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湖南省长沙市2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


2016-2017 学年湖南省长沙市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选 项中,有且只有一项符合题目要求. 1.在复平面内,复数 A.第一象限 对应的点在( C.第三象限 ) D.第四象限 )

B.第二象限

2. 2, 3}, B={x|x2﹣3x+a=0, a∈A}, 已知集合 A={1, 若 A∩B≠?, 则 a 的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.1 或 2 )的图象向左平移 个单位,所得函数的解析式为(

3.将函数 y=sin(2x+ A.



B.y=﹣cos2x

C.y=cos2x D.

4. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了 246 个问题及其解法, 其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四 节容积之和为 3 升,下面三节的容积之和为 4 升,求中间两节的容积各为多少?” 该问题中第 2 节,第 3 节,第 8 节竹子的容积之和为( A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 )

5.如图是某几何体的三视图,其正视图、俯视图均为直径为 2 的半圆,则该几何 体的表面积为( )

A.3π B.4π C.5π D.12π 6.二项式 A.不含 x9 项 的展开式中( )

B.含 x4 项 C.含 x2 项 D.不含 x 项

7.A 是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,F 为抛物线的焦点,O 为坐标原点,当 |AF|=4 时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是( )

-1-

A.x=﹣1

B.y=﹣1

C.x=﹣2

D.y=﹣2

8.某同学为实现“给定正整数 N,求最小的正整数 i,使得 7i>N,”设计程序框图 如右,则判断框中可填入( )

A.x≤N

B.x<N

C.x>N

D.x≥N )

9.在△ABC 中,C= A. D.

,AB=3,则△ABC 的周长为( B. C .

10.函数 y=ln|x|﹣x2 的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

11.P 是双曲线 C:

=1 右支上一点,直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线,P )

在 l 上的射影为 Q,F1 是双曲线 C 的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为(

-2-

A.1

B.

C.

D.

12.对于满足 0<b<3a 的任意实数 a,b,函数 f(x)=ax2+bx+c 总有两个不同的 零点,则 A. 的取值范围是( )

B. (1,2] C.[1,+∞) D. (2,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (1+cosx)dx= .

14.空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数, 空气质量按照 AQI 大小分为六级,0~50 为优;51~100 为良;101~150 为轻度污 染;151~200 为中度污染;201~300 为重度污染;大于 300 为严重污染.一环保 人士当地某年的 AQI 记录数据中,随机抽取 10 个,用茎叶图记录如图.根据该统 计数据,估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为为 . (该年为 365 天)

15.化简:

=



16.平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P 是平行四边形 ABCD 内一 点,且 AP=1,若 ,则 3x+2y 的最大值为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算 过程. 17.已知数列{an}为等差数列,其中 a2+a3=8,a5=3a2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}中,b1=1,b2=2,从数列{an}中取出第 bn 项记为 cn,若{cn}是等比 数列,求{bn}的前 n 项和.

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18.张老师 上班,有路线①与路线②两条路线可供选择. 路线①:沿途有 A,B 两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为 , 若 A 处遇到红灯或黄灯, 则导致延误时间 2 分钟; 若 B 处遇到红灯或黄灯, 则导致延误时间 3 分钟;若两处都遇到绿灯,则全程所花时间为 20 分钟. 路线②:沿途有 a,b 两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为 ,若 a 处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间 8 分钟;若 b 处遇到红灯或黄灯, 则导致延误时间 5 分钟;若两处都遇绿灯,则全程所化时间为 15 分钟. (1)若张老师选择路线①,求他 20 分钟能到校的概率; (2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?说明 理由. 19.如图,以 A,B,C,D,E 为顶点的六面体中,△ABC 和△ABD 均为正三角形, 且平面 ABC⊥平面 ABD,EC⊥面 ABC,EC= (1)求证:DE⊥AB; (2)求二面角 D﹣BE﹣A 的余弦值. ,AB=2.

