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2012高三解析几何测试题及答案解析


2013 届高三数学章末综合测试题(15)平面解析几何(1)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的圆心在直线 x+y=1 上,则 D 与 E 的关系是( A.D+E=2 C.D+E=-1 B.D+E=1 D.D+E=-2 X k b 1 . c o m
[来

)

D E D E 解析 D 依题意得, 圆心?- 2 ,- 2 ?在直线 x+y=1 上, 因此有- - =1, D 即 ? ? 2 2 +E=-2. 2.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( A.(x+1)2+(y+1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 解析 B )

B.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=8

直径的两端点为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为 2,圆的方程为(x

-1)2+(y-1)2=2. x2 3.已知 F1、F2 是椭圆 +y2=1 的两个焦点,P 为椭圆上一动点,则使|PF1|· 2|取最 |PF 4 大值的点 P 为( ) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,1)和(0,-1) |PF1|+|PF2|?2 2 ? ? =4,

A.(-2,0)

解析 D 由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|· 2|≤? |PF

当且仅当|PF1|=|PF2|,即 P(0,-1)或(0,1)时,取“=”. x2 y2 4.已知椭圆 + =1 的焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上一点,若连接 F1、F2、P 三 16 25 点恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的距离是( 16 A. 5 B.3 16 C. 3 ) 25 D. 3

x2 y2 π 解析 A 椭圆 + =1 的焦点分别为 F1(0,-3)、F2(0,3),易得∠F1PF2< ,∴ 16 25 2 π π x2 y2 16 p p ∠PF1F2= 或∠PF2F1= ,点 P 到 y 轴的距离 d= |xp|,又|yp|=3, + =1,解得|xP|= , 2 2 16 25 5 故选 A. 5.若曲线 y=x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x+y+4=0 C.4x-y-12=0 B.x-4y-4=0 D.4x-y-4=0 )

解析 D 设切点为(x0,y0),则 y′|x=x0=2x0, ∴2x0=4,即 x0=2, ∴切点为(2,4),方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.
1

6.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

x2 y2 1 1 解析 C 方程可化为 + =1,若焦点在 y 轴上,则 > >0,即 m>n>0. 1 1 n m m n x2 y2 7.设双曲线 2- 2=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的 a b 离心率为( ) 5 A. 4 B.5 C. 5 2 D. 5

b 解析 D 双曲线的渐近线为 y=± x,由对称性,只要与一条渐近线有一个公共点 a

?y=x +1, ? b 即可由? b 得 x2- x+1=0. a ? ?y=ax,
b2 ∴Δ= 2-4=0,即 b2=4a2,∴e= 5. a x2 y2 → → 8. 为椭圆 + =1 上一点, 1、 2 为该椭圆的两个焦点, P F F 若∠F1PF2=60° 则PF1· 2 , PF 4 3 =( ) A.3 C.2 3 B. 3 D.2

2

60° 1 → → → → 解析 D ∵S△PF1F2=b2tan =3×tan 30° 3= |PF1|· 2|· 60° = |PF sin ,∴|PF1||PF2 2 2 1 → → |=4,∴PF1· 2=4× =2. PF 2 x2 y2 1 9.设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则 m n 2 此椭圆的方程为( x2 y2 A. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 48 64 ) x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 64 48

?c=2, ? 解析 B 抛物线的焦点为(2,0),∴由题意得? c 1 ? ?m=2,
x2 y2 ∴m=4,n2=12,∴方程为 + =1. 16 12 10.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的 一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两
1

点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2

) B. 3 D.3

x2 y2 x2 y2 解析 B 设双曲线 C 的方程为 2- 2=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入 2- 2= a b a b b4 b2 c 1 可得 y2= 2,∴|AB|=2× =2×2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e= = 3. a a a x2 y2 11.已知抛物线 y2=4x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的 a b 一条渐近线方程为 y=2x,则双曲线的焦距为( A. 5 C. 3 )新 课 标 第 一 网
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B.2 5 D.2 3

x2 y2 解析 B ∵抛物线 y2=4x 的准线 x=-1 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点, a b b ∴a=1,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x=± bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为 y=2x,∴b a =2,∴c= a2+b2= 5,∴双曲线的焦距为 2 5. x2 12.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y2 a =1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值为( 1 A. 9 1 C. 3 1 B. 4 1 D. 2 )

