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高考数学课时训练10-9


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A 组 考点基础演练 一、选择题 1.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是 0.4,则此人三次上班途中 遇红灯的次数的期望为( A.0.4 C.0.43 ) B.1.2 D.0.6

解析:∵途中遇红灯的次数 X 服从二项分布,即 X~B(3,0.4),∴E(X)=3×0.4=1.2. 答案:B 2.(2015 年衡水模拟)若 ξ~B(n,p)且 E(ξ)=6,D(ξ)=3,则 P(ξ=1)的值为( A.3· 2 C.2
-4 -2

)

B.3· 2 D.2

-10

-8

1 3 1 ?1?12 解析:E(ξ)=np=6,D(ξ)=np(1-p)=3?p= ,n=12,P(ξ=1)=C12 ?2? =210. 2 答案:B 3.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大 值为( 1 A. 48 1 C. 12 ) 1 B. 24 1 D. 6

解析:设投篮得分为随机变量 X,则 X 的分布列为 X P E(X)=3a+2b=2≥2 3 a 2 b 0 c

1 3a×2b,所以 ab≤ , 6

1 1 当且仅当 3a=2b 即 a= ,b= 时,等号成立. 3 2 答案:D 4.(2013 年高考湖北卷)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大 小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( )

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126 A. 125 168 C. 125

6 B. 5 7 D. 5

解析:设涂 0 个面的小正方体有 x 个,涂 1 个面的小正方体有 y 个,涂 2 个面的小正方 体有 z 个,涂 3 个面的小正方体有 w 个,则有 0· x+1· y+2· z+3· w=25×6=150,所以 E(X) w 150 6 x y z =0· +1· +2· +3· = = . 125 125 125 125 125 5 答案:B 5.(2014 年高考浙江卷)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝 球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. ①放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξi(i=1,2); ②放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2).则( A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2) B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2) 解析:列出随机变量 ξ1,ξ2 的分布列,计算期望值并比较大小;利用分步计数原理计算 p1,p2 并比较大小. 随机变量 ξ1,ξ2 的分布列如下: ξ1 P 1 n m+n 2 m m+n )

ξ2 P 所以 E(ξ1)= E(ξ2)=

1 C2 n 2 Cm +n

2
1 C1 mCn 2 Cm+n

3 C2 m 2 Cm +n

n 2m 2m+n + = , m+n m+n m+n

1 3m+n C2 2C1 3C2 n mCn m + 2 = , 2 + 2 Cm+n Cm+n Cm+n m+n

所以 E(ξ1)<E(ξ2).

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m n 1 2m+n 因为 p1= + ·= , m+n m+n 2 2?m+n?
1 3m+n C2 C1 C2 m mCn 2 n 1 p2= 2 + 2 · + 2 · = , Cm+n Cm+n 3 Cm+n 3 3?m+n?

n p1-p2= >0,所以 p1>p2. 6?m+n? 答案:A 二、填空题 1 6.(2014 年高考浙江卷)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ)= 5 ________. 1 1 3 1-p- ?=1,解得 p= . 解析:设 ξ=1 时的概率为 p,则 E(ξ)=0× +1×p+2? 5 ? ? 5 5 1 3 1 2 故 D(ξ)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2× = . 5 5 5 5 2 答案: 5 7.设随机变量 ξ 的概率分布列如下表所示: x P(ξ=x) 0 a 1 b 2 c

4 其中 a,b,c 成等差数列,若随机变量 ξ 的均值为 ,则 ξ 的方差为________. 3 4 1 1 1 解析:由题意有 a+b+c=1,2b=a+c,b+2c= ,解得 a= ,b= ,c= ,则其方差 3 6 3 2 4?2 1 ? 4?2 1 ? 4?2 1 5 为 D(ξ)=? ?0-3? ×6+?1-3? ×3+?2-3? ×2=9. 5 答案: 9 8.某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题答对给 10 分,答错倒 3 扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某学生对每道题答对的概率为 ,则该学生 4 在面试时得分的期望为________. 解析:由题得,该学生有可能答对 0,1,2,3 道,所以得分可能为-15,0,15,30.根据独立试 3?3 ?3? 3? 验同时发生的概率计算公式可得,得分可能为-15,0,15,30 对应的概率分别为 C3 ?1-4? · ?4?
0

? 3?2?3?1,C1 ? 3?1 ?3?2 0? 3?0?3?3,即为 1 , 9 ,27,27. ,C2 3 1-4 3 1-4 ·4 ,C3 1-4 ? ? ?4? ? ? ? ? ? ? ?4? 64 64 64 64
1 9 27 27 75 75 所以期望=(-15)× +0× +15× +30× = ,故填 . 64 64 64 64 4 4

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75 答案: 4 三、解答题 9.(2014 年高考安徽卷)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛, 2 若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙 3 1 获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解析:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 表示“第 k 局乙获胜”, 2 1 则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. 3 3 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) 2?2 1 ?2?2 2 1 ?2?2 56 =? ?3? +3×?3? +3×3×?3? =81. (2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) 5 =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , 9 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) 2 =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 9 P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) 10 =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)· P(B4)= , 81 8 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 81 故 X 的分布列为 X P 2 5 9 3 2 9 4 10 81 5 8 81

5 2 10 8 224 E(X)=2× +3× +4× +5× = . 9 9 81 81 81 10.设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取 出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分.

