2 ? n2 , m, n ? Z} .证明:若 s, t ? A ,则 st ? A .

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【演练 4】求集合 M= {1,2,...,n} 的所有非空子集的元素和之和.

【演练 5】设全集 U ? {x |1 ? x ? 7, x ? N}, A ? {1,2,3} ,若 A ? B ? {1,2,4,5,6,7} 则集合 B 可能为( ) (A) {2,3,4} (B) {3, 4,5} (C) {4,5,6} (D) {5,6,7}

(注:补集符号)

2,, 3 4, 5) . 【演练 6】已知 A ? ?a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ? , B ? ?a12 , a22 , a32 , a42 , a52 ? , ai ? N(i ? 1,

设 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且 A ? B ? ?a1 , a4 ? , a1 ? a4 ? 10 ,又 A ? B 中所有元素之和为 224 . 求集合 A .

【演练 7】设 M ? {1,2,...,1995} ,A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时, 15 x ? A ,求 A max . (若将 15 换为 17,19 又如何.)

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