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§1.2函数概念与表示(教师版)


§1.2
一.课标要求

函数概念与表示(教师版)

1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学 习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素, 会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数; 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; 4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合 具体函数,了解奇偶性的含义; 5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

二.要点精讲
1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f( x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记 作:y=f(x),x∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意: (1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x。 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ①自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根 式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等) ; ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为 有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义。 ④求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: (ⅰ)若 y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域; (ⅱ)若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域. (2)求函数的值域是比较困难的数 学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问 题。
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①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为二次方程) ;③不等式法(运 用不等式的各种性质) ;④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) 。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定义域到值 域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条 件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示。 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空 的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射。记作“f:A ? B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集 合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之 间的对应关系,这种的对应就叫映射。 注意:(1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体 的对应法则,可以用汉字叙述。 (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。 6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式, 简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个 子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数称分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y =f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值 范围是 g(x)的值域。
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三.典例解析
题型 1:函数概念 例 1. (1)设函数 f ( x) ? ?

( x ? 100) ?x ? 3 , 求f (89) = ? f [ f ( x ? 5)] ( x ? 100)

98

.

(2)设函数 f(x)= ?

?2 ? x , x ? (??,1] ?log 81 , x ? (1,??)

,则满足 f(x)=

1 的 x 值为 4

3

.

x ?1 ? ? 2e , x<2, 则f ( f (2))的值为 ( C ) 变式题:设 f ( x ) ? ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

A.0

B.1

C.2

D.3

例 2.(1)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

f ? f ? 5? ? ?

1 ? ; 5

变式题:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f ? x ? 2 ? ? ? 则 f (105.5) = 2.5 .

1 ,当 2≤x≤3 时, f ( x) ? x , f ? x?

题型二:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
3 (1) f(x)= x 2 ,g(x)= x 3 ;

(2) f(x)=

x ? 0, ?1 | x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

(3) f(x)= 2 n ?1 x 2 n ?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1(n∈N*) ;


(4) f(x)= x

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5) f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。 解:(1)不是同一函数;(2)不是同一函数;(3)同一函数;(4)不是同一函数;(5)同一函数。 题型三:函数定义域问题 例 4.求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)
2 2

(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x ? a ). 解:(1)函数定义域为 ( ,1) ? (1, ) ? ( ,2] .
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1 2

3 2

3 2

(2)? ?

?x ? k a
2 2 ?x ? a

, (先对 a 进行分类讨论,然后对 k 进行分类讨论) ,

①当 a ? 0 (k ? R) 时,函数定义域为 (0,??) ; ②当 a ? 0 时,得 ?

?x ? k a ,[来源:学*科*网 Z*X*X*K] ? x ? ? a或 x ? a

1)当 ?

?a ? 0 时 ,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? 1
?a ? 0 时,函数定义域为 (a,??) , ?? 1 ? k ? 1 ?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,?a) ? (a,??) ; ? k ? ?1

2)当 ?

3)当 ?

③当 a ? 0 时,得 ?

?x ? k a ,[来源:Z&xx&k.Com] ? x ? a或 x ? ? a

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ? k ? ?1

2)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (?a,??) , ?? 1 ? k ? 1

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka, a) ? (?a,??) 。 ?k ? 1

例 5.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ? 23 ;
2

(2) y ?

f ( x2 ) ? 1 。 log 1 (2 ? x)
2

解:(1) (? 2, 0) ? (0, 2) (2) (1, 2)

变式题:已知函数 f(x)=

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(B[ ) ax ? ax ? 3
3 2

A.a>

1 3

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

题型四:函数值域问题 例 6.求下列函数的值域:
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(1) y ? 3x ? x ? 2 ; (2) y ?
2

? x2 ? 6 x ? 5 ; (3) y ?
2

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x ; (6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;[来源:学科

2x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 1 ? sin x (7) y ? 2 ; (8) y ? (9) y ? 。 (x ? ) ; 2x ?1 2 x ? x ?1 2 ? cos x
解:(1) [

23 , ??) ,(2) [0, 2] ,(3) { y ? R | y ? 3} , 12

(4) (??,5] ,注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域,
2 变形: y ? ax ? b ? cx ? d 或 y ? ax ? b ? cx ? d
2 2

(5) [?1, 2] (6) [5, ??) (7) [1,5] (8) [ 2 ? 题型五:函数解析式 例 7.(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 4 , ??) (9) [0, ] 2 3

1 x

1 ,求 f ( x) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) 。 解:(1) f ( x) ? x ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) 。(2) f ( x) ? lg
3

2 x

1 x

2 x ?1

( x ? 1) 。

(3) f ( x) ? 2 x ? 7 。 四.思维总 结

(4) f ( x) ? 2 x ?

1 。 x

“函数”是数学中最重要的概念之一,学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方 法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围它 依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 2.求函数定义域一般有三类问题:
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(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义; (3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a , b ? ,其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出。 3.求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常 见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数 的值域。 ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a
2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }。 4a

②配方法: 转化为二次函数, 利用二次函数的特征来求值; 常转化为型如:f ( x) ? ax ? bx ? c, x ? (m, n)
2

的形式; ③分式转化法(或改为“分离常数法”) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ?

k (k ? 0) ,利用均值不等式公式来求值域; x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。

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五.巩固练习 1.已知函数 f(x)=lg(x+3)的定义域为 M,g(x)= A.{x|x>-3} B.{x|-3<x<2} 1 的定义域为 N,则 M∩N 等于( 2-x )

C.{x|x<2} D.{x|-3<x≤2}

2.下列各组函数中表示同一函数的是( ) A.f(x)=x 与 g(x)=( x)2 C.f(x)=lnex 与 g(x)=elnx 3.下列对应中: ①A={矩形},B={实数},f:“求矩形的面积”; ②A=R,B={y∈R|y>0},f:x→y=x2+1; 1 ③A=R,B=R,f:x→y= ; x ④A={x∈R|1≤x≤2},B=R,f:x→y=2x+1. 是从集合 A 到集合 B 的映射的为________. 4.已知 f(2x+1)=3x-4,f(a)=4,则 a=________. 5.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( x y A.[2,5] 0<x<5 2 5≤x<10 3 B.N 10≤x<15 4 C.(0,20] ) 15≤x≤20 5 D.{2,3,4,5} ) B.f(x)=|x|与 g(x)= x3 x2-1 D.f(x)= 与 g(t)=t+1(t≠1) x-1
3

f?(2x?) 6.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4]

D.(0,1) )

? ?2x,x>0, 7.已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ?x+1,x≤0, ?

A.-3

B.-1

C.1

D .3

1? 2 1 8.已知函数 f? ?x-x?=x +x2,则 f(3)=________. 9.求 y=|x+1|+|x-2|的值域. 10.已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且 f(x)的最小值是-1,函数 g(x)与 f(x)的图象关于原点 对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围.

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