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嘉定区2012届高三年级第一次质量调研数学试卷(文)


2011 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)
考生注意: 1.答题前,务必在答题纸上将学校、班级、姓名等信息填写清楚,并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷上的答案 一律无效. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若 z ? C ,且 (1 ? i) ? z ? 2i ,则 z ? ____________. 2.在等差数列 {an } 中, a5 ? 3 , a6 ? ?2 ,则 {an } 的前 10 项和 S10 ? ___________. 3.函数 f ( x) ?

x 1 ( x ? 0 )的反函数 f 1 x

?1

( x) ? ___________________.

4.方程 log2 (1 ? 2 x ) ? ?1 的解 x ? __________.

O B 5. 在直角坐标系 xOy 中, 为坐标原点, A(2 , 1) , (5 , y) , OA ? AB , y ? _____. 点 若 则
2 6.已知集合 A ? {x | x |? 3} , B ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0} ,则集合 {x x ? A 且 x ? A ? B } ?

___________________. 7.若某校老、中、青教师的人数分别为 80 、160 、 240 ,现要用分层抽样的方法抽取容量 为 60 的样本参加普通话测试,则应抽取的中年教师的人数为_____________. 8.若双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 , k

开始

则实数 k 的值为____________. 9.书架上有 3 本不同的数学书, 2 本不同的语文书, 2 本不同的英语书,将它们任意地排成一排,则左边 3 本都是数学书的概率为________(结果用分数表示) . 10.如图所示的算法框图,若输出 S 的值是 90 , 那么在判断框(1)处应填写的条件是___________.

S ?1 k ? 10
(1) 是

11.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足



输出 S 结束

R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的体积 V1 , V2 , V3 满足的
等量关系是_______________________.

S ? S?k k ? k ?1

12.已知函数 f ( x) ? x 2 ? cos x , x ? ?? 是____________________.

? ? ?? ?? ? , ? ,则满足 f ( x) ? f ? ? 的 x 的取值范围 ? 2 2? ?3?

x2 y2 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 ? 2 ? 1 a b ( a ? b ? 0 )被围于由 4 条直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的
矩形 ABCD 内,任取椭圆上一点 P ,若 OP ? m ? OA ? n ? OB (m、n? R ) ,则 m 、 n 满足的一个等式是_______________.

y B O C D A x

14.将正奇数排成下图所示的三角形数表:

1 3 ,5 7 , 9 ,11 13 , 15 , 17 , 19
?? 其中第 i 行第 j 个数记为 aij ( i 、 j ? N * ) 例如 a42 ? 15 , aij ? 2011, i ? j ? ____. , 若 则

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若集合 P ? {1 , 2 , 3 , 4} , Q ? {x 0 ? x ? 5 , x ? R} ,则“ x ? P ”是“ x ? Q ”的 ( ) A.充分非必要条件 C.充分必要条件

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

16.若 m ? n , p ? q ,且 ( p ? m)( p ? n) ? 0 , (q ? m)(q ? n) ? 0 ,则( A. m ? p ? n ? q C. m ? p ? q ? n B. p ? m ? q ? n D. p ? m ? n ? q ) y

17.设 0 ? a ? b ,则函数 y ?| x ? a | ( x ? b) 的图像大致形状是( y y y

O a

b x

O a

b x

O a

b x

O a

b x

A.

B.
2 2

C.

D.

18.若直线 ax ? by ? 4 ? 0 和圆 x ? y ? 4 没有公共点,则过点 (a , b) 的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的公共点个数为( 9 4 A. 0 B. 1

) C. 2 D.需根据 a , b 的取值来确定

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 如图,在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AB ? 2 , AC ? AA1 ? 4 , ?ABC ? 90? . (1)求三棱柱 ABC? A1 B1C1 的表面积 S ; (2)求异面直线 A1 B 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数表示) . A1 B1 C1

A B

C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 2 2 2

(1)求方程 f ( x) ? 0 的解集; (2)如果△ ABC 的三边 a , b , c 满足 b ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,求角 x 的取值范
2

