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2015-2016学年高中数学 1.4直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修4-1


1.4 直角三角形的射影定理

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理解射影定理,能应用射影定理解决简单几何问 题.

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题型一 线段长度的计算

例1 如图,D为△ABC中BC边上的一点,∠CAD= ∠B,若AD=6,AB=10,BD=8,求CD的长.
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分析:由勾股定理知∠ADB=90°,即AD⊥BC, 进一步可得∠BAC=90°,由射影定理求CD.
解析:在△ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,满 足AB2=AD2+BD2,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC. 又∠CAD=∠B,且∠C+∠CAD=90°,∴∠C+ ∠B=90°. ∴∠BAC=90°.∴在Rt△BAC中,AD⊥BC,由射 影定理可知,AD2=BD· CD, ∴62=8×CD,∴CD=. 点评:充分利用线段间的长度关系,得出AD⊥BC, 从而推出∠BAC=90°,于是为使用射影定理创造 了条件.

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?变式训练 1.在一直角三角形中,斜边上的高为6 cm,且把 5 斜边分成3∶2两段,则斜边上中线的长是 6 cm 2 ________. 2.如图,在△ABC中,D、F分别在AC、BC上, 且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.
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解析:在△ABC 中,设 AC 为 x,

∵AB⊥AC,AF⊥BC,又 FC=1,根据射影定理,得 AC2=FC· BC, 即 BC=x2.再由射影定理,得 AF2=BF·FC=(BC-FC)· FC, 即 AF2=x2-1. ∴AF= x2-1.在△BDC 中,过 D 作 DE⊥BC 于 E. ∵BD=DC=1,∴BE=EC. 又∵AF⊥BC,∴DE∥AF, DC·AF x2-1 DE DC ∴ = .∴DE= = . AF AC AC x
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在 Rt△DEC 中,∵DE2+EC2=DC2,
2 2 x ? x -1? ? ? 2 即? ? +? 2 ? =1 , ? x ? 2
2

x - 1 x4 ∴ 2 + =1,整理得 x6=4. x 4 ∴x= 2.∴AC= 2. 3 3

2

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题型二

证明关系

例2 如图所示,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.求 证:AE· BF· AB=CD3.

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分析:分别在 Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC 中运用射影定理, 再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明. 证明:∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴CD2=AD· BD,∴CD4=AD2·BD2. 又∵在 Rt△ADC 中,DE⊥AC,在 Rt△BDC 中,DF⊥BC, ∴AD2=AE· AC,BD2=BF· BC.∴CD4=AE· BF· AC· BC. 又∵AC· BC=AB· CD,∴CD4=AE·BF· AB· CD. ∴AE·BF·AB=CD3.
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?变式训练 3.如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上, DF⊥AC于F,DG⊥BE于G,求证AF· AC=BG· BE.
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分析:由题意知DF,DG分别是Rt△ACD和 Rt△BED斜边上的高,因此可利用直角三角形的 射影定理证明.
证明:∵CD垂直平分AB, ∴△ACD和△BED均为直角三角形,并且AD=DB, 又∵DF⊥AC,DG⊥BE,
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∴AD2=AF· AC,DB2=BG· BE,
∴AF· AC=BG· BE.

析疑难 提 能 力
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例 已知CD是△ABC的高,DE⊥CA于E, DF⊥CB于F,如图所示.求证 △CEF∽△CBA.

分析:利用射影定理,选择合适的目标式. 证明:在 Rt△ADC 中, 由射影定理得 CD2=CE·AC. 在 Rt△BCD 中.CD2=CF· BC, CE BC ∴CE·AC=CF· BC,则 = . CF AC 又∵∠ECF=∠BCA,∴△CEF∽△CBA. 点评:所需证的两个相似三角形△CEF 和△CBA 有一个公共角,故只需证 CE BC 两个对应边成比例,即 = ,这样证△CEF∽△CBA 的问题可转化为 CF AC 证 CE BC = ,即 CE· AC=CF·BC,然后利用射影定理找到中间量即可. CF AC

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易错点:准确理解射影定理

【疑难点辨析】由于射影定理得出的结论(等式)较多, 在解有复杂图形的问题时,有时因选不准题目所需的等 栏 式,而使问题复杂化. 目
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