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高考数学数列复习


高考数学总复习(第二轮)
第2讲 数列

一、基本知识归纳

1、一般数列
[数列的通项公式]
?a1 ? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)
? a1 + a 2 + a3 + … + a n

[数列的前n项和] S n

2、等差数列
[等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法] 1 定义法:对于数列{an},若 a n +1 ? a n ? d 列 2a n +1 ? a n + a n + 2 2等差中项:对于数列{an} ,若 列 ,则数列是等差数 则数列是等差数

[等差数列的通项公式] 如果等差数列的首项是a1 ,公差是d,
则等差数列的通项为 a n ? a1 + (n ? 1)d [说明]该公式整理后an是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1.

n(a1 + a n ) Sn ? 2

2.

n(n ? 1) S n ? na1 + d 2

[说明]对于公式2整理后an是关于n 的没有常数项的二次函数

[等差中项] 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等

a+b 差中项。即:2A=a+b 或 A ? 2
[说明]:在一个等差数列中,从第2项起,每一项 (有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与 后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是 与其等距离的前后两项的等差中项

[等差数列的性质]
1.等差数列任意两项间的关系:如果 a m是等差数列 的第 项,a n 是等差数列的第 项,且 m ? n, 公差为 d ,则有 a n ? a m + (n ? m)d

m

n

2.对于等差数列 ?a n ? ,若 n + m ? p + q , 则 an + am ? a p + aq

3.若数列 ?a n ?是等差数列, S n 是其前n项的和, * ,那么 S S S k , 2 k ? S k , 3 k ? S 2 k 成等差数列 k?N

4.若等差数列{an}的前2n-1项的和为 S 2 n ?1 ,等差 ' ?bn ?的前2n-1 项的和为 S 2 n ?1 , 数列

a n S 2n?1 ? ' 则 bn S 2n?1

5.设数列 a n 是等差数列,S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项的和,S n 是前n项的和,则有如下性质:

? ?

1.前n项的和 S n ? S 奇 + S 偶
2.当n为偶数时,偶 ? S奇 S
n ? d ,其中d为公差 2

n ?1 3.当n为奇数时,则 S 奇 ? S偶 ? a中, 偶 ? S a中 , 2 S奇 n + 1 n +1 S奇 ? a中 , ? , (其中 a中 是中间一项) 2
S偶 n ?1

3、等比数列
[等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个 常数叫做等比数列的公比,公差通常用字母q表示(q≠0)。
[等比数列的判定方法]

a n +1 1. 定义法:对于数列{an} ,若 ? q(q ? 0) ,则数列 an {a }是等比数列。
2 a 2.等比中项:对于数列{an} ,若n a n + 2 ? a n +1 ,则数列 {an}是等比数列
n

[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。 G b 也就是,如果G是a,b的等比中项,那么 ? , a G 即 G 2 ? ab 。
[等比数列的通项公式] 如果等比数列{an}的首项是a1 ,公比是q,则等比数列的通 a n ? a1 q n ?1 项为

[等比数列的前n项和]
a1 (1 ? q n ) ①S n ? (q ? 1) 1? q

② S n ? a1 ? a n q (q ? 1) ③ S n ? na1 1? q 当 q ?1 时

[等比数列的性质] 1.等比数列任意两项间的关系:如果 a m 是等比数 a 列的第m项, n 是等比数列的第n项,且m ? n , 公比为q,则有 a n ? a m q n?m
2.对于等比数列,若 n + m ? u + v,则 a n ? a m ? au ? av 3.若数列{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,那 么 S k , S 2k ? S k ,S 3k ? S 2k 成等比数列

二、基本方法总结
1. 求数列通项的基本方法

(1)求等差,等比数列的通项
? a1 , (n ? 1) (2)求一般数列的通项 S n ? a n ? ? ?S n ? S n?1 , (n ? 2)

(3)求递推数列的通项
1。通过适当化归,转换成等比数列或等差数列

an+1 ? 3an + 2an ?1 ? 0

→ →

an+1 ? an ? 2(an ? an?1 )

an ?1 1? 0, a ? 1 an ? , a1 ? 1 ? an ? 12 3 3an ?1 + 1 an an ?1 4
2。通过选择适当的形式,引入待定的参数,再确定参数的值

cn ? bcn?1 + m



cn ? ? ? b(cn?1 ? ? )

3

4

5。由题设条件求出数列的前几项,然后归纳出一般表达 式,形成猜想,然后用数学归纳法加以证明,得出正确的 结论
3 已知数列中a1 = 5

an an ,+1 ? 2a + 1 n

a (1) 计算 3 , a4 (2)猜想通项公式,并且数学归纳法证明

2、数列求和的基本方法
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方 法. n(a1 + an ) n(n ? 1) S ? na1 + d 1、等差数列求和公式:n ? 2 2
(q ? 1) ? na1 ? S 2、等比数列求和公式:n ? ? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q 1? q ?