解析 A 由于 M(1,m)在抛物线上,∴m2=2p,而 M 到抛物线的焦点的距离为 5, p p 根据抛物线的定义知点 M 到抛物线的准线 x=- 的距离也为 5,∴1+ =5,∴p=8,由此 2 2 可以求得 m=4,双曲线的左顶点为 A(- a,0),∴kAM= x 4 1 1 y=± ,根据题意得, = ,∴a= . 9 a 1+ a a 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知直线 l1:ax-y+2a+1=0 和 l2:2x-(a-1)y+2=0(a∈R),则 l1⊥l2 的充要条 件是 a=________. 解析 【答案】 2 1 l1⊥l2?a· =-1,解得 a= . 3 a-1 1 3 4 ,而双曲线的渐近线方程为 1+ a

14. 直线 l: y=k(x+3)与圆 O:2+y2=4 交于 A, 两点, x B |AB|=2 2, 则实数 k=________.

1

解析 ∵|AB|=2 2, O 半径为 2, 到 l 的距离 d= 22-2= 2.即 圆 ∴O 解得 k=± 14 . 7 ± 14 7

|3k| = 2, k2+1

【答案】

15.过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为________. 解析 如图,圆的方程可化为 (x-3)2+(y-4)2=5, ∴|OM|=5,|OQ|= 25-5=2 5. 在△OQM 中, 1 1 |QA|· |OM|= |OQ|· |QM|, 2 2 ∴|AQ|= 2 5× 5 =2,∴|PQ|=4. 5

【答案】 4 → → → 16.在△ABC 中,|BC|=4,△ABC 的内切圆切 BC 于 D 点,且|BD|-|CD|=2 2,则顶 点 A 的轨迹方程为________.

解析 以 BC 的中点为原点, 中垂线为 y 轴建立如图所示的坐 标系,E、F 分别为两个切点. 则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|, |AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=2 2, ∴点 A 的轨迹为以 B,C 为焦点的双曲线的右支(y≠0),且 a= 2,c=2,∴b= 2, x2 y2 ∴方程为 - =1(x> 2). 2 2 【答案】 x2 y2 - =1(x> 2) 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)在平面直角坐标系中,已知圆心在直线 y=x+4 上,半径为 2 2的圆 C 经过 原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)求经过点(0,2)且被圆 C 所截得弦长为 4 的直线方程. 解析 (1)设圆心为(a,b),

1

? ?b=a+4, ?a=-2, 则? 2 解得? 2 ? ?b=2, ? a +b =2 2,

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)当斜率不存在时,x=0,与圆的两个交点为(0,4),(0,0),则弦长为 4,符合题意; 当斜率存在时,设直线为 y-2=kx, 则由题意得,8=4+?

? -2k ?2 ? ,无解. ? 1+k2?

综上,直线方程为 x=0. 18.(12 分)(2011· 合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(- 3,0)和 F2( 3,0),且椭 圆过点?1,-

?

3? . 2?

(1)求椭圆方程; 6 (2)过点?-5,0?作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M, 两点, 为椭圆的左顶点. N A 试 ? ? 判断∠MAN 的大小是否为定值,并说明理由. 解析 x2 y2 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

2 2 ?a -b =3, ? 3? 由 c= 3,椭圆过点?1,- 可得? 1 3 2? ? ?a2+4b2=1, ?

[

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? 2 ?a =4, x2 解得? 2 所以可得椭圆方程为 +y2=1. 4 ? ?b =1,

6 (2)由题意可设直线 MN 的方程为:x=ky- , 5

?x=ky-5, 联立直线 MN 和椭圆的方程:? x ? 4 +y =1,
6
2 2

12 64 化简得(k2+4)y2- ky- =0. 5 25

设 M(x1,y1),N(x2,y2), 64 12k 则 y1y2=- ,y1+y2= 2 , 2 25?k +4? 5?k +4? 4 16 → → 又 A(-2,0),则AM· =(x1+2,y1)· 2+2,y2)=(k2+1)y1y2+ k(y1+y2)+ =0,所以 AN (x 5 25 π ∠MAN= . 2 19.(12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶 点到两个焦 点的距离分别为 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程;
1

|OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点, 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, M =e(e 为椭圆离 |OM| 心率),求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c,

