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浙江省温州市2010届高三第一次适用性测试(数学文)温州一模

2010 年温州市高三第一次适应性测试

数学(文科)试题

2010.2

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页.满 分 150 分,考试时间 120 分钟.
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)

注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦

干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式:

球的表面积公式

棱柱的体积公式

S ? 4? R2 球的体积公式

V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高

V ? 4 ?R 3 3
其中 R 表示球的半径
棱锥的体积公式

棱台的体积公式

V

?

1 3

h(S1 ?

S1S2 ? S2 )

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,

V ? 1 Sh 3

h 表示棱台的高

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 如果事件 A, B 互斥,那么 P(A ? B) ? P(A) ? P(B)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.设U ? ?? 2?,210,,1
A.{1}

? ,A ?{?1,1} ,B ? ?0,1, 2? ,则 A CBU ?

B. ?

C.{?1}

D.{?1, 0}

(▲)

2.已知 a, b 是实数,则“ a ?1 且 b ? 1”是“ a ? b ? 2 ”的

(▲)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.设 z1

? 1? i ,z2

? 1? i( i 是虚数单位),则

z1 z2

?

z2 z1

?

A. ?i

B. i

C. 0

D.1

4.已知? ?(? ,? ),sin? ? 3 , 则 sin 2a 等于

2

5

A. 12 25

B. ? 12 25

C. 24 25

D. ? 24 25

(▲) (▲)

5.经过圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 ( ▲ )

A. x ? y ?1 ? 0 B. x ? y ?1 ? 0 C. x ? y ?1 ? 0 D. x ? y ?1 ? 0

6.已知直线 l ? 平面? ,直线 m // 平面? ,下列命题中正确的是

(▲)

A.? ? ? ? l ? m

B.? ? ? ? l // m

C. l ? m ?? // ?

D. l // m ? ? ? ?

7.已知 a 是实数,则函数 f (x) ? acos ax 的图像可能是

(▲)

A.

B.

C.

D.

8.已知 a ? 2, b ? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则| a ? b |的值为 ( ▲ )

A.4

B. 2 7

C. 2 3

D.6

9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 ( ▲ )

A. 2

B. ? 1 2

C. ?3

D. 1 3

10.已知

F1

(?c,0),

F2

(c,0)

为椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1的两个焦点,

P 为椭圆上一点且 PF1 ? PF2 ? c2 ,则此椭圆离心率的

取值范围是

(▲)

A.[ 3 ,1) B.[1 , 1] C.[ 3 , 2 ] D. (0, 2 ]

3

32

32

2

非选择题部分(共 100 分)

第 9 题图

注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11.已知 y ? f (x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? 4x 则 f (? 1) ? ▲

.

2

12.为了了解某学校学生的身体发育情况,

抽查了该校 100 名高中男生的体重情

况,根据所得数据画出样本的频率分

布直方图如右图所示.根据此图,估

计该校 2000 名高中男生中体重大于 70 公斤的人数大约为 ▲ .

?x ? y ? 2

13.若实数

x,y

满足不等式组

? ?

x?2

则 2 x ? y 的最大值是



.

?? y ? 2

14.设等差数列{an }的公差 d ?1,前 n 项和为 Sn , S5 ?15 ,则 S10 ? ▲

.

15.随着国际油价的上涨,出租车运营成本相应上升,为进一步优化我市出租车运价结

构,市发改委决定在市区实施油运联动机制,客运出租汽车运价从 2010 年 1 月 15

日起调整方案如下:

起步价 4 公里——10 公里 10 公里以上 等候费 燃油附加费 夜间行驶费 计费单位

调价前 4 公里内 10 元 每公里 1.5 元 每公里 2.25 元 无 无 加收 20%夜间补贴 1 公里为单位,保留到角

调价后 4 公里内 10 元 每公里 2 元 每公里 2.5 元 等候累计每满 5 分钟收 1 元 每车次 1 元 加收 20%夜间补贴 1 公里为单位,保留到元

若某学生周五下午从学校坐出租车回家,距离为 11.8 公里, 期间等候时间累计共 8 分钟,则调价前后差 ▲ 元. 16.若某几何体的三视图如图所示,均是直角边长为 1 的等腰
直角三角形,则此几何体的体积是 ▲ 17.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选
的课程中恰有 1 门相同的概率为 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
18.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的 边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 a cos B ? bcos A ? 2c cosC
(I)求角 C 的值;
(II)若 c=2,求 ?ABC 面积的最大值.

第 16 题图

19(.本题满分 14 分)已知数列 an ? 2n ?1 ,数列{bn }的前 n 项和为Tn ,满足Tn ? 1 ? bn (I)求{bn }的通项公式;

(II)试写出一个

m,使得

a

m

1 ?

9



{bn

}

中的项.

20.(本题满分 14 分)如图,直角△ BCD 所在的平面垂直于正△ ABC 所在的平面,PA⊥

平面 ABC, DC ? BC ? 2PA, E 、F 分别为 DB、CB 的中点,

D

(I)证明:AE⊥BC;

(II)求直线 PF 与平面 BCD 所成的角.

E

P C

F

A

B

第 20 题图

21.(本题满分 15 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点为 F(0,1),且过点 A(2, t),
(I)求 t 的值; (II)若点 P、Q 是抛物线 C 上两动点,且直线 AP 与 AQ 的斜率互为相反数,试问
直线 PQ 的斜率是否为定值,若是,求出这个值;若不是,请说明理由.