围及此时函数 f (x) 的值域.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

y2 ? 1 ,点 A(m , 2m) 和点 B(n , ? 2n) (其中 m 和 n 均为正 4 数)是双曲线 C 的两条渐近线上的的两个动点,双曲线 C 上的点 P 满足 AP ? ? ? PB (其 ?1 ? 中 ? ? ? , 3? ) . ?2 ? (1)用 ? 的解析式表示 mn ; (2)求△ AOB ( O 为坐标原点)面积的取值范围.
已知双曲线 C 的方程为 x ?
2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

n (n? N *) .已知数列 {an } 前 n x1 ? x2 ? ? ? xn a 1 项的“倒平均数”为 ,记 c n ? n ( n ? N * ) . 2n ? 4 n ?1
定义 x1 , x2 ,?, xn 的“倒平均数”为 (1)比较 cn 与 c n ?1 的大小; (2)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ,对(1)中的数列 {cn } ,是否存在实数 ? ,使得当 x ? ? 时,

f ( x) ? cn 对任意 n ? N * 恒成立?若存在,求出最大的实数 ? ;若不存在,说明理由.
(3)设数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b2 ? b ( b ? R 且 b ? 0 ) bn ? bn?1 ? bn?2 ( n ? N * 且 ,

n ? 3 ) {bn } 是周期为 3 的周期数列,设 Tn 为 {bn } 前 n 项的“倒平均数” lim Tn . ,且 ,求
n ??

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值 1 .设

g ( x) . x (1)求 a 、 b 的值; f ( x) ?
(2)若不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围; (3)若 f | 2 ? 1 | ? k ?
x

?

?

2 ? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ?1|
x

2011 学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(理) 参考答案与评分标准
一.填空题 1. ?1 ? i ;2. 5 ;3. x ? 1 ( x ? ?1 ) ;4. ? 1 ;5. ? 5 ;6. {x 1 ? x ? 2} ;7. 20 ;

1 ;10. k ? 8 ,或 k ? 8 ,或 k ? 9 等;11. 3 V1 ? 2 ? 3 V2 ? 3 ? 3 V3 ; 35 1 ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 12. ?? , ? ? ? ? , ? ;13. m ? n ? ;14. 61 . 2 3 ? ? 3 2? ? 2
8. 8 ;9. 二.选择题 15.A;16.C;17.B;18.C. 三.解答题 19. (1)在△ ABC 中,因为 AB ? 2 , AC ? 4 ,

A1 B1

C1

?ABC ? 90? ,所以 BC ? 2 3 .????(1 分) 1 S ?ABC ? ? AB ? BC ? 2 3 .??????(1 分) 2 所以 S ? 2S ?ABC ? S侧 ? 2S ?ABC ? ( AB ? BC ? AC) ? AA 1

A

C

? 4 3 ? (2 ? 2 3 ? 4) ? 4 ? 24 ? 12 3 .????(3 分) B (2)连结 BC1 ,因为 AC ∥ A1C1 ,所以 ?BA C1 就是异面直线 A1 B 与 AC 所成的角(或 1
其补角) .????(1 分) 在△ A1 BC1 中, A1 B ? 2 5 , BC1 ? 2 7 , A1C1 ? 4 ,????(1 分) 由余弦定理, cos?BA C1 ? 1 所以 ?BA1C1 ? arccos

A1 B 2 ? A1C1 ? BC1 5 ,????(3 分) ? 2 ? A1 B ? A1C1 10
2 2

5 .????(1 分) 10

5 .??(1 分) 10 x? x x? 20. (1)解法一:由 f ( x) ? 0 ,得 cos ? sin ? 3 cos ? ? 0 ,??(1 分) 2? 2 2? x x ? 由 cos ? 0 ,得 ? k? ? , x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) .??(2 分) 2 2 2 x x x 由 sin ? 3 cos ? 0 ,得 tan ? ? 3 , 2 2 2 x ? 2? ? k? ? , x ? 2k? ? (k ?Z ) .????(2 分) 2 3 3 ? ? 2? 所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? 2k? ? ? 或x ? 2k? ? , k ? Z ? .??(1 分) 3 ? ?
即异面直线 A1 B 与 AC 所成角的大小为 arccos 解法二: f ( x) ?

