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高中数学人教A版必修5《1.1.3正、余弦定理》课件


复习目标:

正、余弦定理

1、进一步熟悉正余弦定理内容; 2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化; 3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状; 4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。 复习重点:利用正余弦定理进行边角互换 难点:

1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向 2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系 的寻求。

复习回顾
a b c ? ? ? 正弦定理: sinA sinB sinC

2R

变形:a ? 2R sinA, b ? 2R sinB, c ? 2R sinC

a : b : c ? sin A : sin B : sin C

可以解决几类有关三角形的问题?
(1)已知两角和任一边。 AAS

(2)已知两边和一边的对角。SSA

b 2 +c 2 -a 2 cos A= 2bc 余弦定理的作用 a 2 +c 2 -b 2 cos B= 2ac 2 2 2 (1)已知三边求三个角; a +b -c cos C= (SSS) 2ab

(2)已知两边和它们 的夹角,求第三边和 其他两个角. (SAS)

a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC
(3)判断三角形的形状,求三角形的面积

解三角形中常用的关系式:
A+B+C=? ? sin ? A+B? =sinC, cos ? A+B? =-cosC
A+B C A+B C sin = cos ,cos = sin 2 2 2 2 1 S ?ABC = ab sin C=2R 2 sin A sin B sin C 2
角平分线性质
A

圆内接四边形对角互补 D

BD AB = CD AC
B

12

?A+?C=? ?B+?D=?
C A

C

D

B

由余弦定理易得:

2 2 A ? 90 ? a ? b ? c2 2 2 A ? ? a ? ? c2

90

b

2 2 A?90 ? a ?b ? c2

三角形面积计算公式
A

c
b

a

a

b a

c
B

b a
C

底?高 S ? 2

1 1 1 S= ac sin B ? ab sin C ? bc sin A 2 2 2

练习题
a b c 1、在?ABC中, = = =k,那么k= A sin A sin B sin C 1 A、 2R B、 R C、 4R D 、 R 2 ? R是?ABC外接 圆半径 ?
2、在△ABC中,bcosA=acosB,则三角形为 C A、直角三角形 C、等腰三角形 B、锐角三角形 D、等边三角形

3、在△ABC中,若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是 A

A、锐角三角形
C、直角三角形
1 A、若 sin A= ? A=30 2

B、钝角三角形
D、无法确定
1 B、若cosA= ? A=30 2

4、在△ABC中,下列命题正确的是 D C、若a=7,b=6,c=10,则C为锐角 D、满足a=18,b=20,A=150o的△ABC一定不存在 5、在△ABC中,cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为 C A、等边三角形 B、直角三角形

C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形 (事实上,C为钝角,只有C项适合)

6、在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于 C

A、30o

B、60o

C、120o

D、150o

7、在?ABC中,已知B=30 ,b=50 3,c=150,那么?ABC是 D

A、等边三角形 C、等腰三角形

B、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

tanA sin A 9、?ABC中, = ,那么三角形是___________ 等腰三角形 tanB sin B

10、在△ABC中,A、B均为锐角,且cosA>sinB,则 △ABC是_______________ 钝角三角形 即sin(900 ? A) ? sin B

11、在?ABC中,sinA=2cosBsinC,那么?ABC 等腰三角形 是_______________
12、已知?ABC中,AB= a 2 +b 2 ,AC= a 2 +c 2 ,BC= b 2 +c 2 , 锐 角三角形。 其中a,b,c>0,那么?ABC是____

例1、在?ABC中,已知a=4,b=5,S?ABC =5 3,求c的值。 1 解:S= ab sin C, a=4,b=5,S=5 3 2 2S 3 ? sinC= = ? C=60 或120 ab 2
C=60 ? c2 =a2 +b2 -2abcosC=16+25-20=21

? c= 21
C=120 ? c2 =a2 +b2 -2abcosC=16+25+20=61

? c= 61

例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2, BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积。 D 解:连接BD (例1变式) C

BD2 =AB2 +AD2 -2AB ADcos A=CB2 +CD2 +2CB CDcos A 22 +42 -2 ? 2 ? 4cos A=62 +42 +2 ? 6 ? 4cos A

SABCD =S?ABD +S?BCD 1 1 = AB ADsin A+ BC CDsin C A 2 2 A+C=180 ? sin A=sinC 1 S ABCD = ? AB AD+BC CD ? sin A=16sin A 2

B

1 3 cos A=- ? sin A= 2 2

SABCD =8 3

c 1 例3、在?ABC中,b +c -bc=a 和 = + 3,求A和 tan B的值。 b 2
2 2 2

b +c -a 1 解: cos A= = ? A=60 2bc 2

2

2

2

(三维)

3 1 cos B+ sin B 1 c sin C sin ? 120 -B ? 2 + 3= = = = 2 2 b sin B sin B sin B

1 3 1 + 3= cot B+ 2 2 2

1 ? tan B= 2

1 例4、已知S ?ABC =1, tan B= , tan C=-2,求?ABC的 2 (例1变式) 边长和外接圆面积。 1 5 2 5 解: tan B= ? sinB= , cos B= 2 5 5 2 5 5 tanC=-2 ? sinC= , cosC=5 5 3 sin A=sin ? B+C ? =sinBcosC+ cos BsinC= 5 5 2 5 12 2 2 2 3 S ?ABC =1=2R sin A sin Bsin C=2R = R 5 5 5 25 25 5 3 25? 2 R = ? R= ? S= 12 6 12 15 2 15 a=2R sin A= 3, b= , c= 3 3

tan A- tan B sin A cos B-cos A sin B sin ? A-B ? sin ? A-B ? = = = tan A+ tan B sin A cos B+ cos A sin B sin ? A+B ? sinC

tan A- tan B c-b 例5、在?ABC中,a +b -c =ab,且 = , tan A+ tan B c 试判断三角形的形状。 (三维) a2 +b 2 -c2 1 解: cosC= = ? C=60 2ab 2
2 2 2

c-b sinC-sin B sinC-sin B sin ? A-B ? = ? = c sinC sinC sinC

?sinB=sinC-sin ? A-B? =sin ? A+B? -sin ? A-B? =2cos AsinB 1 cosA= ? A=60 2 ? A=B=C=60 三角形ABC是正三角形

例6、根据所给条件,判断三角形ABC的形状。 (例1变式) a b c = = ?1? a cos A=b cos B ? 2 ? cos A cos B cos C 解: ?1? sin Acos A=sinBcosB ? sin2A=sin2B
? 2A=2B或2A+2B=180 ? A=B或A+B=90

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形 a b c sin A sin B sin C 2) = = ? = = cos A cos B cos C cos A cos B cos C tanA=tanB=tanC

∴△ABC是等边三角形

小结 1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形 的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有 一边),那么这个三角形一定可解。 2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换,即 利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角 的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决。 3、判断三角形的形状,一般考虑从两个方向进行变 形。一个方向是边,走代数变形之路,通常正、余弦 定理结合使用;另一个方向是角,走三角变形之路, 通常是运用正弦定理,要注意边角转化的桥梁---正、余弦定理。

4、根据条件选用定理可使解题简便 1)已知两角及其中一个角的对边,选用正弦定理, 如已知A,B,a解三角形,则用正弦定理。 2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角 3)已知两边和它们的夹角,用余弦定理求第三边 再用正弦定理求角。 4)已知两边和一边的对角,用正弦定理求一个角, 但需要进行讨论,有两解的可能。


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