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2016年北京市海淀区高三期末练习(二摸)理科数学练习答案


海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数学(理科)2016.5 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 1 12. [ ,1] 10. 58 11. 60? 14.

1 2

13. 4

3 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? cos2 x 所以 f ( ) ? ?2sin

π 4

π π ? cos 2 ? ? ? 2 ???????2 分 4 4

π π π 3 f ( ) ? ?2sin ? cos 2 ? ? ? ???????4 分 6 6 6 2
因为 ? 2 ? ?

3 π π ,所以 f ( ) ? f ( ) ???????6 分 2 4 6

(Ⅱ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? (1 ? 2sin 2 x) ???????9 分

? 2sin 2 x ? 2sin x ? 1
1 3 ? 2(sin x ? ) 2 ? 2 2
令 t ? sin x, t ? [?1,1] , 所以 y ? 2(t ? ) ?
2

1 2

3 ,???????11 分 2

因为对称轴 t ?

1 , 2
???????13 分

根据二次函数性质知,当 t ? ?1 时,函数取得最大值 3

1/8

16 解: (I) A 型空调前三周的平均销售量

x?

11 ? 10 ? 15 ? 12 台???????2 分 5

(Ⅱ)因为 C 型空调平均周销售量为 10 台, 所以 c4 ? c5 ? 10 ? 5 ? 15 ? 8 ? 12 ? 15 ???????4 分 又s ?
2

1 [(15 ? 10)2 ? (8 ? 10)2 ? (12 ? 10) 2 ? ( c4 ? 10) 2 ? ( c5 ? 10) 2 ] 5
2

化简得到 s ?

1 15 91 [2( c4 ? ) 2 ? ] ???????5 分 5 2 2
2

因为 c4 ? N ,所以当 c4 ? 7 或 c4 ? 8 时, s 取得最小值 所以当 ?

?c4 ? 7 ?c5 ? 8

或?

?c4 ? 8 2 时, s 取得最小值???????7 分 ?c5 ? 7

(Ⅲ)依题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 ,???????8 分

P( X ? 0) ?

20 25 5 ? ? , 30 40 12 10 25 20 15 11 ? + ? = , 30 40 30 40 24 10 15 1 ? ? , ???????11 分 30 40 8

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

随机变量 X 的分布列为

X
p

0

1

2

5 12

11 24

1 8

随机变量 X 的期望 E ( X ) ? 0 ?

5 11 1 17 ? 1? ? 2 ? ? .???????13 分 12 24 8 24

2/8

17 解: (Ⅰ)证明:连结 NG,NE . 在 ?MCD 中,因为 N , G 分别是所在边的中点,所以 NG ??

1 CD ,???????1 分 2
???????2 分

1 又 EH ?? CD , 所以 NG ?? EH , 2
所以 NEHG 是平行四边形,所以 EN ? GH ,???????3 分 又 EN ? 平面 DEM , GH ? 平面 DEM , 所以 GH ? 平面 DEM . (Ⅱ)证明:方法一: 在平面 EFCD 内,过点 H 作 DE 的平行线 HP , 因为 DE ? EM , DE ? EF , EM ? EF ? E , 所以 DE ? 平面 EFM , 所以 HP ? 平面 EFM ,所以 HP ? EF . 又在 ?EMF 中,因为 EM ? MF ? EF ,所以 MH ? EF .

???????4 分 ???????5 分

以 H 为原点, HM , HF , HP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系???????6 分 所以 E (0, ?1,0), M ( 3,0,0), C (0,1,2), N (

3 1 , ? ,1) ???????7 分 2 2

???? ? ???? 3 3 , ? , ?1) ,???????8 分 所以 EM ? ( 3,1,0), CN ? ( 2 2 ???? ? ??? ? 所以 EM ? CN ? 0 ,所以 EM ? CN . ???????9 分
方法二: 取 EM 中点 K ,连接 NK , FK . 又 NK 为 ?EMD 的中位线,所以 NK ? DE 又 DE ? CF ,所以 NK ? CF ,所以 NKFC 在一个平面中. 因为 ?EMF 是等边三角形,所以 EM ? FK , 又 DE ? EM ,所以 NK ? EM , 且 NK ? FK ? K , 所以 EM ? 平面 NKFC ,???????8 分 而 CN ? 平面 NKFC , 所以 EM ? CN . ???????9 分 ???????7 分 ???????6 分

