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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学选修2-1【精品课件】2-4 抛物线1


2.4

抛物线

2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其标准方程
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KEQIAN YUXI DAOXUE

课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU

学习目标

1.能记住抛物线的定义,会分析焦点、准线方程的几何意义. 2.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程. 3.认识开口向右的抛物线标准方程的推导过程. 重点:抛物线的定义,及根据条件求抛物线的标准方程. 难点:抛物线的标准方程的推导.

重点难点

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1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的 轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.

预习交流 1
抛物线的定义中规定直线 l 不经过点 F,若直线 l 经过点 F,那么动 点的轨迹是什么图形? 提示:动点的轨迹是过点 F 与直线 l 垂直的一条直线.

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2.抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 p ,0 2 准线方程
p 2

y =2px(p>0)

2

x=-

y =-2px(p>0)

2

p - ,0 2

x=

p 2

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x =2py(p>0)

2

0,

p 2

y=-

p 2

x =-2py(p>0)

2

0,-

p 2

y=

p 2

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预习交流 2
1.抛物线的标准方程有怎样的特征?与抛物线的开口方向有怎样的 关系? 提示:抛物线标准方程中等号的一边是某变量的完全平方 ,另一边 是另一变量的一次项.当对称轴为 x 轴时,方程中的一次项就是 x 的一次 项,且符号指明了抛物线的开口方向:x 的系数为正时开口向右,为负时 开口向左;当对称轴为 y 轴时,方程中的一次项就是 y 的一次项,且符号指 明了抛物线的开口方向:y 的系数为正时开口向上,为负时开口向下. 2.抛物线的标准方程中,参数 p 的几何意义是什么? 提示:p 的值等于抛物线的焦点到准线的距离.

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一、根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程
活动与探究 问题 1:如何确定抛物线的焦点位置和开口方向? 提示:一次项变量为 x(或 y),则焦点在 x 轴(或 y 轴上);若系数为正, 则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上,焦点确定,开口方向也 随之确定.

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问题 2:四种位置的抛物线标准方程有什么异同点? 提示:(1)共同点:
1 2 次项系数的 ,即± =± . 4 2 4

①原点在抛物线上;②焦点在坐标轴上;③焦点的非零坐标都是一 (2)不同点: ①焦点在 x 轴上时,方程的右端为± 2px,左端为 y2;焦点在 y 轴上时,

方程的右端为± 2py,左端为 x2;②开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴方向 相同,焦点在 x 轴(或 y 轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与 x 轴(或 y 轴)的负半轴方向相同,焦点在 x 轴(或 y 轴)负半轴上,方程右端取负号.

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例 1 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程: (1)y2=-6x; (2)3x2+5y=0; (3)y=4x2; (4)y2=a2x(a≠0). 思路分析:先将抛物线的方程化为标准形式,确定其开口方向,求出 参数 p 的值,然后再求得焦点坐标和准线方程. 坐标为 - ,0 ,准线方程为 x= . (2)将 3x2+5y=0 变形为 x2=- y,可知抛物线开口向下,2p= ,p= , =
5 ,所以焦点坐标是 12 3 2 3 2

解:(1)由方程 y2=-6x 知抛物线开口向左,2p=6,p=3, = ,所以焦点
5 3 5 3 5 6 2

2

3 2

0,-

5 12

,准线方程是 y= .

5 12

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(3)将 y=4x2 化为 x2= y,知抛物线开口向上,2p= ,p= , = 坐标是 0,
1 16

1 4

,准线方程是 y=- .
2 2 2

1 16

1 4

1 8 2

1 ,故焦点 16 2 ,故焦 4

(4)由方程 y =a x(a≠0)知抛物线开口向右,2p=a 点坐标是
2 ,0 4

2 ,p= , 2 2

=

,准线方程是

2 x=- . 4

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迁移与应用 1.抛物线 y=- x2 的准线方程是( A.x=
1 16 1 4

).

B.x=1 D.y=2
2

C.y=1

答案:C 2 解析:方程可化为 x =-4y,开口向下,2p=4, =1,故准线方程为 y=1.

