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2 3 1双曲线及其标准方程上课 优质课件

第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学

第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学

第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学

第二章 圆锥曲线与方程

1.在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于 定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线
.这两个定点叫做双曲线的 焦点 , 两 焦 点

之间的距离叫做双曲线的 焦距 .

人 教

A

2.在双曲线的定义中,条件0<2a<|F1F2|不应忽视,若 2a=|F1F2|,则动点的轨迹是 两条射线 ; 若 2a>|F1F2| 则

版 数 学

动点的轨迹 不存在 .

第二章 圆锥曲线与方程

3.双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”,若去

掉定义中“ 绝对值 ”三个字,动点轨迹只能是

双曲线一支 .

4.焦点在

x

轴上的双曲线的标准方程为ax22-by22=1(a>0,

人 教 A 版



b>0),焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为ay22-bx22=1(a>0, 学

b>0).

第二章 圆锥曲线与方程
5.在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为 a2+b2=c2 .
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第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学

第二章 圆锥曲线与方程

[例 1] 过双曲线x42-y42=1 左焦点 F1 的直线交双曲线的



左支于 M、N 两点,F2 为其右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|=

教 A





________.



[解析] 根据双曲线的定义,|MF2|+|NF2| -|MN|= (|MF2|-|MF1|)+(|NF2|-|NF1|)
=2a+2a=4a=4×2=8

第二章 圆锥曲线与方程

P 是双曲线6x42 -3y62 =1 上一点,F1、F2 是双曲线的两个焦



点,且|PF1|=17,则|PF2|的值为________.

教 A







[答案] 33

第二章 圆锥曲线与方程

[解析] 在双曲线6x42 -3y62 =1 中,a=8,b=6,故 c=10.

由 P 是双曲线上一点得,||PF1|-|PF2||=16.





∴|PF2|=1 或|PF2|=33.

A 版



又|PF2|≥c-a=2,∴|PF2|=33.



第二章 圆锥曲线与方程

[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的

人 教

A

点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;

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(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),经过点A(-5,

6).

第二章 圆锥曲线与方程

[解析] (1)由已知得,c=5,2a=8,即 a=4.

∵c2=a2+b2,

∴b2=c2-a2=52-42=9.

人 教

A

∵焦点在 x 轴上,

版 数



∴所求的双曲线标准方程是1x62 -y92=1.

第二章 圆锥曲线与方程

(2)由已知得,c=6,且焦点在 y 轴上,另一焦点坐标是

(0,6).

因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离 人



的差的绝对值是常数 2a,即

A 版





2a=| (-5)2+(6+6)2- (-5)2+(6-6)2|

=|13-5|=8,

得 a=4,b2=c2-a2=62-42=20.

因此,所求的双曲线标准方程是1y62 -2x02 =1.

第二章 圆锥曲线与方程

求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)与椭圆1x62 +2y52 =1 共焦点,且过点(-2, 10).

人 教 A



(2)与双曲线1x62 -y42=1 有公共焦点,且过点(3 2,2).

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第二章 圆锥曲线与方程
[解析] (1)由1x62 +2y52 =1 知焦点为 F1(0,-3),

F2(0,3).

设双曲线的方程为ay22-bx22=1(a>0,b>0),则有

人 教

A



???1a02 -b42=1,

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??a2+b2=9.

∴a2=5,b2=4. ∴所求的双曲线的方程为y52-x42=1.

第二章 圆锥曲线与方程

(2)依题意,设所求的双曲线的方程为

16x-2 k-4+y2 k=1 (-4<k<16),





将(3 2,2)代入得 k=4.

A 版



∴所求的双曲线的方程为1x22 -y82=1.



第二章 圆锥曲线与方程

[点评] (1)利用待定系数法求双曲线的方程,先定型,

再定量.

(2)与双曲线ax22-by22=1 共焦点的双曲线方程可设为a2x-2 k

人 教 A 版



-b2y+2 k=1(-b2<k<a2).



第二章 圆锥曲线与方程

[例 3] 方程9-x2 k+|k|y-2 4=1 表示焦点在 y 轴上的双曲

线,则其半焦距 c 的取值范围是

A.( 5,+∞)

B.{ 13}





(

)

A 版





C.( 5, 13)

D.{ 5}

[答案] A

第二章 圆锥曲线与方程

[解析] 由?????9|k-|-k4<>00 得 k>9,

∴c= a2+b2= 2k-13> 5,故选 A.

人 教

A







第二章 圆锥曲线与方程

方程k+x23+k-y25=1 表示双曲线,则 k 的取值范围是

________.

人 教

A

[答案] (-3,5)

版 数



[解析] 由条件知,(k+3)(k-5)<0,

∴-3<k<5.

第二章 圆锥曲线与方程

[例4] 相距2000m的两个哨所A、B,听到远处传来的

炮弹爆炸声.已知当时的声速是330m/s,在A哨所听到爆炸

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A

声的时间比在B哨所听到时间迟4s,试判断爆炸点在什么样

版 数



的曲线上,并求出曲线的方程.

第二章 圆锥曲线与方程
[分析] 爆炸点与哨所A、B的“距离差”等于声速乘
以两哨所听到爆炸声的“时间差”,且爆炸点距B哨所较
近.
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第二章 圆锥曲线与方程

[解析] 设爆炸点为P,由已知可得

|PA|-|PB|=330×4=1320>0.

因为|AB|=2000>1320,所以点P在以A、B为焦点的双

曲线的靠近B处的那一支上.

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A

建立如图平面直角坐标系,使A、B两点在x轴上,线

版 数



段AB的中点为坐标原点.

