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2018年高考数学专题复习状元笔记 9-7用向量方法证明平行与垂直(理)新人教A版(含解析)

9-7 用向量方法证明平行与垂直(理) 闯关密练特训 → → → → 1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为侧面 CC1D1D 的中心.若AE=zAA1+xAB+yAD,则 x+y+z 的值为( A .1 [答案] C → → → → → → 1 1 [解析] ∵AE=AD+DE=AD+ AA1+ AB. 2 2 1 1 ∴x+y+z=1+ + =2. 2 2 2.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使 l∥α 的可能是( A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,-2,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,-1) [答案] B [解析] 欲使 l∥α ,应有 n⊥a,∴n·a=0,故选 B. 3.二面角 α -l-β 等于 60°,A、B 是棱 l 上两点,AC、BD 分别在半平面 α 、β 内 ,AC⊥l,BD⊥l,且 AB =AC=a,BD=2a,则 CD 的长等于( A. 3a C.2a [答案] C [解析] 如图.∵二面角 α -l-β 等于 60°, → → ∴AC与BD夹角为 60°. ) B. 5a D.a ) 3 B. 2 C.2 3 D. 4 ) → → → → → → → 由题设知,CA⊥AB,AB⊥BD,|AB|=|AC|=a,| BD|=2a, → → → → → → → → → → → → → → 2 2 2 2 2 2 |CD| =|CA+AB+BD| =|CA| +|AB| +|BD| +2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=4a ,∴|CD|=2a. 4.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c =(4,5,x),若 a、b、c 三向量共面,则|c|=( A .5 C. 66 [答案] C [解析] ∵a、b、c 三向量共面, ∴存在实数 λ 、μ ,使 c=λ a+μ b, ∴(4,-5,x)=(2λ -μ ,-λ +4μ ,3λ -2μ ), 2λ -μ =4, ? ? ∴?-λ +4μ =5, ? ?3λ -2μ =x. 2 2 2 ) B.6 D. 41 ∴x=5, ∴|c|= 4 +5 +5 = 66. → → 5. 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a, 点 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点, 则AE·AF的值为( A .a 2 ) 1 2 B. a 2 D. 3 2 a 4 1 2 C. a 4 [答案] C → → → → → 1 1 [解析] AE·AF= (AB+AC)· AD 2 2 → → → → 1 = (AB·AD+AC·AD) 4 1 2 1 2 2 = (a cos60°+a cos60°)= a . 4 4 故选 C. → → → → → 1 1 2 6. 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角, 若点 P 满足BP= BA- BC+BD, 则|BP| 的值为( 2 2 ) A. C. 3 2 10- 2 4 B.2 D. 9 4 [答案] D [解析] 由题意,翻折后 AC=AB=BC, → → → → 1 1 2 2 ∴∠ABC=60°,∴|BP| =| BA- BC+BD| 2 2 → → → → → → → → → 1 1 1 1 1 1 2 2 2 = | BA | + | BC | + | BD | - BA · BC - BC · BD + BA · BD = + + 2 - ×1×1×cos60°-1× 2 cos45°+ 4 4 2 4 4 2 9 1× 2×cos45°= . 4 → → → → 2 2 7.(2012·河南六市联考)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB·BD=0,2AB +BD =4,若将其沿 BD 折成直二面 角 A-BD-C,则三棱锥 A-BCD 的外接球的体积为________. [答案] 4 π 3 [解析] 因为 AB⊥BD,二面角 A-BD-C 是直二面角,所以 AB⊥平面 BCD,∴AB⊥BC,AD⊥DC.故△ABC,△ADC → → 2 2 均为直角三角形.取 AC 的中点 M,则 MA=MC=MD=MB,故点 M 即为三棱锥 A-BCD 的外接球的球心.由 2AB +BD → → → 4 2 2 2 =4? AB +BD +CD =AC =4,∴AC=2,∴R=1.故所求球的体积为 V= π . 3 2 → → |AC| 1 8. (2011·金华模拟)已知点 A(4,1,3), B(2, -5,1), C 为线段 AB 上一点且 = , 则点 C 的坐标为________. → 3 |AB| 10 7 [答案] ( ,-1, ) 3 3 [解析] ∵C 为线段 AB 上一点, → → ∴存在实数 λ >0,使AC=λ AB, → → 又AB=(-2,-6,-2),∴AC=(-2λ ,-6λ ,-2λ ), → → |AC| 1 1 2 2 ∵ = ,∴λ = ,∴AC=(- ,-2,- ), → 3 3 3 3 |AB| 10 7 ∴C( ,-1, ). 3 3 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是棱 BC、DD1 上的点,如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________. [答案] 1 [解析] 以 D1 为原点,直线 D1A1、D1C1、D1D 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,1),B(1,1,1), B1(1,1,0), 设 DF=t,CE=k,则 D1F=1-t,∴F(0,0,1-t),E(k,1,1),要使 B1E⊥平面 ABF,易知 AB⊥B1E,故只要 B1E ⊥AF 即可, → → ∵AF=(-1,0,-t),B1E=(k-1

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