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高考数学复习点拨:数学思想方法在集合中的应用


数学思想方法在集合中的应用

集合中蕴含着丰富的数学思想方 法, 在解有关集合问题时若能充分运用这些 数学思想方法,常可使许多问题获得简洁、巧妙的解决.下面将集合中常见的数 学思想方法举例说明,以供参考. 一、数形结合的思想方法 数形结合思想, 是将抽象的数学语言与直观、 具体的图形结合起来, 通过 “数” 与形的相互转化,达到化难为易,化繁为简的目的.集合中常用的手段是数轴法 和韦恩图法. 例1 设集合M={ x ∣ ?2 ? x ? 5 } ,N={ x ∣ 2 ? t ? x ? 2t ? 1, t ? R } ,若

M N=N,求实数 t 的取值范围. 解:由M 成立; 当 N ? ? 时,由图中数轴所示,
?2 ? t ? 2t ? 1 1 ? 可得 ?2t ? 1 ? 5 ,解之得 ? t ? 2 . 3 ? 2 ? t ? ?2 ?
2-t 2t+1

1 N=N得N ? M,故当N= ? , 2t ? 1 ? 2 ? t 时, t ? , M 3

N?N

-2

-5

x

综上所述可知所求实数 t 的取值范围为{ t ∣ t ? 2} . 评注:应用数轴解答有 关集合问题时,应先画出数轴,然后依据题目的条件 将集合准确地在数轴上表示出来,再借助数轴的直观性,从而使抽象的集合问题 的解答过程简捷、巧妙、形象、 直观. 例2 已知集合 A、B、C 为非空集合,M=A∩C ,N=B∩C, P=M∪N,则 ( ) A.一定有C∩P=C, B.一定有C∩P=P, C.一定有C∩P=C∪P, D.一定有C∩ P= ? , 解:如图3,M=A∩C,N=B∩C, P=M∪N,则必有M∪N ? C, 即P ? C , ∴ C∩P=P, 选B.
A U M N C

B 图3

评注:对于涉及的集合个数、信息较多或对于未给元素的抽象集合,研究其关 系或运算时, 常可考虑用韦恩图求解.

二、分类讨论思想 分类讨论的思想是一种重 要的思想方法,也是一种基本的解题策略.就是化 整为零,各个击破的解题手段,使 问题变得条理清晰、层次分明、易于解决. 例 3 设 集 合 A = { y ∣ y ? x2 ? 2x ? 4, x ? R }, B = { y ∣ , y ? ax2 ? 2x ? 4a, x ? R } 若 A ? B , 求实数 a 的取值范围. 解:由 y ? x2 ? 2x ? 4 ? ( x ?1)2 ? 3 ? 3 ,得A= { y ∣ y ? 3 } . 在集合B中, y ? ax2 ? 2x ? 4a, x ? R . (1)当 a =0时, y =-2 x ,则B=R,满足 A ? B ;
1 1 (2)当 a ? 0时, y ? a ( x ? ) 2 ? 4a ? . a a 1 ① 若 a <0,则B={ y ∣ y ? 4a ? , a ? 0 } ,这与 A ? B 矛盾. a 1 1 ②若 a >0,则B={ y ∣ y ? 4a ? , a ? 0 } ,为使 A ? B ,只要 4a ? ? 3 a a 即可, 解得 0 ? a ? 1 .

综上所述,实数 a 的取值范围是{ a ∣ 0 ? a ? 1 } . 评注: 分类讨论是解决集合问题的常用方法.但在分类时,必须要统一标准, 简明扼要,做到不重不漏. 三、方程思想 方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想.就是从分析问题的数量关 系入手,把变量之间的关系用方程的关系来反映,然后通过 解方程或对方程进 行讨论的方法,使问题得到解决. 例4 已知全集U={1,2,4,6,8} ,集合A={8,m,n,p} ,

B={1,mn,mp,np} ,且A=B,求 CU A. 解:∵ A=B
① ②

?8 ? m ? n ? p ? 1 ? mn ? np ? mp ∴? ?8mnp ? 1? mn? mp? np
.由② 得 mnp=8 .又m、n、p ? U

,且m、n、p互异,故m、n、

p中不能有6,只能分别为1、 2、4(顺序不定) ,显然1、2、4也是①的 解. ∴A= {1,2,4,8} 即 CU A={6} .

评注:本题利用两个集合(有限集)的性质解集合相等的问题,其实质就是 用方程的 思想和方法,即从 A=B 中找出两个独立的等量关系,要注意排除与集 合元素互异性或题设相矛盾的情况. 四、划归与转化思想 在处理数学问题时,通过某种变换或划归把复杂问题简单化,把陌生问题转 化为熟悉问题,从而使得原问题得到解决. 例5 已知 U ? { ( x , y )∣ x ? R, y ? R } ,A={ ( x , y )∣ x ? y ? 1 } ,
y ?1} ,求 (CU B) 1? x

B= { ( x , y )∣

A

解:集合 U ? { ( x , y )∣ x ? R, y ? R }是平面上所有点的集合;集合A是 直线 x ? y ? 1 上的点的集合;集合B是直线 x ? y ? 1 上的点的集合,但要除去点 (1,0) ;而 CU B 表示点(1,0)以及平面上除了直线 x ? y ? 1 上的所有点 以外的所有点,所以 (CU B) 0) } . 评注:数学语言通常包括文字语言、符号语言、和图形语言等,在处理集合 问题时, 我们经常需要将这几种语言进行转化, 但在相互转化的过程中要注意转 化的等价性. , 即 (CU B) A 对应的元素为(1,0) (1, A ={


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