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复数的几何表示(第一课时)


实数的几何意义
在几何上, 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应

实数 (数 )

数轴上的点 (形 )

想 一 想 ?

类比实数的 表示,可以 用什么来表 示复数?

回 忆

复数的 一般形 式?

z=a+bi(a, b∈R)
实部
虚部



一个复数 由什么确 定?

一、复数的点表示
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a
b
一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

y

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

例1. 下列命题中的假命题是( D)
(A) 在复平面内,对应于实数的点都 在实轴上; (B) 在复平面内,对应于纯虚数的点 都在虚轴上; (C) 在复平面内,实轴上的点所对应 的复数都是实数; (D) 在复平面内,虚轴上的点所对应 的复数都是纯虚数。 原点表示实数0

例2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限, 求实数m的取值范围。
?m ? m ? 6 ? 0 ? 3 ? m ? 2 ? 解:由? 2 得? ?m ? m ? 2 ? 0 ?m ? ?2 或 m ? 1
2

? m ? (?3,?2) ? (1,2)

解题思考: 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)

一种重要的数学思想:数形结合思想

变式:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上, 求实数m的值。

解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2)。
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0

∴m=1或m=-2

二、复数的向量表示
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ
y

z=a+bi Z(a,b)
a
b

o

x

复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: ??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y

| z | = a ?b
2

2

z =a +b i Z (a,b)
O

x

例3:求下列复数的模:

(1)z1=-5i ( 5 ) (2)z2=-3+4i ( 5 ) (3)z3=5-5i (5 2 )
(4)z4=1+mi(m∈R) ( 1 ? m 2 ) (5)z5=4a-3ai(a<0) (-5a )

三、共轭复数
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做 互为共轭复数. 复数 z=a+bi (a,b∈R )的共轭复数记作

z

即 z ? a ? bi

共轭复数的性质
复数z=a+bi (a,b∈R ), 其共轭复数为z ? a ? bi

(1) | z |?| z |

(2) z ? z ? 2a ? R

(3) z ? z ? 2bi ? ? ? ?零实数或纯虚数 2 (4) z z ? z
(5) z1 ? z2 ? z1 ? z2 (6) z1 ? z2 ? z1 ? z2 (7) z1 ? z2 ? z1 ? z2
z1 z1 (8) ? ( ) z2 z2

思考:
(1)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?
(2)这些复数对应的点在复平面上构

成怎样的图形?

y

满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形?
设z=x+yi(x,y∈R)
| z |? x 2 ? y 2 ? 5
–5

5

5 O x

x ? y ? 25
2 2

–5

图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上

y

满足3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样 的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)

5

3
–3
O
5

3

5 x

3? x ? y ?5
2 2

9 ? x ? y ? 25
2 2

–3
–5

图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内

作业: 学海舵手对应练习


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