1 3 ?? 3 ? ,??(2 分) sin x ? (cosx ? 1) ? sin? x ? ? ? 2 2 3? 2 ? ? ?

由 f ( x) ? 0 ,得 sin? x ?

??

3 ,????(1 分) ??? 3? 2

x?

?
3

? k? ? (?1) k

?
3

, k ? Z ,????(2 分)

3 ? (2)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B , a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 1 ? ,????(2 分) cos B ? ? 2 2ac 2ac ? ? ?? 所以 0 ? B ? ,????(1 分)由题意, x ? B ,所以 x ? ? 0 , ? .??(1 分) 3 ? 3?
2 2 2

所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? k? ? (?1) k

?

?

?

?

? , k ? Z ? .????(1 分) 3 ?

? ? ? 2? ? 1 3 ?? 3 ? , x ? ?? , ,??(2 分) f ( x) ? sin x ? (cosx ? 1) ? sin? x ? ? ? 3 ?3 3 ? 2 2 3? 2 ? ? ? 3 ? ? 1? .????(2 分) 所以此时函数 f (x) 的值域为 ? 3 , 2 ? ? 21. (1)由已知, A(m , 2m) , B(n , ? 2n) ( m ? 0 , n ? 0 ) ,设 P( x , y ) m ? ?n ? ?x ? 1 ? ? ? ? m ? ?n 2(m ? ?n) ? 由 AP ? ? ? PB ,得 ? ,故 P 点的坐标为 ? , ? ,?(3 分) 1? ? ? ? 1? ? ? y ? 2 m ? 2? n ? 1? ? ? 2 y (1 ? ? ) 2 2 ? 1 ,化简得, m n ? 将 P 点的坐标代入 x ? .????(3 分) 4 4? 4 (2)解法一:设 ?AOB ? 2? ,则 tan ? ? 2 ,所以 sin 2? ? .??(1 分) 5 1 又 | OA |? 5m , | OB |? 5n ,所以 S ?AOB ? ? | OA | ? | OB | ? sin 2? ? 2mn 2 2 1 (1 ? ? ) 1? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,????(3 分) 2 ? 2? ?? 1? 1? ?1 ? ?1 ? 记 S (? ) ? ? ? ? ? ? 1 ,? ? ? , 3? , S (? ) 在 ? ? ? , 1? 上是减函数, ? ? [1 , 3] 上 则 在 2? ?? ?2 ? ?2 ?
是增函数.????(2 分) 所以,当 ? ? 1 时, S (? ) 取最小值 2 ,当 ? ? 3 时, S (? ) 取最大值 所以△ AOB 面积的取值范围是 ? 2 , ? .????(2 分) 3

8 . 3

? ?

8? ?

解法二:因为 A(m , 2m) , B(n , ? 2n) ( m ? 0 , n ? 0 ) ,所以

S ?AOB

m 2m 1 1 1 m 2m 1 (1 ? ? ) 2 1 ? 1? ? 0 0 1?? ? 2m n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 , (4 分) 2 2 n ? 2n 2 ? 2? ?? n ? 2n 1

记 S (? ) ?

1? 1? ?1 ? ?1 ? 则 在 ? ? ? ? ? 1 ,? ? ? , 3? , S (? ) 在 ? ? ? , 1? 上是减函数, ? ? [1 , 3] 上 2? ?? ?2 ? ?2 ?

是增函数.????(2 分)

所以,当 ? ? 1 时, S (? ) 取最小值 2 ,当 ? ? 3 时, S (? ) 取最大值 所以△ AOB 面积的取值范围是 ? 2 , ? .????(2 分) 3

8 . 3

? ?

8? ?

22. (1)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,由题意得 所以 S n ? 2n 2 ? 4n ,??(1 分)

n 1 , ? S n 2n ? 4

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 4n ? 2 ,而 a1 也满足此式. 所以 an ? 4n ? 2 ( n ? N * ) .??(1 分) 所以 c n ?

4n ? 2 2 ? 4? ,??(1 分) n ?1 n ?1

cn ?1 ? cn ?