20.如图,P 是直线 x=4 上一动点,以 P 为圆心的圆 Γ 经定点 B(1,0) ,直线 l 是圆 Γ 在点 B 处的切线,过 A(﹣1,0)作圆 Γ 的两条切线分别与 l 交于 E,F 两点. (1)求证:|EA|+|EB|为定值; (2)设直线 l 交直线 x=4 于点 Q,证明:|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|.

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21.已知函数 f(x)=ex﹣ ,a,f(x)为实数. (1)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(0,+∞)上存在极值点,且极值大于 ln4+2,求 a 的取值范围.

选修 4-4:坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ,以坐标原点 O

为极点,x 轴的正半轴为极轴的坐标系中,曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ﹣msinθ)+1=0 (m 为常数) . (1)求曲线 C1,C2 的直角坐标方程; (2)设 P 点是 C1 上到 x 轴距离最小的点,当 C2 过点 P 时,求 m 的值.

选修 4-5:不等式选讲 23.已知 f(x)=|x﹣a|+|x﹣3|. (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若不等式 f(x)≤3 的解集非空,求 a 的取值范围.

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2016-2017 学年湖南省长沙市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选 项中,有且只有一项符合题目要求. 1.在复平面内,复数 A.第一象限 对应的点在( C.第三象限 ) D.第四象限

B.第二象限

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数 数 对应的点的坐标,则答案可求. = 对应的点的坐标为: ( , , ) ,位于第二象限. ,求出在复平面内,复

【解答】解: 在复平面内,复数 故选:B.

2. 2, 3}, B={x|x2﹣3x+a=0, a∈A}, 已知集合 A={1, 若 A∩B≠?, 则 a 的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.1 或 2



【考点】交集及其运算. 【分析】分别令 a=1、2、3,求出 B 中方程对应的解,即可得出 A∩B≠?时 a 的取 值. 【解答】解:a=1 时,B 中方程为 x2﹣3x+1=0,其解为无理数,A∩B=?; a=2 时,B 中方程为 x2﹣3x+2=0,其解为 1 和 2,A∩B={1,2}≠?; a=3 时,B 中方程为 x2﹣3x+3=0,无解,A∩B=?; 综上,a 的值为 2. 故选:B.

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3.将函数 y=sin(2x+ A.

)的图象向左平移

个单位,所得函数的解析式为(



B.y=﹣cos2x

C.y=cos2x D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解. 【解答】解:将函数 y=sin(2x+ 所得函数的解析式为 y=sin[2(x+ 故选:A. )的图象向左平移 )+ ]=sin(2x+ 个单位, + )=sin(2x+ ) .

4. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了 246 个问题及其解法, 其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四 节容积之和为 3 升,下面三节的容积之和为 4 升,求中间两节的容积各为多少?” 该问题中第 2 节,第 3 节,第 8 节竹子的容积之和为( A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 )

【考点】等差数列的性质. 【分析】自上而下依次设各节容积为:a1、a2、…、a9,由题意列出方程组,利用 等差数列的性质化简后可得答案. 【解答】解:自上而下依次设各节容积为:a1、a2、…、a9, 由题意得, ,



,得



所以 a2+a3+a8= 故选:A.

(升) ,

5.如图是某几何体的三视图,其正视图、俯视图均为直径为 2 的半圆,则该几何 体的表面积为( )

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A.3π B.4π C.5π D.12π 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由已知中三视图,可得该几何体是一个半径为 1 的半球,进而可得答案. 【解答】解:由已知中三视图,可得该几何体是一个半径为 1 的半球, 其表面积 S= 故选:A =3π,

6.二项式 A.不含 x9 项

的展开式中(



B.含 x4 项 C.含 x2 项 D.不含 x 项

【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用通项公式即可得出. 【解答】解:Tr+1= =(﹣1)r x12﹣3r,

故 x 的次数分别为:12,9,6,3,0,﹣3,﹣6, 因此不含 x 项. 故选:D.

