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正弦型函数y=Asin(ψx+φ)+B的图象变换教学设计


正弦型函数 y=Asin(ψ x+φ )+B 的图象变换教学设计
章琪

教学目标: 知识与技能目标:
能借助计算机课件,通过探索、观察参数 A、ψ 、φ 、B 对函数图象的影响,并能概括 出三角函数图象各种变换的实质和内在规律; 会用图象变换画出函数 y=Asin(ψx+φ )+B 的图 象。

过程与方法目标:
通过对探索过程的体验,培养学生的观察能力和探索问题的能力,数形结合的思想; 领会从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

情感、态度价值观目标:
通过学习过程培养学生探索与协作的精神,提高合作学习的意识。

教学重点: 考察参数 ψ 、φ 、 A 、 B 对函数图象的影响,理解由 y=sinx 的图象到
y=Asin(ψ x+φ )的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨 的一个重要模型。学生学习了函数 y=Asin(ψ x+φ )+B 的图象,为后面高中物理研究《单摆 运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以,该内容在教材中具有非 常重要的意义,是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。

教学难点:对 y=Asin(ψ x+φ )+B 的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。
因为相对来说, 、A、B 对图象的影响较直观,ψ 的变化引起图象伸缩变化,学生第一次 对图象的影响”的

接触这种图象变化,不会观察,造成认知的难点,在教学中,抓住“

教学, 使学生学会观察图象, 经历研究方法, 理解图象变化的实质, 是克服这一难点的关键。

学情分析:
本节课在高一第二学段, 学生进入高中学习已经三个月, 对于高中常用的数学思想方法 和研究问题的方法已经有初步的了解, 并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式, 喜 欢小组探究学习,喜欢独立思考,探究未知内容,学习欲望迫切。关于函数图象的变换,学 生在学习第一模块时,接触过函数图象的平移,有“左加右减”,“上加下减”这样一些粗略的 关于图象平移的认识, 但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响, 还要 研究三个参数对函数图象的综合影响,且方法不唯一,知识密度较大,理解掌握起来难度较 大。

教学内容分析:
三角函数是基本初等函数之一, 是中学数学的重要内容。 本节为三角函数图象与性质的 重要内容,是一节函数图象探究的重要范例,同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能 力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上,通过 作图、观察、分析、归纳等方法,形成规律,得出从函数 y=Asin(ψ x+ φ )+B 图 象 的 变 换 规 律 。 观 察 函 数 、 、 、 的图象到正弦型函数 、 、

+2 图象间的关系,通过对比,探求有关性

质以及图象的变换方法。鼓励学生大胆猜想,将直观问题抽象化,揭示本质,培养学生思维 的深刻性。 利用计算机操作相关的课件,直观展示图象的变化,细致观察图象变化的数量,使学生 学会观察。 这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系, 进而理解本质的规 律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察,获得参数对函数图象影响的大致感知,进 而进行细致的量的变化的观察和分析, 体现了对事物认识的螺旋式上升; 从具体的函数出发, 进而得出一般性的结论,体现了从特殊到一般,由感性到理性的过渡。

教学过程:整个教学过程是“以问题为载体,以学生活动为主线”进行的。
(一)创设情境: 1.动画演示: 《用沙摆演示简谐运动的图象》

2.根据你的知识,你能解决函数

+2 哪些方面的问题?

学生分析:可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。 教师追问:作出它的图象还有其他的方法吗? 【设计意图】复习回顾,直接切入研究的课题。(板书课题:函数
+B 的图象) 问题 1:函数 学生思考,交流,正弦函数 =0,B=0 的特殊情况。 +B 和我们熟知的正弦函数,有什么联系呢? 就是函数 +B 在 A=1,ω =1,

【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数 y=Asin(ωx+φ) +B 的图象,体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重 要性,激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考 y=Asin(ψ x+φ) +B 与正弦 函数的一般与特殊的关系,进而引导学生探讨正弦曲线与函数 y=Asin(ψ x+φ) +B 的图象的关系。

(二)建构数学 自主探究: 自主探究:由正弦曲线如何变化得到函数 ①问题提出:三种变换能否任意排序? ②对于你们小组提出的变换方式,你要怎样解决你呢? +2 的图象?