2 2 2 ? ? ? 0 ,因此 cn ? cn?1 .??(1 分) n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

(2)假设存在实数 ? ,使得当 x ? ? 时, f ( x) ? cn 对任意 n ? N * 恒成立, 即 ? x 2 ? 4 x ? cn 对任意 n ? N * 恒成立,??(2 分) 由(1)知数列 {cn } 是递增数列,所以只要 ? x 2 ? 4 x ? c1 ,即 x ? 4 x ? 3 ? 0 , 分) (2
2

解得 x ? 1 或 x ? 3 .??(1 分) 所以存在最大的实数 ? ? 1 ,使得当 x ? ? 时, f ( x) ? cn 对任意 n ? N * 恒成立.?(1 分) (3)由 b1 ? 1 , b2 ? b ,得 b3 ?| b ? 1 | ,??(1 分) ① 若 b ? 1 , 则 b3 ? b ? 1 , b4 ?| b3 ? b2 |? 1 , b5 ?| 2 ? b | , 因 为 {bn } 周 期 为 3 , 故 ,故 b5 ? b2 ? b ,所以 | 2 ? b |? b ,所以 2 ? b ? b , 2 ? b ? ?b (舍) b ? 1 . 此时, {bn } 为 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ,?.符合题意.??(1 分) ② 若 b ? 1 ,则 b3 ? 1 ? b , b4 ?| b3 ? b2 |?| 1 ? 2b | ,因为 {bn } 周期为 3 ,故 b4 ? b1 ? 1, 所以 | 1 ? 2b |? 1 ,即 1 ? 2b ? 1 或 1 ? 2b ? ?1 ,解得 b ? 0 或 b ? 1 ,均不合题意.?(1 分)

?2k , n ? 3k , ? 设数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,则对 n ? N * ,有 S n ? ?2k , n ? 3k ? 1 , ??(1 分) ?2k ? 1 , n ? 3k ? 2 . ?

? 2n ?3 , n ? 3k , ? 2 , n ? 3k , ?3 ? ? 3 ? 3n ? 2n ? 2 , n ? 3k ? 1 , 因此 lim Tn ? . 分) , n ? 3k ? 1 , 所以 Tn ? ? 即 Sn ? ? (2 n?? 2 ? 2n ? 2 ? 3 ? 3n ? 2n ? 1 , n ? 3k ? 2 . ? 2n ? 1 , n ? 3k ? 2 . ? 3 ? ?
23. (1) g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,??(1 分) 因为 a ? 0 ,所以 g (x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,故 ? (2)由已知可得 f ( x) ? x ?

? g (2) ? 1 ?a ? 1 ,解得 ? . 分) (3 ? g (3) ? 4 ?b ? 0

1 ? 2 ,??(1 分) x 1 x x x x 所以 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 可化为 2 ? x ? 2 ? k ? 2 ,????(1 分) 2
1 1 ?1 ? ? 1 ? 2 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , t ? x , k ? t ? 2t ? 1 , x ? [?1 , 1] , t ? ? , 2? , 令 则 因 故 2 2 ?2 ? ?2 ?
记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?
2

2

?1 ? , 1 ,故 h(t ) max ? 1,????(3 分) ?2 ? ?

所以 k 的取值范围是 (?? , 1] .????(1 分) (3)原方程可化为 | 2 ? 1 | ?(3k ? 2)? | 2 ? 1 | ?(2k ? 1) ? 0 ,??(1 分)
x 2 x

令 | 2 ? 1 |? t ,则 t ? (0 , ? ?) , t ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ? 0 有两个不同的实数解 t1 , t 2 ,
x 2

其中 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 ,或 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 .??(3 分) 记 h(t ) ? t 2 ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ,则 ?

?2k ? 1 ? 0 ① ?h(1) ? ?k ? 0

? ?2 k ? 1 ? 0 ? 或 ?h(1) ? ? k ? 0 ? 3k ? 2 ?0 ? ?1 2 ?



????(2 分)

解不等组①,得 k ? 0 ,而不等式组②无实数解.所以实数 k 的取值范围是 (0 , ? ?) . ??????(2 分)


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