7.A 是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,F 为抛物线的焦点,O 为坐标原点,当 |AF|=4 时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是( A.x=﹣1 B.y=﹣1 C.x=﹣2 D.y=﹣2 )

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】当|AF|=4 时,∠OFA=120°,结合抛物线的定义可求得 p,进而根据抛物 线的性质求得抛物线的准线方程. 【解答】解:由题意∠BFA=∠OFA﹣90°=30°,

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过 A 作准线的垂线 AC,过 F 作 AC 的垂线,垂足分别为 C,B.如图, A 点到准线的距离为:d=|AB|+|BC|=p+2=4, 解得 p=2, 则抛物线的准线方程是 x=﹣1. 故选 A.

8.某同学为实现“给定正整数 N,求最小的正整数 i,使得 7i>N,”设计程序框图 如右,则判断框中可填入( )

A.x≤N

B.x<N

C.x>N

D.x≥N

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【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解. 【解答】 解: 由于程序框图的功能是给定正整数 N, 求最小的正整数 i, 使得 7i>N, 故 x≤N 时,执行循环体,当 x>N 时,退出循环. 故选:C.

9.在△ABC 中,C= A. D. 【考点】正弦定理.

,AB=3,则△ABC 的周长为( B. C .



【分析】设△ABC 的外接圆半径为 R,由已知及正弦定理可求 BC=2RsinA=2 AC=2RsinB=2 =2 sin(A+ sin (

sinA,

﹣A) ,进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长

)+3,即可得解. =2 ﹣A) , sin(A+ )+3. ,

【解答】解:设△ABC 的外接圆半径为 R,则 2R= 所以:BC=2RsinA=2 sinA,AC=2RsinB=2 (sinA+sin( sin(

所以:△ABC 的周长=2 故选:C.

﹣A) )+3=2

10.函数 y=ln|x|﹣x2 的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】先判断函数为偶函数,再根据函数的单调性即可判断.

- 10 -

【解答】解:令 y=f(x)=ln|x|﹣x2,其定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 因为 f(﹣x)=ln|x|﹣x2=f(x) , 所以函数 y=ln|x|﹣x2 为偶函数,其图象关于 y 轴对称,故排除 B,D, 当 x>0 时,f(x)=lnx﹣x2, 所以 f′(x)= ﹣2x= 当 x∈(0, 当 x∈( 故排除 C, 方法二:当 x→+∞时,函数 y<0,故排除 C, 故选:A ,

)时,f′(x)>0,函数 f(x)递增,

,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)递减,

11.P 是双曲线 C:

=1 右支上一点,直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线,P )

在 l 上的射影为 Q,F1 是双曲线 C 的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为( A.1 B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】依题意,当且仅当 Q、P、F2 三点共线,且 P 在 F2,Q 之间时,|PF2|+|PQ| 最小,且最小值为 F2 到 l 的距离,从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值. 【解答】解:设右焦点分别为 F2, ∵∴|PF1|﹣|PF2|=2 ∴|PF1|=|PF2|+2 , +|PQ|, ,

∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2

当且仅当 Q、P、F2 三点共线,且 P 在 F2,Q 之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值 为 F2 到 l 的距离, 可得 l 的方程为 y= x,F2( +1. ) ,F2 到 l 的距离 d=1

∴|PQ|+|PF1|的最小值为 2 故选 D.

- 11 -

12.对于满足 0<b<3a 的任意实数 a,b,函数 f(x)=ax2+bx+c 总有两个不同的 零点,则 A. 的取值范围是( )

B. (1,2] C.[1,+∞) D. (2,+∞)

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】 由题意可得△=b2﹣4ac>0, 于是 c< , 从而 > =1+ ﹣

( )2,运用换元法和二次函数的最值的求法,结合恒成立问题的解法,即可得 到所求范围. 【解答】解:由满足 0<b<3a 的任意实数 a,b, 函数 f(x)=ax2+bx+c 总有两个不同的零点, 可得△=b2﹣4ac>0, 于是 c< 从而 , > =1+ ﹣ ( )2,

对任意满足 0<b<3a 的任意实数 a,b 恒成立. 令 t= ,由 0<b<3a,可得 0<t<3, 则﹣ t2+t+1=﹣ (t﹣2)2+2, 当 t=2 时,取得最大值 2, 则﹣ t2+t+1∈(1,2]. 故 >2.