? ? ?a-c=1, ?a=4, 由已知,得? 解得? ? ? ?a+c=7, ?c=3.

x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 16 7 (2)设 M(x,y),P(x,y1),其中 x∈[-4,4], x2+y2 2 3 1 由已知得 2 2=e ,而 e= , 4 x +y
2 故 16(x2+y1)=9(x2+y2),①

由点 P 在椭圆 C 上,得 y2= 1

112-7x2 , 16

代入①式并化简,得 9y2=112. 4 7 ∴点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4), 3 ∴轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 20.(12 分)给定抛物线 y2=2x,设 A(a,0),a>0,P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试 求 d 的最小值. 解析 设 P(x0,y0)(x0≥0),则 y2=2x0, 0 ∴d=|PA|= ?x0-a?2+y2= ?x0-a?2+2x0= [x0+?1-a?]2+2a-1. 0 ∵a>0,x0≥0, ∴(1)当 0<a<1 时,1-a>0, 此时有 x0=0 时,dmin= ?1-a?2+2a-1=a; 新 课 标 第 一 网
[

(2)当 a≥1 时,1-a≤0, 此时有 x0=a-1 时,dmin= 2a-1. 21.(12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 (4,- 10),点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)求△F1MF2 的面积. 解析 (1)∵双曲线离心率 e= 2,
K]

∴设所求双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0),xkb1.com 则由点(4,- 10)在双曲线上,

1

知 λ=42-(- 10)2=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)若点 M(3,m)在双曲线上,则 32-m2=6,∴m2=3,由双曲线 x2-y2=6 知 F1(2 3, 0),F2(-2 3,0), → → ∴MF1· 2=(2 3-3,-m)· MF (-2 3- 3,-m)=m2-3=0, → → ∴MF1⊥MF2,故点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. 1 (3)S△F1MF2= |F1F2|· |m|=2 3× 3=6. 2 22.(12 分)已知实数 m>1,定点 A(-m,0),B(m,0),S 为一动点,点 S 与 A,B 两点连 线斜率之积为- 1 . m2

(1)求动点 S 的轨迹 C 的方程,并指出它是哪一种曲线; (2)当 m= 2时,问 t 取何值时,直线 l:2x-y+t=0(t>0)与曲线 C 有且只有一个交点? (3)在(2)的条件下,证明:直线 l 上横坐标小于 2 的点 P 到点(1,0)的距离与到直线 x=2 的距离之比的最小值等于曲线 C 的离心率. 解析 (1)设 S(x,y),则 kSA= y-0 y-0 ,k = . x+m SB x-m

y2 1 x2 由题意,得 2 =- 2,即 2+y2=1(x≠± m). m m x -m2 ∵m>1, ∴轨迹 C 是中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去 x 轴上的两顶点),其中长轴长 为 2m,短轴长为 2. x2 (2)当 m= 2时,曲线 C 的方程为 +y2=1(x≠± 2). 2

?2x-y+t=0, ?2 由?x 消去 y,得 9x2+8tx+2t2-2=0. +y2=1, ? ?2
令 Δ=64t2-36×2(t2-1)=0,得 t=± 3. ∵t>0,∴t=3. 此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点. (3)由(2)知直线 l 的方程为 2x-y+3=0, 设点 P(a,2a+3)(a<2),d1 表示 P 到点(1,0)的距离,d2 表示 P 到直线 x=2 的距离,则 d1= ?a-1?2+?2a+3?2= 5a2+10a+10, d2=2-a,

1

5a2+10a+10 d1 ∴ = = d2 2-a a2+2a+2 令 f(a)= , ?a-2?2

a2+2a+2 5× . ?a-2?2

?2a+2??a-2?2-2?a2+2a+2??a-2? 则 f′(a)= ?a-2?4 = -?6a+8? . ?a-2?3

4 令 f′(a)=0,得 a=- . 3 4 ∵当 a<- 时,f′(a)<0; 3 4 当- <a<2 时,f′(a)>0. 3 4 d1 ∴f(a)在 a=- 时取得最小值,即 取得最小值, 3 d2 d1 ∴?d ?min= ? ?
2

4 2 5· -3?= , f? ? ? 2 2 , 2

又椭圆的离心率为

d1 ∴ 的最小值等于椭圆的离心率. d2

1


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