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高考数学应用题型归纳


高考数学应用题型归纳 ?
函数类型应用题 随着我国加入 WTO,某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生 产,打入国际市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位: 万美元) 项 目 类 别 甲产品 乙产品 年固定成本 30 50 每件产品成 每件产品销 每年最多生 本 售价 产的件数 a 10 200 8 18 120

多少?

? ? ? ? ? ? ? ? ?提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情 况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/ 千米)的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时 车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小 时,研究表明;当 20 ≤ x ≤ 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. ? (Ⅰ)当 0 ≤ x ≤ 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; ? (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车 辆数,单位:辆 / 每小时) f ( x ) = x.v ( x ) 可以达到最大,并求出最大值(精 确到 1 辆/小时) ? 本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际 问题的能力。 ? ? (湖南理 20) 。如图 6,长方体物体 E 在雨中 沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,

其中年固定成本与生产的件数无关,a 为常数,且 4≤a≤8。令外,年销 售 x 件乙产品时需上交 0.05x 2 万美元的特别关税。 (1) 写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y 1 ,y 2 与生产 相应产品的件数 x (x ∈ N ) 之间的函数关系式; (2) 分别求出投资生产这两种产品的最大年利润; (3) 如何决定投资可获最大年利润。

学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓 风及时排气,用煤浇开水每吨开水费为 S 元,用电炉烧开水每吨开水费为

速度为 v(v>0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度 为 c ( c ∈ R ) 。E 移动时单位时间内的淋雨量包括 两部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋
1 v ? c 雨)的淋雨量,假设其值与 ×S 成正比,比例系数为 10 ; (2)其它面
1 的淋雨量之和,其值为 2 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 3 d=100,面积 S= 2 时。 ?

P 元.
S = 5 x + 0.2 y + 5 , P = 10.2 y + 20 76 ? y .

其中 x 为每吨煤的价格,y 为每百度电的价格,如果烧煤时的费用不 超过用电炉时的费用,则仍用原备的锅炉烧水,否则就用电炉烧水. (1)如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格表示为每百度电 价的函数; (2)如果每百度电价不低于 60 元,则用煤烧水时每吨煤的最高价是

(Ⅰ)写出 y 的表达式 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第 1 页

(Ⅱ)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少。 ? ?

(Ⅱ)求 a n 与 a n?1 的关系式; (Ⅲ)求 a n 的表达式.

三角函数类型应用题 数列类型应用题 商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款 500 万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于 2002 年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款 (年利率 5%,按复利计算) ,公寓所收费用除去物业管理费和水电费 18 万元.其余部分全部在年底还建行贷款. (1)若公寓收费标准定为每生每年 800 元,问到哪一年可偿还建行全部 贷款; (2)若公寓管理处要在 2010 年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收 费标准是多少元(精确到元) . (参考数据:lg1.7343=0.2391,lgl.05= 0.0212, 1.058 =1.4774) 如图,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东α角的射线 OZ 方向航行, 而在离港口 O 13 a(a 为正常数)海里的北偏东β角的 A 处共有一个 供给科考船物资的小岛,其中已知 tan α = , cos β =
1 3

2 13

.现指挥部需要

紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m 海里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装 运物资供给科考船.该船沿 BA 方向全速追赶科考 船,并在 C 处相遇.经测算当两船运行的航线与海 岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时,这种 补给最适宜. (Ⅰ) (本问 6 分)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m) ; (Ⅱ) (本问 6 分)应征调 m 为何值处的船只,补给最适宜?
?

甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在 A 、 B 两个喷雾器中分别配制 成 12%和 6%的药水各 10 千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一 样的,现在只有两个容量为 1 千克的药瓶,他们从 A 、 B 两个喷雾器中分 别取 1 千克的药水,将 A 中取得的倒入 B 中, B 中取得的倒入 A 中,这样 操作进行了 n 次后, A 喷雾器中药水的浓度为 a n %, B 喷雾器中药水的浓度 为 bn %. (Ⅰ)证明 a n + bn 是一个常数;

如图,某海滨浴场的岸边可近似的看成直线,位 于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救,救 生员没有直接从 A 处游向 B 处,而沿岸边自 A 跑 到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处,若救生员 在岸边的行速为 6 米/秒,在海中的行进速度为 2 米/秒, ⑴分析救生员的选择是否正确;
A ?

B ?

300 米 ?

C ?

D ?

⑵在 AD 上找一点 C,是救生员从 A 到 B 的时间为最短,并求出最短时间。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第 2 页

如图,某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A , B 及 CD 的中点 P 处. AB =

D ?

P ? ? O ?

C ?

E

20km , BC = 10km .为了处理这三家工厂的污 A ?

B ?

水,现要在该矩形区域上(含边界)且与 A,B 等距的一点 O 处,建造一 个污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO,BO,PO.记铺设管道的总长度 为 ykm. ? (1)按下列要求建立函数关系式: ? (i)设 ∠BAO = θ (rad) ,将 y 表示成 θ 的函数; ?
D β

C h B α d 17题图 A

?