22.(本题满分 15 分)已知函数 f (x) ? a x2 ? ln x , 2
(I) 若 a ?1,证明 f (x) 没有零点;
(II)若 f (x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. 2

2010 年温州市高三第一次适应性测试

数学(文科)试题参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

C

A

C

D

A

D

C

B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分)

2010.2

9 10

B

C

11.-2, 12.600, 13.6, 14.55,

15.5.5,

16. 1 , 17. 2

6

3

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分)

18.(本小题满分14 分)

解:(I)由题意得 sin Acos B ?sin Bcos A ? 2sinCcosC ………………………………………3



即 sinC ? 2sinC cosC ,



cos C ? 1

,





2

C?? 3

…………………………………………………………………6 分

(II)cosC ? 1 ? a2 ? b2 ? 4 , …………………………………………………………………8 2 2ab



所以 ab ? a2 ? b2 ? 4 ? 2ab ? 4 ,



ab ? 4 , ………………………………………………………………………………..

…..12 分

1

43

S?ABC

?

absin C 2

?

? 2

2

?

3

14 分

……………………………………………………………

19.(本小题满分14 分)

解:(I)当

n

? 1时,? b1

?

T1

?1?

b1

? b1

?

1 2

…………………………………………………2



当 n ? 2 时,?Tn ? 1? bn ?Tn?1 ? 1? bn?1

两式相减得:bn

? bn?1

? bn

,即:bn

?

1 2

bn?1 …………………………………………………7



故{

bn

}为首项和公比均为

1 2

的等比数列,

? bn

?

(1)n 2

………………………………………9



( II ) m ? 4 ( 其 它 形 如 m ? 2n ? 4(n ? 3, n ? N) 的 数 均

可) ……………………………………14 分

20.(本小题满分14 分)

证明:(I)取 BC 的中点 O,连接 EO,AO,

EO//DC





EO⊥BC …………………………………………………………………….…2 分 因 为 ?ABC 为 等 边 三 角 形 , 所 以

BC⊥AO ……………………………………………….…4 分





BC⊥



AEO,



BC⊥AE…………………………………………………………………6 分

(II)连接 PE,EF,因为面 BCD⊥面 ABC,DC⊥BC

所以 DC⊥面 ABC,而 EF

1
DC

2

所以 EF PA,故四边形 APEF 为矩形 ………………………………………………………9 分

易证 PE⊥面 BCD,
则 ? PFE 为 PF 与面 DBC 所成的角,…………………………………………………… 12


在 Rt?PEF 中,因为 PE=AF= 3 BC, EF= 1 DC = 1 BC,

2

2

2



? PFE=60O…………………………………………………………………………………..14 分

21.(本小题满分15 分) 解:(I)由条件得抛物线方程为 x2 = 4 y ……………………………………………………3



∴把点 A 代入 x2 = 4 y , 得?t ?1

… ……………………………………6



(II)设直线 AP 的斜率为 k ,AQ 的斜率为 ? k ,

则直线 AP 的方程为 y ?1 ? k(x ? 2), 即:y ? kx ? (2k ?1)

联立方程: ì??í??? y =

kx- (2k x2 = 4y

1)

消去 y,得:x2 ? 4kx ? 4(2k ?1) ? 0

…………………………………………9

分 ? xA ? x p ? 4(2k ?1) ? x p ? 2(2k ?1) ? 4k ? 2

y p ? kx p ? (2k ?1) ? 4k 2 ? 4k ?1

同理,得 xq ? ?4k ? 2, yQ ? 4k 2 ? 4k ? 1………………………………………………12


k PQ

?

yq ? yP xQ ? x p

?

8k ? 8k

? ?1 是一个与

k 无关的定值。………………………………………15

分 22.(本小题满分 15 分)

解:(I) a ? 1时f (x) ? 1 x2 ? ln x (x ? 0) 2

f '(x) ? x ? 1 x


…………………………………………………………………………………3

由 f '(x) ? 0 得 x ?1

可得 f (x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增……………………………5





f (x) 的最小值

f min (x)

?

f

(1)

?

1 2

?

0 ,所以

f

(x)

没有零点………………………………7



(II)方法一:

1 ax2 ? 1 f '(x) ? ax ? ?
xx
9分

………………………………………………………………

(i)若 a ? 0 时,令 f ' (x) ? 0 ,则 x ?

1 a

,故

f

'

(x)



? ???

0,

1 a

? ???

上单调递减,在

? ???

1 a

,

??

? ???

上单调递增,故 f (x) 在 ?0, ??? 上的最小值为 f ( 1 ) ? 1 ? 1 ln a , a 22

要使解得 f (x) ? 1 恒成立,只需 1 ? 1 ln a ? 1 ,得 a ?1 …………………………………12

2

22

2



(ii)若 a ? 0 , f '(x) ? 0 恒成立, f (x) 在 ?0, ??? 是单调递减, f (1) ? a ? 0 , 2

故不可能 f (x) ? 1 恒成 2
立…………………………………………………………………….14 分

综上所述,

a ?1……………………………………………………………………………….15 分

方法二:由

f

(x)

?

1 2

恒成立,得 a

?

1? 2 ln x2

x

恒成

立………………………………………….9 分

设 ?(x) ? 1? 2ln x (x ? 0) ,则

x2

? '(x)

?

?4 ln x3

x

……………………………………………….11 分

由?' (x) ? 0 得 x ?1 故?(x) 的最大值为

?max(x) ? ?(1) ? 1………………………….13 分 要使 a ? ?(x) 恒成立,只需
a ?1 …………………………………………………………….15 分


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