由2a=1320,2c=2000得,

a=660,c=1000,b2=c2-a2=564400.

第二章 圆锥曲线与方程
因此,点 P 所在曲线的方程是
435x62 00-564y42 00=1 (x>0). 人 教 A 版 数 学

第二章 圆锥曲线与方程

A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6千米,C在

B正北偏西30°,相距4千米,P为敌炮阵地,某时刻A处发

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A

现敌炮阵地的某种信号,由于B、C两地比A距P地远,因此

版 数



经过1s后,B、C才同时发现这一信号,此信号的传播速度

为4km/s,A若炮击P地,求A阵地炮击的方向角.

第二章 圆锥曲线与方程

[分析] 点P到B、C距离相等,因此点P在线段BC的垂

直平分线上,又|PB|-|PA|=4,因此P在以B、A为焦点的双

曲线的右支上.由交轨法可求P的坐标,进而求炮击的方向

角.

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A







第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 如图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y 轴建立坐标系,则
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第二章 圆锥曲线与方程

B(-3,0)、A(3,0)、C(-5,2 3).

因为|PB|=|PC|,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.

因为 kBC=- 3,BC 中点 D(-4, 3),所以直线

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A

PD:y- 3= 13(x+4).①

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又|PB|-|PA|=4,故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上.

第二章 圆锥曲线与方程

设 P(x,y),则双曲线方程为x42-y52=1(x≥0)②

联立①、②式,得 x=8,y=5 3,所以 P(8,5 3).





因此 kPA= 3.

A 版



故 A 阵地炮击的方向角为北偏东 30°.



第二章 圆锥曲线与方程

[例 5] 在△ABC 中,A、B、C 所对三边分别为 a、b、c, 人



A

B(-1,0)、C(1,0),求满足 sinC-sinB=12sinA 时,顶点 A 的轨

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迹,并画出图形.

第二章 圆锥曲线与方程

[解析] ∵sinC-sinB=12sinA,∴c-b=12a=12×2=1,

即|AB|-|AC|=1<|BC|=2.





∴动点 A(x,y)的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线

A 版





∴??? 22ac′′==21,, ??b′2=c′2-a′2

??a′=12,

∴?

??b′=

3 2.

第二章 圆锥曲线与方程

∴A 点轨迹方程为x12-y32=1. 44

由于 c>b 就是|AB|>|AC|,可知 A 点的轨迹是双曲线的右

人 教

A



支,还需除去点(12,0)如图所示.

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第二章 圆锥曲线与方程

如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:

x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1、F2都外切,求动圆

人 教 A

圆心M的轨迹方程.

版 数



第二章 圆锥曲线与方程

[解析] 圆F1:(x+5)2+y2=1,

∴圆心F1(-5,0),半径r1=1.

圆F2:(x-5)2+y2=42,

∴圆心F2(5,0),半径r2=4.

人 教 A

设动圆M的半径为R,则有

版 数



|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,

∴|MF2|-|MF1|=3.

第二章 圆锥曲线与方程

∴M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支,且 a=32,

c=5.∴b2=c2-a2=941

人 教

A

∴双曲线方程为49x2-49y12=1(x≤-32).

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第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学

第二章 圆锥曲线与方程
一、选择题 1.双曲线y22-x2=1 的两个焦点坐标是
A.F1(0,- 3),F2(0, 3) B.F1(- 3,0),F2( 3,0) C.F1(0,-3),F2(0,3) D.F1(-3,0),F2(3,0)





(

)A 版





第二章 圆锥曲线与方程
[答案] A

[解析] 焦点在 y 轴上 c2=2+1=3,∴c= 3,

∴焦点坐标为(0,± 3).

人 教

A







第二章 圆锥曲线与方程

2.已知两定点F1(-5,0)、F2(5,0),动点P满足|PF1|- |PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为

()

A.双曲线和一直线

人 教

A

B.双曲线和一条射线

版 数



C.双曲线的一支和一条射线

D.双曲线的一支和一条直线

第二章 圆锥曲线与方程

[答案] C

[解析] 当a=3时,|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|=10, 由双曲线定义知,P点轨迹是双曲线的右支.

当a=5时,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|,

人 教 A

∴P点轨迹是以F2为始点的一条射线.

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第二章 圆锥曲线与方程

3.已知双曲线方程为2x02 -y52=1,那么它的焦距为(

)

A.10

B.5





C. 15

D.2 15

A 版





[答案] A

[解析] ∵a2=20,b2=5,c2=25,c=5, ∴焦距2c=10.

第二章 圆锥曲线与方程

二、填空题

4.双曲线y22-x62=1 的两个焦点坐标是________.





[答案] (0,±2 2)

A 版





[解析] a2=2,b2=6,c2=8,∴c=2 2,又焦点在 y

轴上,所以两焦点坐标为(0,±2 2).

第二章 圆锥曲线与方程

5.方程|mx|-2 1+2-y2m=1 表示双曲线,则 m 的取值范围

是________.





[答案] m>2或-1<m<1

A 版



[解析] 方程|mx|-2 1+2-y2m=1 表示双曲线,



则(|m|-1)(2-m)<0,

解得 m>2 或-1<m<1.

第二章 圆锥曲线与方程

6.已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0,-13),双曲 线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24,求双曲线标准

方程.

[解析] 设双曲线方程为:ay22-bx22=1(a>0,b>0)

人 教 A



由已知得,2a=24,∴a=12,c=13,∴b=5,

数 学

∴双曲线的标准方程为:1y424-2x52 =1.


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