???? ? ??? ? ??? ? (Ⅲ)因为 CF ? (0,0, ?2) ,所以 EM ? CF ? 0 , 即 EM ? CF ,
3/8

又 CF ? CN ? C , 所以 EM ? 平面 NFC , ???? ? 所以 EM 就是平面 NFC 的法向量. ???????11 分

???? 3 1 , ,1) ,设 GH 与平面 NFC 所成的角为 ? , 又 HG ? ( 2 2 3 1 ???? ???? ? ? ???? ???? ? HG ? EM 2 ? ?2 2? 则有 sin ? ?| cos ? HG, EM ?|? ????? ???? ???????13 分 2 2 ?2 | HG || EM |
所以 GH 与平面 NFC 所成的角为

π .???????14 分 4

18 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R . 当 a ? 1 时,

f '( x) ? e x ( x ? 2)( x ? 1) ???????2 分
当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

( ??, ?2)

?2

( ?2, ?1)

?1

( ?1, +?)

f '( x)

?
?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?
???????4 分

f ( x)

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?2) , ( ?1 , ? ?) , 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?2, ?1) . ???????5 分 (Ⅱ)解:因为 f ( x) ? ea 在区间 [a, ??) 上有解, 所以 f ( x ) 在区间 [a, ??) 上的最小值小于等于 ea . 因为 f '( x) ? e x ( x ? 2)( x ? a) , 令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? ?a . 当 ? a ? ?2 时,即 a ? 2 时, 因为 f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (a), 所以 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea , 解得 ?1 ? a ? ???????6 分

1 ,所以此种情形不成立,???????8 分 2

当 ? a ? ?2 ,即 a ? 2 时,
4/8

若 a ? 0 , 则 f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (a), 所以 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea , 解得 ?1 ? a ?

1 1 ,所以 0 ? a ? . 2 2

???????9 分

若 a ? 0 ,则 f '( x) ? 0 对 x ? (a, ?a ) 成立, f '( x) ? 0 对 x ? [?a, ??) 成立. 则 f ( x ) 在 ( a, ? a ) 上单调递减,在 [ ?a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f ( ? a ), 而 f (?a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? a ea ? 0 ? ea ,所以 a ? 0 .???????11 分 综上, a 的取值范围是 (??, ] ???????12 分 法二:因为 f ( x) ? ea 在区间 [a, ??) 上有解, 所以 f ( x ) 在区间 [a, ??) 上的最小值小于等于 ea , 当 a ? 0 时,显然 0 ? [a, ??) ,而 f (0) ? a ? 0 ? ea 成立,???????8 分 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f ( a ) , 所以有 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea ,

1 2

1 1 ,所以 0 ? a ? .???????11 分 2 2 1 综上, a ? ( ??, ] .???????12 分 2
解得 ?1 ? a ? (Ⅲ) a 的取值范围是 a ? 2 .???????14 分

19 解: (Ⅰ)因为 B(1,0) ,所以 A(1, y1 ), 代入 y 2 ? 4 x ,得到 y1 ? 2 ,???????1 分 又 | BC |? 2 ,所以 x2 ? x1 ? 2 ,所以 x2 ? 3 ,???????2 分 代入 y 2 ? 4 x ,得到 y1 ? 2 3 ,???????3 分

5/8

所以 k AD ?

y2 ? y1 2 3 ? 2 ? ? 3 ?1. x2 ? x1 2

???????5 分

(Ⅱ)法一:设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m . 则 S1 ? S?OMD ? S?OMA ? |m( x2 ? x1 )| ? |m|. ???????7 分

1 2

? y ? kx ? m 由? 2 , 得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , ? y ? 4x
? ? ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 16 ? 16km ? 0 ? 4 ? 2km ? 所以 ? x1 ? x2 ? ???????9 分 k2 ? ? m2 ? x1 x2 ? 2 k ?
又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? 又注意到 y1 y2 ? 所以

1 2

4 ,???????11 分 k

km ? 0 ,所以 k ? 0, m ? 0 , 4

S1 m km ? ? ,???????12 分 S2 y1 ? y2 4 S1 km 1 ? ? .???????13 分 S2 4 4

因为 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,所以 0 ? km ? 1 ,所以 法二:设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m 由? 2 , 得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , ? y ? 4x
? ? ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 16 ? 16km ? 0 ? 4 ? 2km ? 所以 ? x1 ? x2 ? ???????7 分 k2 ? ? m2 ? x1 x2 ? 2 k ?

| AD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2 ,
点 O 到直线 AD 的距离为 d ?

???????8 分

|m| 1? k
2

, 所以 S1 ?

