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广东省汕尾中学2009-2010学年高二上学期期中考试数学理科试题(必修2+必修5)


汕尾中学 2009-2010 学年高二年级第一学期期中考试

(理科)数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1、直线 y ? 2 x ? 3 在 x 轴上的截距是 A.
3 2
2

B.3

C. ?

3 2

D. ? 3

2、已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ? n ? n ,则下面哪一个数是这个数列的一项 A.18 B.21 C.25 D.30

3、函数 y ? log 2 (1 ? x ) 的大致图象是 y y y y

O

1

x

-1 O

x

O

1

x

O 1

x

A.

B.
2 2

C.

D.

4、直角坐标平面内过点 P(2,1)且与圆 x ? y ? 4 相切的直线 A.有两条 B.有且仅有一条
1 x ?1 ? x有

C.不存在

D.不能确定

5、若 x<1,则函数 f ( x ) ? A.最小值 ? 1

B.最大值 ? 1

C.最小值 3

D.最大值 3

6、设数列 ? a n ? 是公差不为 0 的等差数列, a 1 ? 2 且 a1 , a 3 , a 6 成等比数列,则 a 7 ? A. ? 5 B.1 C.5 D.7
x 5 ? y 2 ?1? 0

7、集合 M= {( x , y ) | 0 ? x ? 5 , 0 ? y ? 4} ,从 M 内任取一个元素能使不等式 成立的概率为 A.
1 4

B.

3 4

C.

1 3

D.

2 3

8、关于直线 m , n 与平面 ? , ? ,有以下四个命题: ①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ;

③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; ④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n , A.①② B.③④ 其中正确命题的序号是 C.①④ D.②③

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡相应位置上。 9、若
1 a ? 1 b ? 0 ,则下列不等式:① a ? b ? ab ;② | a | ? | b | ;③ a ? b ;④ b a ? a b ? 2 中,

正确的不等式有 10、 sin 585 ? ? ______________. 11、不等式
4? x 5x ? 2

(填序号).

≥0 的解集是______________.

12、设△ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A (1, 3 )、 B ( 0 , 0 )、 C ( c , 0 ) ,若 ? BAC 为钝角, 则 c 的取值范围是______________. 13、若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则此几何体的体积是
cm .
3

14、若数列 { a n } 满足

a n?2 a n ?1

?

a n ?1 an

? k ( k 为常数) ,则称数列 { a n } 为等比和数列,k 称为该

数列的公比和.已知数列 { a n } 是以 3 为公比和的等比和数列,其中 a 1 ? 1, a 2 ? 2 ,则
a 2009 ? _____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c ,已知 AB ? AC ? 9 ,且

sin B ? cos A sin C .

(1)求 b ; (2)若 b ? c ? 8 ,求△ABC 的面积.

16、 (本题满分 12 分) 已知等比数列 { a n } 的各项都是正数, n 项和为 S n , a 3 ? 4 , S 4 ? S 2 ? 12 , 前 且 求:

(1)首项 a 1 及公比 q 的值; (2)若 b n ? a n ? n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .

17、 (本题满分 14 分) 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每 吨乙产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料 不超过 18 吨,那么该企业如何安排生产可获得最大利润,最大利润是多少?

18、 (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) ? ax
2

? 2 x ? 2a

( a ? 0 ) ,集合 A ? { x | 2

x ?4 x

2

?

1 8

},

(1)若函数 f ( x ) 有最大值为 3,求 a 的值; (2)设不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 B ,且 B ? A ? ? ,求 a 的取值范围.