基本不等式类型应用题 (ii)设 OP = x (km) ,将 y 表示成 x 的函数; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大. (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的 污水管道的总长度最短。 ? ? (14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图,垂直 放置的标杆 BC 高度 h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β ? (1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出 H 的值 ? (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位 m) ,使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高 度为 125m,问 d 为多少时,α-β最大 ? 图① (1)分别求 l1 和 l2 的最小值; (2)为使流量最大,给出最佳设计方案. 图② 现有以下两种设计,如图: 图①的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周 l1 = AB + BC .图②的 过水断面为等腰梯形 ABCD , AB = CD , AD ∥ BC ,∠ BAD =60°,过水湿周
l2 = AB + BC + CD .

若△ABC 与梯形 ABCD 的面积都为 S,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第 3 页

如图,A、B 为相距 2km 的两个工厂,以 AB 的 中点 O 为圆心 2km 为半径画圆弧。MN 为圆弧上 两点,且 MA ⊥ AB, NB ⊥ AB ,在圆弧 MN 上一点 P 处建一座学校。学校 P 受工厂 A 的噪音影响度与 AP 的平方成反比,比例系数为 1,学校 P 受工厂 B 的噪音影响度与 BP 的平方成反比,比例系数 为 4。学校 P 受两工厂的噪音影响度之和为 y,且设 AP=xkm ? (1) 求 y = f ( x) ,并求其定义域; ? (2) 当 AP 为多少时,总噪音影响度最小? ?
B ? O ? N ?

P ? M ?

线性规则类型题 (四川理 9)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车

A ?

虚配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划当天派用两类卡车 的车辆数,可得最大利润 z= ? ? A.4650 元 ? ? ? ? ? B.4700 元 ? ? ? ? ?
2

C.4900 元 ? ? ? ? ? ?

D.5000 元 ?

某人有楼房一栋,室内面积共 180m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大 房间每间面积为 18m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元,小房

(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为

间每间面积为 15m2,可住旅客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元,装修大 房间每间需 1000 元,装修小房间每间需 600 元,如果他只能筹款 8000 元 用于装修,且假设游客能住满客房,它隔出大房间和小房间各多少间会获 得最大收益?最大收益是多少? ? A,B 两仓库各有编织袋 50 万个和 30 万个,由于抗洪抢险的需要,现需调 运 40 万个到甲地,20 万个到乙地。已知从 A 仓库调运到甲、乙两地的运 费分别为 120 元/万个、180 元/万个;从 B 仓库调运到甲、乙两地的运费 分别为 100 元/万个、150 元/万个。问如何调运,能使总运费最小?总运 费的最小值是多少? ? 圆锥曲线应用题 1. 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 m,要求通行车辆限高 4 5 m,隧道全长 2 5 km,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状
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a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满意度为 m ;如果他买
m+a

进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为

n .如果一个人对两种交易(卖出 n+a

或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易的综合满意度为 h1h2 . ? 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 mA 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的

3 综合满意度为 h乙 ; ? (1)求 h甲 和 h乙 关于 mA 、 mB 的表达式;当 mA = mB 时, 5 3 求证: h甲 = h乙 ; ? (2)设 mA = mB ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的 5
综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? ? (3)记 (2)中最大的综合满 意度为 h0 ,试问能否适当选取 mA 、 mB 的值,使得 h甲 ≥ h0 和 h乙 ≥ h0 同时成 立,但等号不同时成立?试说明理由。 学科 ?

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第 4 页

(1)若最大拱高 h 为 6 m,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 m,则应如何设计拱 高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧道的土方 工程量最小?(半个椭圆的面积公式为 S= π lh,柱体体积为底面积乘以高 本题结果均精确到 0 1 m)
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4.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示, 已知上部呈抛物线形,跨度为 20 m,拱顶距水面

4.5 22 d

h

6 m,桥墩高出水面 4 m,现有一货船欲过此孔, 该货船水下宽度不超过 18 m,目前吃水线上部分中央船体高 5 m,宽 16 m,且该货船在现在状况下还可多装 1000 t 货物,但每多装 150 t 货 物,船体吃水线就要上升 0 04 m,若不考虑水下深度,该货船在现在状
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2. ? 如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平 面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在 方程 y = kx ? 1 (1 + k 2 ) x 2 (k > 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的
20

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况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?

射程是指炮弹落地点的横坐标. ? (1)求炮的最大射程; ? (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米, 试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. ? ? ? ? ?
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5 中国跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的
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运动路线为如下图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的 数据为已知条件)
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y ( 千 米) ?

在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 10 2 m,入水处距池边的距离为 4 m,同时,运动员在距水面高度为 5 m
3
(第 17 题) ? x ( 千 米) ?

O ?

或 5 m 以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就 会出现失误
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3 有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝,只留有一个透明窗用作通
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(1)求这条抛物线的解析式

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光孔,它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分,灯丝定在某 个地方发出光线反射到卡门上,并且这两物体间距离为 4 5 cm,灯丝距
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(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物 线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3 3 m,问
5

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顶面距离为 2 8 cm,为使卡门处获得最强烈的光线,在加工这种灯泡
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此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由

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时,应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程

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(3)要使此次跳水不至于失误,该运动员按(1)中抛物线运行,且 运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第 5 页

6.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返 回试验. 设计方案是:如图,航天器运行 ( 按 顺 时 针 方 向 ) 的 轨 迹 方 程 为
y2 x2 + = 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭 100 25

圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对
64 ?? 称轴、 M ?? ?? 0, ?? 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D( 8, 0 ) . 观测 ?? 7 ??

点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:若航天器在 x 轴上方,则在观测点 A、B 测得离航天器的距离 分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第 6 页


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