1 | AD | ?d ?| m |? |m| ??????9 分 2
4 , k
???????11 分

又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ?

1 2

6/8

又注意到 y1 y2 ? 所以

km ? 0 ,所以 k ? 0, m ? 0 , 4

S1 m km ? ?= ,???????12 分 S2 y1 ? y2 4 S1 km 1 ? ? . S2 4 4
???????13 分

因为 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,所以 0 ? km ? 1 ,所以

法三:直线 OD 的方程为 y ?

y2 x , ???????6 分 x2

所以点 A 到直线 OD 的距离为 d ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x2 2 ? y2 2

???????7 分

又 | OD |? x2 2 ? y2 2 , ???????8 分 所以 S1 ?

1 1 | OD | d ? | x1 y2 ? x2 y1 | 2 2

???????9 分 又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2,

1 2

1 | x1 y2 ? x2 y1 | | x y ? x2 y1 | 所以 S1 ? 2 ? 1 2 S2 ( y1 ? y2 ) 2( y1 ? y2 )

y12 y2 y2 ? 2 y1 | y y | y ? y | 2 ???????10 分 4 ? 4 ? 1 2 1 2( y1 ? y2 ) 8( y1 ? y2 ) |
2 ? ? y1 ? 4 x1 , 所以 y22 ? y12 ? 4( x2 ? x1 ) ? 8 ???????11 分 因为 ? 2 ? ? y2 ? 4 x2

代入得到,

y1 y2 S1 y1 y2 | y1 ? y2 | y1 y2 | y12 ? y2 2 | ? ? ? ???????12 分 2 ( y1 ? y2 )2 S2 8( y1 ? y2 ) 8( y1 ? y2 )
当且仅当 y1 ? y2 时取等号,

因为 y1 ? y2 ? 2 y1 y2 , 所以

S1 yy 1 ? 1 2 ? . S2 4 y1 y2 4

???????13 分

7/8

20 解: (Ⅰ) Z ? (1,0,0),W ? (1,1,1) ???????2 分 (Ⅱ)对于 X ? ? n ,考虑元素 X ' ? (1 ? x1 ,1 ? x2 ,?,1 ? xi ,?,1 ? xn ) ,

1,2,?, n? , xi , yi ,1 ? xi 不可能都为 1, 显然, X ' ??n , ?X , Y , X ' ,对于任意的 i ? ?
可得 X , X ' 不可能都在好子集 S 中???????4 分 又因为取定 X ,则 X ' 一定存在且唯一,而且 X ? X ' , 且由 X 的定义知道, ?X ,Y ??n , X ' ? Y ' ? X ? Y ,???????6 分 这样,集合 S 中元素的个数一定小于或等于集合 ? n 中元素个数的一半, 而集合 ? n 中元素个数为 2n ,所以 S 中元素个数不超过 2 n ?1 ;???????8 分 (Ⅲ) ?X ? ( x1, x2 ,?, xn?1, xn ) , Y ? ( y1, y2 ,?, yn?1, yn ) ??n 定义元素 X , Y 的乘积为: XY ? ( x1 y1, x2 y2 ,?, xn?1 yn?1, xn yn ) ,显然 XY ??n . 我们证明: “对任意的 X ? ( x1, x2 ,?, xn?1, xn ) ? S , Y ? ( y1, y2 ,?, yn?1, yn ) ? S ,都有 XY ? S .” 假设存在 X , Y ? S , 使得 XY ? S , 则由(Ⅱ)知, ( XY )' ? (1 ? x1 y1,1 ? x2 y2 ,?,1 ? xn?1 yn?1,1 ? xn yn ) ? S 此时,对于任意的 k ? {1,2,..., n} , xk , yk ,1 ? xk yk 不可能同时为 1 , 矛盾, 所以 XY ? S . 因为 S 中只有 2 n ?1 个元素,我们记 Z ? ( z1, z2 ,?, zn?1, zn ) 为 S 中所有元素的乘积, 根据上面的结论,我们知道 Z ? ( z1, z2 ,?, zn?1, zn ) ? S , 显然这个元素的坐标分量不能都为 0 ,不妨设 zk ? 1 , 根据 Z 的定义,可以知道 S 中所有元素的 k 坐标分量都为 1 ???????11 分 下面再证明 k 的唯一性: 若还有 zt ? 1 ,即 S 中所有元素的 t 坐标分量都为 1 , 所以此时集合 S 中元素个数至多为 2 所以结论成立???????13 分
n ?2

个,矛盾.

8/8


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