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www.cao39.com:高中数学第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2课件新人教A版_图文

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主题1

离散型随机变量的分布列

1.在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中,用X表示
骰子向上一面的点数,试写出X的所有可能取值的结果 以及相应的概率.

提示:X的所有可能取值的结果为1,2,3,4,5,6. P(1)= 1 ,P(2)= 1 ,P(3)= 1 ,P(4)= 1 ,P(5)= 1 , 6 6 6 6 6 P(6)= . 1 6

2.试将X的每一个取值及相应的概率以表格的形式表示 出来. 提示:

X P

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

3.根据问题2,想一想对一般的离散型随机变量的分布 列有哪些性质? 提示:由概率的意义和事件的关系,可知:①pi≥0,i=1, 2,…,n;②

?
i ?1

n

pi=1.

结论: 离散型随机变量的分布列 (1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1, x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率

P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的

_______. 分布列 (2)性质:①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②

?
i ?1

n

pi=__. 1

【微思考】 1.概率分布列 X x1 x2 … xi … xn

… … P p1 p2 pi pn 表格中的x1,x2,…,xn及p1,p2,…,pn分别表示什么含义?

提示:表格中x1,x2,…,xn表示离散型随机变量X可能取 的不同值,p1,p2,…,pn表示X取每一个值xi(i=1,2,…,n)

的概率P(X=xi)=pi.

2.X取值为x1,x2,…,xn时所对应的事件是否互斥? 提示:由随机变量的概念知随机变量X取值x1,x2,…,xn

是不能同时发生的,故随机变量X取值为x1,x2,…,xn时
所对应事件是互斥的.

主题2

两类特殊的分布

1.如果一个随机试验中,X只有两种可能的结果1与0,设

结果为1的事件发生的概率为p,试写X的概率分布列.
提示:根据分布列的性质,另一个事件的概率为1-p,所

以,随机变量X的分布列为:

X P

0 1-p

1 p

2.在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件 次品,试写出P(X=k)和随机变量X的分布列.

提示:P(X=k)=

C C 随机变量X的分布列为 C :

k M

n- k N-M n N

,k=0,1,2,…,m.

其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.

结论: 两类特殊分布列

(1)两点分布列
若随机变量X的分布列为

X P

0 1-p

1 p

则称该分布列为_____ 两点 分布列. 若随机变量X的分布列为_____分布列,就称X服从_____ 两点 两点 分布,称p=P(X=1)为_____概率. 成功

(2)超几何分布列 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰

有K件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=

C C C k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈
N*,则称分布列

k M

n- k N-M n N

,

为超几何分布列,随机变量X服从超几何分布.

【微思考】 1.两点分布中随机变量X的取值有几个,分别是什么?其

概率是多少?
提示:随机变量X的取值有2个,分别是0,1,它们的概率

是1-p与p.

2.在超几何分布的模型中,“任取n件”应如何理解? 提示:应理解为不放回地一次取一件,连续取n次.

【预习自测】 1.设随机变量X的分布列为

则p等于
A.0

(
B.

)
C. D.不确定

1 6

1 3

【解析】选B.由分布列的性质可知 1 + 1 +p=1,解得 2 3 p= 1 . 6

2.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)= 1 (k=1,2,…), 2k 则P(2<X≤4)= ( )

1 A. 16

1 B. 4

3 C. 16

5 D. 16

【解析】选C.P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)

1 1 3 ? 3? 4? . 2 2 16

3.下列事件: ①抽取的彩券是否中奖;

②买回的一件产品是否为正品;
③投篮是否命中.

可以用两点分布列来研究的是________.

【解析】抽取的彩券只有中奖与不中奖两种结果,所以 可用两点分布来研究;买回的一件产品只有正品与次品

两种不同的结果,所以可用两点分布来研究;投篮只有
命中与没有命中两种结果,所以可用两点分布来研究.

答案:①②③

4.将一枚硬币扔三次,设X为正面向上的次数,则P(0< X<3)=__________.

【解析】P(0<X<3)=1-P(X=0)-P(X=3)=1答案:0.75

1 1 ? 3 3 2 2

=0.75.

5.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=

?0,两球全红, 则P(X=0)=______,P(X=1)=______. ? ?1,两球非全红,

2 C 【解析】显然,P(X=0)= 6 3 ? , 2 C11 11 所以P(X=1)= 3 8 1? ? . 11 11 答案: 3 8 11 11

6.从某医院的3名医生,2名护士中随机选派2人参加雅 安抗震救灾,设其中医生的人数为X,写出随机变量X的

分布列.