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2.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程. (1)y2=6x; (2)2y2+5x=0. 解:(1)∵ 2p=6,∴ p=3,开口向右. 则焦点坐标是
3 ,0 2

,准线方程为 x=- .
5 2

3 2

(2)将 2y2+5x=0 变形为 y2=- x. ∴ 2p= ,p= ,开口向左. ∴ 焦点为 - ,0 ,准线方程为 x= .
5 8 5 8 5 2 5 4

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根据抛物线方程求它的焦点坐标和准线方程时,首先要看抛物线 方程是否为标准形式,如果不是,要化为标准形式;然后判断抛物线的对 称轴和开口方向,再利用 p 的几何意义,求出焦点坐标和准线方程.

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二、求抛物线的标准方程
活动与探究 问题:如何求抛物线的标准方程? 提示:(1)求抛物线标准方程的方法是:

特别注意在设标准方程时,若焦点位置不确定,要分类讨论.

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(2)确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数 p,但由于 标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应 进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y2=2mx(m≠0),焦点在 y 轴上的抛物线标 准方程可设为 x2=2my(m≠0).

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例 2 求分别满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应 抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在 x-2y-4=0 上. 思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位 置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论. 解:(1)∵ (-3,2)在第二象限, ∴ 抛物线开口向左或向上. 设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0), ∵ 抛物线过点(-3,2), ∴ 4=-2p·(-3)或 9=2p'·2,∴ p= 或 p'= . ∴ 抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y,准线方程分别为 x= 和 y=- .
4 3 9 2 1 3 9 8 2 3 9 4

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(2)由于抛物线为标准型,故焦点必为 x-2y-4=0 与坐标轴的交点,即 x=0,y=-2,F1(0,-2)或 y=0,x=4,F2(4,0). 当焦点为(4,0)时, =4,p=8,此时抛物线方程为 y2=16x,准线方程为
2

x=-4; 当焦点为(0,-2)时, =2,p=4,此时抛物线方程为 x2=-8y,准线方程为
2

y=2.

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迁移与应用 1.经过点 P(4,-2)的抛物线的标准方程是 答案:y2=x 或 x2=-8y 解析:∵ 点 P 在第四象限,∴ 设抛物线方程为 y2=2px(p>0)或 x2=-2p'y(p'>0),把点 P(4,-2)的坐标分别代入 y2=2px(p>0)和 x2=-2p'y,得 (-2)2=2p·4,42=-2p'·(-2),即 2p=1,2p'=8. ∴ 所求抛物线方程为 y2=x 或 x2=-8y. .

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2.抛物线经过圆(x+2)2+(y+4)2=1 的圆心,并且以原点为顶点,坐标 轴为对称轴,求抛物线的标准方程. 解:由题意知圆心为(-2,-4). (1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0), 由 16=-2a,得 a=-8. ∴ 标准方程为 y2=-8x. (2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0), 由 4=-4a,得 a=-1. ∴ 标准方程为 x2=-y. 综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.

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抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指 确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正 半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据 题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.

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三、抛物线定义的应用
活动与探究 问题 1:抛物线定义的应用一般有哪些方面? 提示:抛物线定义的应用主要有两个方面:一是根据题意确定动点 的轨迹是抛物线,由定义求轨迹方程;二是动点到焦点的距离与动点到 准线的距离相等间的互化.在解题中,应正确合理地使用定义,同时应注 意“看到准线想焦点,看到焦点想准线”.

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问题 2:什么是抛物线的焦半径? 提示:设点 M 是抛物线上一点,焦点为 F,则线段 MF 叫做抛物线的 焦半径,由抛物线的定义可知: 若点 M(x0,y0)在抛物线 y2=2px(p>0)上,则|MF|=x0+ ; 若点 M(x0,y0)在抛物线 若点 M(x0,y0)在抛物线 若点 M(x0,y0)在抛物线
2 y =-2px(p>0)上,则|MF|= -x0; 2 2 x =2py(p>0)上,则|MF|=y0+ ; 2 x2=-2py(p>0)上,则|MF|= -y0. 2
2

我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 ,解 题时方便、快捷.一般来说,凡涉及过焦点的直线与抛物线的交点问题, 利用焦半径公式来解较简单.