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(1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球, 记随机变量 X 为取出此 2 球所得分数之和,求 X 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球, 记随机变量 Y 为取出此球所得分数. 若 5 5 E(Y)= ,D(Y)= ,求 a∶b∶c. 3 9 解析:(1)由题意得 X=2,3,4,5,6. 3×3 1 故 P(X=2)= = , 6×6 4 2×3×2 1 P(X=3)= = , 3 6×6 2×3×1+2×2 5 P(X=4)= = , 18 6× 6 2×2×1 1 P(X=5)= = , 9 6×6 1×1 1 P(X=6)= = . 6×6 36 所以 X 的分布列为 X P (2)由题意知 Y 的分布列为 Y P 1 a a+b+c 2 b a+b+c 3 c a+b+c 2 1 4 3 1 3 4 5 18 5 1 9 6 1 36

a 2b 3c 5 所以 E(Y)= + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3 5?2 5 5 2 a b c 5 D(Y)=? +?2- ?2· +?3-3? = . ?1-3? · ?· a+b+c ? 3? a+b+c ? a+b+c 9
?2a-b-4c=0, ?a=3c, ? ? 化简得? 解得? ?a+4b-11c=0. ?b=2c. ? ?

故 a∶b∶c=3∶2∶1. B 组 高考题型专练 2 1 4 1.若 X 是离散型随机变量,P(X=x1)= ,P(X=x2)= ,且 x1<x2,又已知 E(X)= , 3 3 3 2 D(X)= ,则 x1+x2 的值为( 9 5 A. 3 ) 7 B. 3

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C.3

11 D. 3

解析:分析已知条件,利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得: +x · = , ?x · 3 3 3 ?? 4? 2 ? 4? 1 2 + x -3? · = , ??x -3? · 3 ? 3 9
1 2 1 2 2 2

2

1 4

?x =3 解得? 2 ?x =3
1 2

5

?x1=1, ?x1=1, ? ? 或? 又∵x1<x2,∴? ?x2=2, ?x2=2, ? ?

∴x1+x2=3.故选 C. 答案:C 2.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中 a,b,c∈{-3,-2, -1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量 ξ=|a-b|的取值,则 ξ 的数学期望 E(ξ)为( 8 A. 9 2 C. 5 解析:∵抛物线的对称轴在 y 轴的左侧, b b ∴- <0,即 >0,也就是 a,b 必须同号, 2a a ∴ξ 的分布列为 ξ P 1 4 2 8 ∴E(ξ)=0× +1× +2× = . 3 9 9 9 答案:A 3.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 2 1 c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则 + 的最小值为( a 3b 32 A. 3 14 C. 3 解析:由已知得,3a+2b+0×c=2, 2 即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 28 B. 3 16 D. 3 ) 0 1 3 1 4 9 2 2 9 3 B. 5 1 D. 3 )

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2 1 3a+2b?2 1 ? + 又 + = a 3b 2 ?a 3b? 1 2b a 10 =3+ + + ≥ +2 3 a 2b 3 2b a 16 2b a · = ,当且仅当 = ,即 a=2b 时取“等号”,又 a 2b 3 a 2b

1 1 2 1 16 3a+2b=2,即当 a= ,b= 时, + 的最小值为 ,故选 D. 2 4 a 3b 3 答案:D 4. 某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的 8 个乒乓球(其中 3 个是白色球, 5 个是黄色球),小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回),当摸到的球是 黄球时停止摸球.用随机变量 ξ 表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数,则随机变 量 ξ 的数学期望值 E(ξ)=________. 解析:ξ 的分布列为 ξ P 1 5 8 2 15 56 3 5 56 4 1 56

5 15 5 1 3 E(ξ)=1× +2× +3× +4× = . 8 56 56 56 2 3 答案: 2 5.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批 产品中任取 4 件做检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任 取 4 件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 1 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 ,且各件产 2 品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 解析:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产 品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件 产品是优质品为事件 B2, 这批产品通过检验为事件 A, 依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2), 且 A1B1 4 1 1 1 与 A2B2 互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= × + × 16 16 16 2 3 = . 64 (2)X 可能的取值为 400,500,800,并且

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4 1 11 1 1 P(X=400)=1- - = ,P(X=500)= ,P(X=800)= . 16 16 16 16 4 所以 X 的分布列为 X P 400 11 16 500 1 16 800 1 4

11 1 1 E(X)=400× +500× +800× =506.25. 16 16 4


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