【解析】依题意可知,随机变量X服从超几何分布,所以 P(X=k)=

P(X=0)=

CC C

k 3

CC 1 = 10 =0.6, P(X=1)= C
CC 6 = P(X=2)= C 10 =0.3.
2 0 C3 C2 3 = 2 C5 10 1 1 3 2 2 5

2? k 2 2 5 0 2 3 2 2 5

(k=0,1,2).

=0.1,

(或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-0.1-0.6=0.3).

故随机变量X的分布列为

X P

0 0.1

1 0.6

2 0.3

类型一

求离散型随机变量的分布列

【典例1】同时掷两枚质地均匀的骰子,观察朝上一面 出现的点数,求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列. 【解题指南】根据所掷两枚骰子朝上一面出现的点数 确定X所有可能的取值,再利用古典概型知识求出X取每 一个值的概率,进而写出分布列.

【解析】易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的 点数有36种等可能的情况,X的可能取值为1,2,3,4,5,6,

如下表: X的值 出现的点数 1 (1,1) 2 (2,2),(2,1),(1,2) 3 (3,3),(3,2),(3,1),(2,3),(1,3) 情况数 1 3 5

X的值 4 5 6

出现的点数 (4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3, 4),(2,4),(1,4) (5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5, 1),(4,5),(3,5),(2,5),(1,5) (6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6, 2),(6,1),(5,6),(4,6),(3,6), (2,6),(1,6)

情况数 7 9 11

由古典概型可知X的分布列为

【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n)以

及X取每个值的意义.
(2)求出取各值的概率P(X=xi)=pi.

(3)列成表格得到分布列.

【巩固训练】一袋中装有6个同样大小的小球,编号分 别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出

球的最大号码,求X的分布列.

【解析】随机变量X的可能取值为3,4,5,6. 从袋中随机取出3个球,包含的基本事件总数为

件“X=3”包含的基本事件总数为

;
;

C3 6

,事

C2 2 事件“X=4”包含的基本事件总数为

2 C 事件“X=5”包含的基本事件总数为 3 ;

C2 4

事件“X=6”包含的基本事件总数为 C 2 .
5

从而有P(X=3)= C2

P(X=4)=

2 2 4 3 3 3 所以随机变量 X的分布列如表 6 : 6

C 3 = , C 20

1 = , C 20

2 3 6 P(X=5)=

C 3 = , C 10

P(X=6)=

2 C5 1 = . 3 C6 2

【补偿训练】从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中, 等可能地取出一个,记所取出的非空子集的元素个数为

ξ ,求ξ 的分布列.

【解析】依题意,ξ的所有可能值为1,2,3,4,5. 又P(ξ=1)= C1 P(ξ=2)= C2 10 5 5 5 ? , ? , P(ξ=3)= 331 31 P(ξ=4)= 431 31P(ξ=5)= 5 C5 5 C5 10 C5 1 ? , ? , ? , 31 31 故ξ的分布列为 : 31 31 31 31

类型二

分布列的性质及应用

【典例2】(1)(2017·沈阳高二检测)设随机变量ξ 的

分布为P(ξ =k)=m· ,k=1,2,3,则m的值为 2k ( ) 3

(

)

17 A. 18

27 B. 38

17 C. 19

27 D. 19

(2)(2016·衡水高二检测)设随机变量ξ 等可能取值 1,2,3,…,n,如果P(3<ξ ≤5)=0.2,那么 ( )

A.n=4

B.n=8

C.n=10

D.n=20

【解题指南】(1)利用各个概率之和等于1的性质可求m 的值.

(2)注意P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5),又ξ是等可能
取值,所以P(ξ=k)=

1 n

(k=1,2,…,n).

【解析】(1)选B.因为m· 2 2 2 2 3 [ ? ( ) ? ( ) ]=1, 3 3 3 所以 27 m= . 38 (2)选C.因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)=

1 2,…,n),所以P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=n
所以n=10.

(k=1,
=0.2,

2 n

【延伸探究】 1.典例(2)中条件“P(3<ξ ≤5)=0.2”改为“P(ξ <5)

=0.2”,结果如何?

【解析】因为ξ 是等可能取值,所以P(ξ =k)= 1 (k=1, n 2,…,n),所以

P(ξ <5)=P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)+P(ξ =4)=
所以n=20.