故选:D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (1+cosx)dx= π .

【考点】定积分. 【分析】首先求出被积函数的原函数,代入积分上限和下限计算即可.

- 12 -

【解答】解:原式=(x+sinx)| 故答案为:π.

=π;

14.空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数, 空气质量按照 AQI 大小分为六级,0~50 为优;51~100 为良;101~150 为轻度污 染;151~200 为中度污染;201~300 为重度污染;大于 300 为严重污染.一环保 人士当地某年的 AQI 记录数据中,随机抽取 10 个,用茎叶图记录如图.根据该统 计数据,估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为为 146 . (该年为 365 天)

【考点】茎叶图. 【分析】根据该样本中 AQI 大于 100 的频数求出频率,由此估计该地全年 AQI 大 于 100 的频率与频数. 【解答】解:该样本中 AQI 大于 100 的频数是 4,频率为 , 由此估计该地全年 AQI 大于 100 的频率为 , 估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 365× =146(天) . 故答案为:146.

15.化简: 【考点】三角函数的化简求值.

=

4sinθ



【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案. 【 解 答 】 解 :

- 13 -

= 故答案为:4sinθ.

=4sinθ,

16.平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P 是平行四边形 ABCD 内一 点,且 AP=1,若 ,则 3x+2y 的最大值为 2 .

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】根据 【解答】解:∵ ∴ = ,得出 , =9x2+4y2+2xy×3×2×(﹣ ) =1,利用基本不等式得出 3x+2y 的最大值.

=(3x+2y)2﹣3?3x?2y≥(3x+2y)2﹣ ×(3x+2y)2 = ×(3x+2y)2; 又 =1,

即 ×(3x+2y)2≤1, 所以 3x+2y≤2,当且仅当 3x=2y, 即 x= ,y= 时, 3x+2y 取得最大值 2. 故答案为:2.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算 过程. 17.已知数列{an}为等差数列,其中 a2+a3=8,a5=3a2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}中,b1=1,b2=2,从数列{an}中取出第 bn 项记为 cn,若{cn}是等比 数列,求{bn}的前 n 项和. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由等差数列的通项公式,可得方程组,

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解得首项和公差,即可得到所求通项公式; (2)求得等比数列{cn}的公比,求得 bn= (3n﹣1+1) ,运用数列求和方法:分组求 和,化简整理,即可得到所求和. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由 a2+a3=8,a5=3a2, 可得 2a1+3d=8,a1+4d=3(a1+d) , 解得 a1=1,d=2, 则 an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)c1=a =a1=1,c2=a =a2=3,

则等比数列{cn}的公比为 3, 则 cn=c1qn﹣1=3n﹣1, 又 cn=a =2bn﹣1,

则 bn= (3n﹣1+1) , 设{bn}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn= (1+3+…+3n﹣1+n) = ( +n)

=



18.张老师 上班,有路线①与路线②两条路线可供选择. 路线①:沿途有 A,B 两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为 , 若 A 处遇到红灯或黄灯, 则导致延误时间 2 分钟; 若 B 处遇到红灯或黄灯, 则导致延误时间 3 分钟;若两处都遇到绿灯,则全程所花时间为 20 分钟. 路线②:沿途有 a,b 两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为 ,若 a 处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间 8 分钟;若 b 处遇到红灯或黄灯, 则导致延误时间 5 分钟;若两处都遇绿灯,则全程所化时间为 15 分钟.