【设计意图】观察函数解析式

+2 学生容易发现三个参数

、 、

、B 都发生了变化,自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排 序呢?
问题 2:由正弦函数 猜想(1) 猜想(2) 图象如何变换得到函数

+的图象?
+2 +2

【设计意图】观察函数解析式 +2,容易发现参数 ψ 、 都发生了 变化,根据已有的知识基础,自然恰当地提出本节的核心问题:两种变换能否任 意排序,最后确定研究方向。

A、 自主实验,形成初步结论:小组合做,根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进 行研究: 问题 3:按照第一种方法由函数 按照第二种方法由函数 的图象如何变换到 的图像如何变换到函数 的图象? 的图象?

学生投影回答,结合自己画的函数图像,说明变换方法。

①.把 图象。

的图象上的所有的点__左___平移 __

_个单位长度,得到



②.再把 标不变),得到 ③.再把 坐标不变)得到

的图象上各点的_横__坐标_缩短__ 的图象。 的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_ 的图象。

到原来的_

_倍(_纵_坐

到原来的__3_倍(__横_

学生总结上述变换过程:相位变换 ①.把 度,得到 ②.再把 的图象上的所有的点 向左 的图象。

周期变换 或 向右

振幅变换 平行移动 个单位长

的图象上各点的_横_坐标__缩短_

或_伸长_

到原来

的_

_倍(_纵_坐标不变),得到

的图象。

③.再把 _

的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_ 为原来的_A_倍(_横_坐标不变)得到

或_缩短 的图象。

B、 深入探究,讨论分析: 首先取五个 x,使 ωx+ψ=0,π/2,3π/2,2π,这么取是因为这些 ωx+ψ 的 sin 值方便计算 相应地,x=-ψ/ω,(π/2-ψ)/ω,(π-ψ)/ω,(3π/2-ψ)/ω,(2π-ψ)/ω 相应地,y=B,A+B,B,-A+B,B 这样得到 5 个点: (-ψ/ω,B),((π/2-ψ)/ω,A+B),((π-ψ)/ω,B),((3π/2-ψ)/ω,-A+B),((2π-ψ)/ω),B) 如果 A>0, 前三个点用开口向下的光滑曲线连起来, 后三个点用开口向上的光滑曲线连起来 如果 A<0, 前三个点用开口向上的光滑曲线连起来, 后三个点用开口向下的光滑曲线连起来 有的时候 ψ 比较怪,导致图像偏离 y 轴比较远 这时可以在 ωx+ψ 上加上或减去几个 2π,使解得的 x 不至于太大或太小 但是如果题目给定定义域时要小心,不要加到或减到定义域外了 有的时候 ω 比较大,这样图像看起来比较窄 这时可以把已有的图像向左或向右复制几遍,或者把横坐标调节得疏一点 有的时候 A 和 B 过大过小可能导致图像太高或太矮 这时要适当调节纵坐标 一般图像要向左向右延伸一些,表示定义域是全体实数,但是题目给定定义域就要框死了 举个很简单的例子,y=2sinx+1 令 x=0,π/2,3π/2,2π (一般不是直接令 x,而是令 ωx+ψ 的,但是这里 ωx+ψ 就是 x) 分别得 y=1,3,1,-1,1 由于 A>0,所以先开口向下,再开口向上 可以适当复制一两遍,或者向左向右延伸一些 向左转|向右转

(六)学习效果评价设计

1.在学生动手实践、观察、思考问题的过程中,关注学生发现问题、解决问题的能力; 并在进一步的学习过程中,观察学生的类比学习能力; 2.在各组共同学习、解决问题的过程中,观察学生合作交流、学习的能力; 3.对不同方案的对比学习中,了解学生把握事物本质的能力; 4.通过课堂活动与交流,了解学生对知识的掌握程度,通过反馈,对易错、易混的知识 点,做出启发性的指导; 5.通过课堂小结,学生说出自己的收获,与别人分享学习数学的体会,激发学习数学的 积极性,建立自信心。


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