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【金版学案】苏教版高中数学必修4练习:3.1.2两角和与差的正弦(含答案解析)

第3章 3.1 三角恒等变换 两角和与差的三角函数 两角和与差的正弦 A 级 基础巩固 3.1.2 1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 ) 1 D. 2 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+ 1 cos 20°·sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= . 2 答案:D 2.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为( A.- 3 2 1 1 3 B.- C. D. 2 2 2 ) 1 解析:原式=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)= . 2 答案:C π 10 3.在△ ABC 中,A= ,cos B= ,则 sin C 等于( 4 10 2 5 A. 5 2 5 B.- 5 C. 5 5 D.- 5 5 ) 解析:由 cos B= 10 3 10 ,且 0<B<π,得 sin B= . 10 10 π π π 2 10 2 3 10 2 5 又 A= ,所以 sin C=sin(A+B)=sin cos B+cos sin B= × + × = . 4 4 4 2 10 2 10 5 答案:A 4.在△ ABC 中,已知 sin (A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1,则△ ABC 是( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.无法确定 ) 解析:因为 sin(A-B)cosB+cos (A-B)sin B=sin A≥1, 所以 sin A=1.所以∠A=90°.所以△ ABC 是直角三角形. 答案:C sin 24°cos 6°-sin 66°sin 6° 5.化简: =________. sin 21°cos 39°-cos 21°sin 39° sin 24°cos 6°-sin 66°sin 6° 解析: = sin 21°cos 39°-cos 21°sin 39° sin 24°cos 6°-cos 24°sin 6° sin(24°-6°) = = sin 21°cos 39°-cos 21°sin 39° sin(21°-39°) sin 18° =-1. -sin 18° 答案:-1 π 6.已知 0≤x≤ ,若 3sin x+cos x=m,则 m 的取值范围是____. 2 π? π π π 2π ? π? 解析: 3sin x+cos x=2sin? ?x+6?,因为 0≤x≤2,所以6≤x+6≤ 3 .所以 1≤2sin?x+6?≤ 2.所以 1≤m≤2. 答案:[1,2] π 3 π 3π π 3 5 +α?=- ,sin? π+β?= ,求 sin(α+β )的值. 7.已知 <α< ,0<β< ,cos? ?4 ? ?4 ? 13 4 4 4 5 π 3 π π 解:因为 <α< π,所以 < +α<π. 4 4 2 4 π ? 所以 sin ? ?4+α?= 3? 4 1-? ?-5? =5. 2 π 3 3 又因为 0<β < , π< π+β <π, 4 4 4 3 ? 所以 cos? ?4π+β?=- 3? 12 1-? ?-13? =-13. 2 ?π ? ?3π ?? 所以 sin(α+β )=-sin(π+α+β )=-sin? ??4+α?+? 4 +β??= ?π ? ?3 ? ?π ? ?3π ?? -? ?sin?4+α?cos?4π+β?+cos?4+α?sin? 4 +β??= 12 3 5 ? 63 4 - ? ?- ? -?5×? ? ? 13?+? 5?×13?=65. 8. 设方程 12x2-πx-12π=0 的两根分别为 α, β, 求 cos αcos β- 3sin αcos β- 3cos αsin β-sin αsin β 的值. π π ? 解: 由题意知 α+β= , 故原式=cos(α+β )- 3sin(α+β )=2sin? ?6-(α+β )?=2sin 12 π π? π π? ? 2 π 3 2 1? ? π π =2sin? ?4-6?=2?sin4cos6-cos 4sin 6?=2? 2 × 2 - 2 ×2?= 12 6- 2 . 2 B 级 能力提升 9.已知 α,β 均为锐角,且 cos(α+β )=sin(α-β ),则角 α 的值为( ) π A. 4 C.0 π B.- 4 D.无法确定 解析:由题意得 cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,即 cos α(cos β+sin β )= sin α(sin β+cos β ), 因为 α,β 均为锐角, 所以 sin β+cos β ≠0,所以 cos α=sin α, π 所以 α= . 4 答案:A 1 1 10.已知 sin α-cos β= ,cos α-sin β= ,则 sin(α+β)=______. 2 3 解析:将条件等式两边平方相加得 1 1 13 sin2α+cos2β-2sin αcos β+cos2α+sin2β-2cos αsin β= + ,即 2-2· sin(α+β)= ,所 4 9 36 59 以 sin(α+β)= . 72 59 答案: 72 π? ?5π? 3 2 11.(2014· 广东卷)已知函数 f(x)=Asin? ?x+3?,x∈R,且 f?12?= 2 . (1)求 A 的值; π? ?π ? (2)若 f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈? ?0,2?,求 f?6-θ?. 5π? ?5π+π?=Asin3π= 2A=3 2,可得 A=3. 解:(1)由 f? = A sin ?12? ?12 3? 4 2 2 (2)f(θ)-f(-θ)= 3, π?

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