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(1)若张老师选择路线①,求他 20 分钟能到校的概率; (2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?说明 理由. 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)走路线①20 分钟到校,意味着张老师在 A、B 处均遇到绿灯,由此能 求出张老师选择路线①,他 20 分钟能到校的概率. (2)设选择 khxg①延误时间为随机变量 ξ,则 ξ 的所有可能取值为 0,2,3,5, 分别求出相应的概率,从而求出 Eξ=2;设选择路线②延误时间为随机变量 η,则 η 的可能取值为 0,8,5,13,分别求出相应的概率,从而求出 Eη=5.由此求出为 使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②. 【解答】解: (1)走路线①20 分钟到校,意味着张老师在 A、B 处均遇到绿灯, ∴张老师选择路线①,他 20 分钟能到校的概率 p= = .

(2)设选择 khxg①延误时间为随机变量 ξ,则 ξ 的所有可能取值为 0,2,3,5, 则 P(ξ=0)= P(ξ=2)= P(ξ=3)= P(ξ=4)= Eξ= , , , . ,

设选择路线②延误时间为随机变量 η,则 η 的可能取值为 0,8,5,13, P(η=0)= P(η=8)= P(η=5)= P(η=13)= Eη= = , , , , =5.

∴选择路线①平均所花时间为 20+2=22 分钟; 选择路线②平均所花时间为 15+5=20 分钟.
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∴为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②.

19.如图,以 A,B,C,D,E 为顶点的六面体中,△ABC 和△ABD 均为正三角形, 且平面 ABC⊥平面 ABD,EC⊥面 ABC,EC= (1)求证:DE⊥AB; (2)求二面角 D﹣BE﹣A 的余弦值. ,AB=2.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1)设 AB 的中点为 F,连结 DF,CF,则 DF⊥AB,CF⊥AB,从而 AB⊥平 面 CFD,推导出 DF⊥AB,从而 DF⊥平面 ABC,由 DF∥CE,能证明 DE⊥AB. (2)以 F 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 D﹣BE﹣ A 的余弦值. 【解答】证明: (1)设 AB 的中点为 F,连结 DF,CF, ∵△ABC,△ABD 均为等边三角形,∴DF⊥AB,CF⊥AB, ∵DF∩CF=F,∴AB⊥平面 CFD, ∵平面 ABC⊥平面 ABD,DF⊥AB,∴DF⊥平面 ABC, ∵EC⊥平面 ABC,∴DF∥CE, ∴E∈平面 DFC,∴DE? 平面 DFC, ∴DE⊥AB. 解: (2)如图,以 F 为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0) ,E(0, ∴ =(2,0,0) , , ) ,D(0,0, , ) , ) ,A(﹣1,0,0) , ) ,

=(﹣1,

=(﹣1,0,

设平面 ABE 的法向量 =(x,y,z) ,平面 DBE 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 y=1,得 =(0,1,﹣2) ,

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,取 a=

,得 =(

) ,

设二面角 D﹣BE﹣A 的平面角为 θ, 则 cosθ= = , .

∴二面角 D﹣BE﹣A 的余弦值为

20.如图,P 是直线 x=4 上一动点,以 P 为圆心的圆 Γ 经定点 B(1,0) ,直线 l 是圆 Γ 在点 B 处的切线,过 A(﹣1,0)作圆 Γ 的两条切线分别与 l 交于 E,F 两点. (1)求证:|EA|+|EB|为定值; (2)设直线 l 交直线 x=4 于点 Q,证明:|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|.