4 n

=0.2,

2.典例(2)条件不变,试写出其概率分布列. 【解析】因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)= 1 (k=1,

2,…,n),所以P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)= n =0.2, 2 n 所以n=10.所以P(ξ=k)= . 1 10

分布列为

【方法总结】分布列的基本性质 若随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,取这些值的概率为 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则①pi≥0,i=1,2,…,n.②p1 +p2+…+pn=1.此外,利用分布列的性质检验所求分布列 的正误,是非常重要的思想方法.③一般地,离散型随机 变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各 个值的概率之和.

【补偿训练】设随机变量X的分布列P (X ? k ) =ak(k=1, 5 2,3,4,5).

(1)求常数a的值.
(2)求P 的值.

3 (X ? ) 5

【解析】由题意得X的分布列为:

(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a= 1 . 15 (2) 3 3 4 5 P(X ? ) ? P(X ? ) ? P(X ? ) ? P(X ? ) 5 5 5 5 3 4 5 4 ? ? ? ? ; 或15 15 15 5 3 2 1 2 1 2 4 P(X ? ) ? 1 ? P(X ? ) ? 1 ? [P(X ? ) ? P(X ? )] ? 1 ? ( ? ) ? . 5 5 5 5 15 15 5

类型三

两类特殊的分布及应用

【典例3】在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有

一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3
张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.

(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的 分布列.

(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,设顾客乙获得的
奖品总价值Y元,求Y的分布列.

【解题指南】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情 况,符合两点分布.

(2)结合超几何分布的概率分布特点和题意即可写出 Y
的分布列.

【解析】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况, 故X的取值只有0和1两种情况.

P(X=1)= C1 4 2 则 4 ? ? , 1 C10 10 5 P(X=0)=1-P(X=1)=12 3 ? . 5 5

因此X的分布列为

(2)Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且
2 1 1 P(Y=0)= C0 P(Y=10)= C C 15 1 18 2 4 6 3C 6 ? ? , ? ? , 2 2 C10 45 3 C10 45 5 P(Y=20)= 2 0 P(Y=50)= 1 1 C1C6 6 2 C3 C6 3 1 ? ? , ? ? , 2 2 C10 45 15 P(Y=60)= C10 45 15 1 C1 C 3 1 1 3 ? ? . 2 C10 45 15

因此随机变量Y的分布列为

【方法总结】求解超几何分布问题的注意事项 (1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽

到的次品数服从超几何分布.

k n ?k C (2)在超几何分布公式中,P(X=k)= M C N?M ,k=0,1,2,…, Cn N m,其中,m=min{M,n}.这里的N是产品总数,M是产品中的

次品数,n是抽样的样品数,且0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤
M,0≤n-k≤N-M.

(3)如果随机变量X服从超几何分布,只要代入公式即 可求得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值.

(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法
表示.

k n-k C 【拓展延伸】P(X=k)= M C N-M 的推导 Cn N 从N件产品中任取n件产品的基本事件有

Cn N {X=k}表示“在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其
中恰有k件次品,则必有(n-k)件正品,因此事件{X=k}

个;事件

中含有
n-k 可知P(X=k)= Ck C M N-M

个基本事件,由古典概型概率计算公式

n-k Ck C M N-M . n CN

【巩固训练】(2017·唐山高二检测)在掷骰子试验中, 有6种可能结果,如果我们只关心出现的点数是否小于

4,问如何定义随机变量η ,才能使η 满足两点分布,并
求其分布列.

【解析】随机变量η可以定义为:

?1, 掷出点数小于4, 显然η只取0,1两个值. ?=? 0, 掷出点数不小于4. ? 且P(η=1)= 故η的分布列为 3 1 = , 6 2

【补偿训练】在一次英语口语考试中,有备选的10道 试题,已知某考生能答对其中的8道,规定每次考试都

从备选题中任选3题进行测试,至少答对两题才算合格,
求该考生答对试题数X的分布列.

【解析】由题意,X的可能取值为1,2,3.
2 C1 C 8 1 8 2 P ? X ? 1? ? 3 ? ? ; C10 120 15 2 1 C8 C2 56 7 P ? X ? 2? ? 3 ? ? ; C10 120 15 3 0 C8 C2 56 7 P ? X ? 3? ? 3 ? ? . C10 120 15

所以X的分布列为

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 离散型随机变量分布列的三种形式 (1)表格法:能直观地得到随机变量取各个不同值的概 率. (2)解析式法:能精确表示X取各个不同值的概率,便于 用数学方法进行研究. (3)图象法:直观表示X取各个不同值的概率.


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