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例 3 已知点 A(3,2),点 M 到 F 离大 . (1)求点 M 的轨迹方程.
1 2

1 ,0 2

的距离比它到 y 轴的距

(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由.
1 2

思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M 到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M 的轨迹方程;将|MF|转化为 M 到准线的距离后利用三点共线求出点 M 的坐标.

1 2

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解:(1)由于动点 M 到 F 点M到F
1 ,0 2

1 ,0 2

的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动
1 2

1 2

的距离与它到直线 l:x=- 的距离相等.
2 1 2

由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程应为 y2=2px(p>0)的形式,而 = ,所以 p=1,2p=2,故轨迹方程为 y2=2x.

(2)如图,由于点 M 在抛物线上,所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距 离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当 A,M,N 三点共线 时,|MA|+|MN|取最小值,即|MA|+|MF|取最小值,这时 M 的纵坐标为 2, 可设 M(x0,2),代入抛物线方程得 x0=2,即 M(2,2).

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迁移与应用 抛物线 y2=2x 上的两点 A,B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 中点 的横坐标是 答案:2 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知点 A 到焦点 F 的距离等于 点 A 到准线的距离 x1+ ,即|AF|=x1+ =x1+ . 同理,|BF|=x2+ =x2+ . ∴ |AF|+|BF|=x1+x2+1=5. ∴ x1+x2=4,∴ 1
+2 =2. 2 2 1 2 2 2 1 2

.

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求解两点间距离的和的最小值时,可以利用抛物线的定义,“化曲折 为平直”,将两点间的距离的和转化为点到直线的距离,从而简化问题的 求解过程. 定义具有判定和性质的双重作用,在解决抛物线问题时,一定要善 于利用其定义解题.

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2

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5

1.动点 P(x,y)到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点 P 的 轨迹为( A.椭圆 C.双曲线的一支 答案:D 解析:由题意得点 P 到点(3,0)的距离等于点 P 到直线 x=-3 的距离,根据 抛物线定义知点 P 的轨迹是抛物线,点(3,0)为焦点,直线 x=-3 为准线. ). B.双曲线 D.抛物线

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5

2.已知某抛物线的准线方程为 x=-7,则该抛物线的标准方程为( A.x2=-28y C.y2=-28x B.y2=28x D.x2=28y
2

).

答案:B 解析:抛物线开口向右,方程为 y2=2px(p>0)的形式,又 =7,所以 2p=28,方 程为 y2=28x.

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5

3.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为 答案:1 1 8 1

.

解析:将 y=ax2 化为 x2= y,由于准线方程为 y=2,所以抛物线开口向 下, <0,且
1 4

=2,所以 a=- .

1 8

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5

4.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,-4); (2)焦点在直线 x+3y+15=0 上. 解:(1)∵ 点(3,-4)在第四象限,∴ 抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0)或 x2=-2p1y(p1>0). 把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y,得 (-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4), 即
16 9 2p= ,2p1= . 3 4

∴ 所求抛物线的方程为 y2= x 或 x2=- y.
(2)令 x=0,得 y=-5;令 y=0,得 x=-15. ∴ 抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴ 所求抛物线的标准方程为 x2=-20y 或 y2=-60x.

16 3

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3

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5.已知抛物线的方程为 x2=8y,F 是焦点,点 A(-2,4),在此抛物线上求一点 P,使|PF|+|PA|的值最小. 解:∵ (-2)2<8×4, ∴ 点 A(-2,4)在抛物线 x2=8y 的内部. 如图,设抛物线的准线为 l,过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q,过点 A 作 AB⊥l 于点 B.

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由抛物线的定义可知,|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅 当 P,Q,A 三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|. ∵ A(-2,4),∴ 不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点 P 的坐标为(-2,y0),代入 x2=8y 得 y0= . 故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点 P 的坐标为 -2,
1 2 1 2

.


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