19、 (本题满分 14 分)学科网 在平面直角坐标系 xo y 中,已知圆 C: ( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ? 4 .
2 2

(1)若直线 l 过点 P(4,0) ,且被圆 C 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)若圆 C 关于直线 m: ax ? 3 by ? 1 ? 0 ( a , b ? 0 ) 对称,求 方程.
4 a ? 1 b

的最小值及直线 m 的

20、 (本题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的各项都是正数,且对任意 n ? N * ,都有
a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? S n ,其中 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和.
3 3 3 3 2

(1)求证: a n ? 2 S n ? a n ; (2)求数列 { a n } 的通项公式; (3)设 b n ? 3 ? ( ? 1)
n n ?1

2

?? ?2

an

( ? 为非零整数, n ? N * ) ,试确定 ? 的值,使得对任

意 n ? N * ,都有 b n ?1 ? b n 成立.

汕尾中学 2009-2010 学年高二年级第一学期期中考试

(理科)数学试题

参考答案与评分标准

(2)由(1)及 b ? c ? 8 得: c ? 5
? cos A ? 3 5 ? s i nA ? 1 2 4 5 b ? c ? sin A ? 1 2 ?3?5? 4 5 ? 6

………7 分 ………9 分 ………12 分

故△ABC 的面积 S ?

16、 (本题满分 12 分) (1)由 S 4 ? S 2 ? 12 ,得 a 3 ? a 4 ? 1 2 ,则 a 4 ? 8 故q ?
a4 a3 ? 8 4 ? 2, a 1 ? a3 q
2

…………3 分

?1

…………6 分

(2)由(1)数列 { a n } 的首项为 1,公比为 2, 所以 S n ?
a 1 (1 ? q )
n

1? q

? 2 ?1
n

………9 分

? T n ? b1 ? b 2 ? b3 ? ? b n ? ( a1 ? 1) ? ( a 2 ? 2) ? ( a 3 ? 3) ? ? ? ( a n ? n ) ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n )

? 2 ?1?
n

n ( n ? 1) 2

………11 分 …………12 分

故数列数列 { b n } 的前 n 项和 T n = 2 ? 1 ?
n

n ( n ? 1) 2



17、 (本题满分 14 分)

解: (1)? a ? 0

? f (x) m a x ?

? 8a

2

?4

? 3

………2 分

4a

整理得: 2 a ? 3 a ? 1 ? 0
2

………3 分 ………5 分
?3

解得: a ? ? 1,或 a ? ? (2)由 2
x ?4x
2

1 2

?

1 8

得2

x ?4 x

2

? 2

即 x ? 4x ? 3 ? 0
2

………6 分 ………8 分

解得: 1 ? x ? 3

故 A ? { x | 1 ? x ? 3}
1? 1 ? 2a a
2

令 f ( x ) =0,解得其两根: x 1 ?
?a ? 0

, x2 ?

1?

1 ? 2a a

2

.

………10 分

? x1 ? 0 , x 2 ? 0 .

? B ? { x | x 1 ? x ? x 2 }.
1? 1 ? 2a a
2

………11 分

? A? B ? ?

则 x 2 ? 1 ,即

? 1,

…………13 分 …………14 分

解得: a ? ? 2 .

20、 (本题满分 14 分) 解: (1)证明:当 n ? 1 时, a 1 ? a 1
3 3 3
3 2

又 a1 ? 0
3 2

? a1 ? 1

……1 分

当 n ? 2 时, a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? S n
3 3 3 3


2

a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? S n ?1



……2 分

①-②得: a n ? S n ? S n ?1
? an
2

3

2

2

? ( S n ? S n ?1 )( S n ? S n ?1 ) ? a n ? ( 2 S n ? S n ?1 )

? 2S n ? an

……4 分

又 ? a 1 ? 1 也满足上式, 故 an ? 2S n ? an (n ? N * ) (2)由(1)知
an
2 2

……5 分 ③ ④ ……6 分

? 2S n ? an
2

当 n ? 2 时, a n ?1 ? 2 S n ?1 ? a n ?1

③-④得:
a n ? a n ?1 ? 2 ( S n ?1 ? S n ) ? a n ? a n ?1 ? 2 a n ? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1
2 2


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