3、 ? k ? 1 n(n + 1) Sn ? 2 k ?1

n

1 S n ? ? k 2 ? n(n + 1)( 2n + 1) 6 k ?1

n

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用 的方法,这种方法主要用于求数列{bn· cn}的前n 项和,其中{ bn }、{ cn }分别是等差数列和等比数 列

S n ? b1c1 + b2 c2 + ? + bn?1cn?1 + bn cn qSn ? b1c2 + ?+ bn?2cn?1 + bn?1cn + bn cn+1
所以有

(1 ? q) S n ? b1c1 + (c2 + c3 + ??cn )d ? bn cn+1

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法 ,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它 与原数列相加,就可以得到n个 (a1 + an )
C + 3C + 5C + ? ? ? + (2n + 1)C ? (n + 1)2
0 n 1 n 2 n n n n

sin 2 1? + sin 2 2? + sin 2 3? + ? ? ? + sin 2 88? + sin 2 89?

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这 类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和,再将其合并即可
1 1 1 求数列的前n项和:1 + 1, a + 4, a 2 + 7,? ? ?, a n?1 + 3n ? 2

求数列{(n+1)(2n+1)}的前n项和

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂 项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然 后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和 的目的
1 1 1 an ? ? ? n(n + 1) n n + 1
an ? 1 n + n +1 ? n +1 ? n

1 1 1 1 an ? ? ( ? ) ( An + B)( An + C ) C ? B An + B An + C

1 1 1 1 an ? ? [ ? ] n(n ? 1)( n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)( n + 2)

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就 具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时, 可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.

求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值. · ·

a1 数列{an}: ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an+ 2 ? an+1 ? an ,求S2005

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数 列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前n项和

1 + 11 + 111 +... + 111..111
n个1

1 1 k 111… 1 ? ×999.. 9 ? (10 ? 1) 9 9 k个1 k个9

三、基本问题练习
例1

若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”. 设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一 定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要 求的组号) ①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1 的整数, Sn为{an}的前n项和.

(①、④)

例2 定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后 一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列, 且 a1 ? 2 ,公和为5,这个数列的前21项和的值为 _____ 这个数列的前n项和的计算公式为_ _

5 当n为偶数时, S n ? n 2 5 1 当n为奇数时, S ? n ? n 2 2

例3

例4

例5 已知数列{an}的前n项和Sn满足: Sn=2an +(-1)n, ⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3;
⑵求数列{an}的通项公式;

例6

已知数列 {a n }中a1 ? 1 ,且a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……(I)求a3, a5;(II)求{ an}的通项公式
(Ⅱ) a2k+1= a2k+3k= a2k-1 +(-1)k +3k 所以 a2k+1- a2k-1 =(-1)k +3k 同理 a2k-1- a2k-3 =(-1)k-1 +3k-1 …… a3- a1= 3+(-1)

所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)= (3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)]
1 3 3 k +1 1 由此得a2k+1-a1= (3k-1)+ 2 [(-1)k-1],于是a2k+1= + (?1) k ? 1. 2 2 2

{an}的通项公式(略)

四、综合问题选讲

在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的特点.数列 作为高中数学的重要内容,不仅本身成为高考考查的重点, 而且常常与不等式、函数、解析几何、极限等知识综合在 一起,成为高考命题的热点

1 1 4 x1 + 4 x2 + 4 y1 + y 2 ? f ? x1 ? + f ? x 2 ? ? x1 + x2 ? x1 x2 4 +2 4 +2 4 +2 4 +2

?

??

?

4 x1 + 4 x2 + 4 4 x1 + 4 x2 + 4 1 ? x +x ? ? x1 x2 x1 x2 1 2 4 +24 +4 +4 24 +4 +4 2

?

?

?

?

?1? Sm ? f ? ? + ? m?

?2? f ? ? +?+ ? m?

? m ? 2? f? ?+ ? m ?

? m ? 1? f? ?+ ? m ?

?m? f? ? ?m?

?n? ?m?n? 1 f 由(Ⅰ)可知: ? m ? + f ? m ? ? 2 ? ? ? ?

恒成立

例9


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