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)设 AE 切圆于 M,直线 x=4 与 x 轴的交点为 N,则 EM=EB,可得 |EA|+|EB|=|AM|= = = =4;

- 18 -

(2)确定 E,F 均在椭圆

=1 上,设直线 EF 的方程为 x=my+1(m≠0) ,联

立,E,B,F,Q 在同一条直线上,|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1? +y1y2=y2? ﹣y1y2,利用韦达定理,即可证明结论. 【解答】证明: (1)设 AE 切圆于 M,直线 x=4 与 x 轴的交点为 N,则 EM=EB, ∴|EA|+|EB|=|AM|= (2)同理|FA|+|FB|=4, ∴E,F 均在椭圆 =1 上, = = =4 为定值;

设直线 EF 的方程为 x=my+1(m≠0) ,令 x=4,yQ= , 直线与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6my﹣9=0, 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣ ∵E,B,F,Q 在同一条直线上, ∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1? +y1y2=y2? ﹣y1y2, ∴2y1y2=(y1+y2)? , 代入 y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ 成立, ,y1y2=﹣

∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|.

21.已知函数 f(x)=ex﹣ ,a,f(x)为实数. (1)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(0,+∞)上存在极值点,且极值大于 ln4+2,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)先求导,再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案, (2)设极值点为 x0,则极值为 f(x0)= 数的最值得关系即可求出 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)=ex﹣ 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , ﹣ ,多次构造函数,利用导数和函

- 19 -

∴f′(x)=ex+ ∵a>0, ∴f′(x)=ex+



>0 恒成立,

∴f(x)在(﹣∞,0) , (0,+∞)上单调递增, (2)由(1)可知,当 a≥0 时,f(x)在(﹣∞,0) , (0,+∞)上单调递增,函 数无极值点, 当 a<0 时, ∵f(x)在(0,+∞)上存在极值点, ∴f′(x)=ex+ =

设 g(x)=x2ex+a, 则 g′(x)=xex(2+x)>0 在(0,+∞)上恒成立, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=a<0, 设极值点为 x0,则极值为 f(x0)= 由 g(x0)=0,得 a=﹣x02e ∴f(x0)= ﹣ . . ﹣ ,

=(x0+1)e

令 h(x)=(x+1)ex, ∴h′(x)=(x+2)ex, ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增, 而 f(x0)= ∴x0>ln2, 令 φ(x)=﹣x2ex, ∴x0>ln2 时吗,φ(x)=﹣xex(2+x)<0, ∴φ(x)单调递减, ∴a<﹣(ln2)2eln2=﹣2ln22, ∴a 的取值范围为(﹣∞,﹣2ln22) . ﹣ =(x0+1)e >ln4+2=2(ln2+1)=(ln2+1)eln2,

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选修 4-4:坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ,以坐标原点 O

为极点,x 轴的正半轴为极轴的坐标系中,曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ﹣msinθ)+1=0 (m 为常数) . (1)求曲线 C1,C2 的直角坐标方程; (2)设 P 点是 C1 上到 x 轴距离最小的点,当 C2 过点 P 时,求 m 的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化方法求曲线 C1, C2 的直角坐标方程; (2)设 P 点是 C1 上到 x 轴距离最小的点,可得 P(2,3) ,当 C2 过点 P 时,代入 求 m 的值. 【解答】解: (1)曲线 C1 的参数方程为 ﹣2)2+(y﹣4)2=1; 曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ﹣msinθ)+1=0,直角坐标方程为 x﹣my+1=0; (2)P 点是 C1 上到 x 轴距离最小的点,可得 P(2,3) , 当 C2 过点 P 时,代入求得 m=1. ,消去参数,得普通方程(x

选修 4-5:不等式选讲 23.已知 f(x)=|x﹣a|+|x﹣3|. (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若不等式 f(x)≤3 的解集非空,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)当 a=1 时,f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2,即可求 f(x) 的最小值; (2)x∈R 时,恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|(x﹣a)﹣(x﹣3)|=|3﹣a|,不等式 f(x) ≤3 的解集非空,|3﹣a|≤3,即可求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2, ∴f(x)的最小值为 2,当且仅当 1≤x≤3 时取得最小值. (2)∵x∈R 时,恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|(x﹣a)﹣(x﹣3)|=|3﹣a|,
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∴不等式 f(x)≤3 的解集非空,|3﹣a|≤3,∴0≤a≤6.

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