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高二数学学修2-2(2.3 数学归纳法)


2.3 数学归纳法

问题提出

1.归纳推理的基本特征是什么?
由个别事实概括出一般结论. 2.综合法,分析法和反证法的基本思想分 别是什么?

综合法:由已知推可知,逐步推出未知. 分析法:由未知探需知,逐步推向已知. 反证法:假设结论不成立,推出矛盾得 证明.

3.归纳推理能帮助我们发现一般结论, 但得出的结论不一定正确,即使正确也 需要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综合法,分析法和反证法虽可证明某些 结论,但都有其局限性,因此,我们非 常需要一个与归纳推理相匹配的证明方 法,使之成为无与伦比的“黄金搭档”.

探究(一):数学归纳法的感性认识

思考1:某人想排队进展览馆参观,不知 自己能否进得去,于是问组织者,答曰; 只要你前一个人能进去,你就能进去.那 么此人能进去参观吗?若每个排队的人 都能进去参观,需要什么条件?
(1)第一个人进去;

(2)若前一个人进去,则后一个人也能 进去.

思考2:有若干块骨牌竖直摆放,若将

它们全部推倒,有什么办法?一般地, 多米诺骨牌游戏的原理是什么?
(1)推倒第一块骨牌; (2)前一块骨牌倒下时能 碰倒后一块骨牌.

思考3:某人姓王,其子子孙孙都姓王吗? 某家族所有男人世代都姓王的条件是什么?

(1)始祖姓王;
(第1代姓王) (2)子随父姓. (如果第k代姓T,则第k+1代也姓T)

思考4:已知数列{an}满足:

an ? 1

的各项能确定吗?上述递推关系只说明什 么问题?若确定数列中的每一项,还需增 加什么条件? 给出第1项; ( 1) 由第 k 项可推出第k+1项. ( 2)

an ? (n∈N*),那么该数列 1 ? an

探究(二):数学归纳法的基本原理

an 思考1:已知数列{an}满足 an?1 ? 1 ? a n 1 ak ? , (n∈N*),假设当n=k时,
k

则当n=k+1时,ak+1等于什么? 2 若假设 ak ? ,则ak+1等于什么? 2k ? 1

ak ? 1

1 ? k ?1

ak ? 1

2 ? 2k ? 1

思考2:若给出a1=1,则数列{an}的通项公式 是什么?若给出a1=2,则数列{an}的通项公 式是什么?如何理解你的结论?

1 an ? n

2 an ? 2n ? 1

思考3:已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an

+3,利用上述思想如何证明数列{an}的通
项公式是an=2n+1-3?

思考4:利用上述思想如何证明:对任 意n∈N*都有等式2+4+6+…+2n= n(n+1)成立? 思考5:上述证明方法叫做数学归纳法,一般 地,用数学归纳法证明一个与正整数n有关 的命题,其证明步骤如何?
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题 成立;

(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立.

思考6:数学归纳法由两个步骤组成,其 中第一步是归纳奠基,第二步是归纳递推, 完成这两个步骤的证明,实质上解决了什 么问题?
逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n 都成立.

理论迁移

例1 用数学归纳法证明:

1 ?2 ?
2 2

n( n ? 1)(2n ? 1) (n∈N*). ?n ? 6
2

例2 已知数列:

1 1 1 , , , 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10
法证明.

1 , , (3n ? 2)(3n ? 1)

试猜想其前n项和Sn的表达式,并用数学归纳

n Sn ? 3n ? 1

小结作业

1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递 推机制,从而间接地验证了命题对从n0 开始的所有正整数n都成立,它能证明 许多与正整数有关的命题,但与正整数

有关的命题不一定要用数学归纳法证明,
有些命题用数学归纳法也难以证明.

2.归纳推理能发现结论,数学归纳法 能证明结论,二者强强联合,优势互补, 在解决与正整数有关的问题时,具有强 大的功能作用.但在数学归纳法的实施

过程中,还有许多细节有待进一步明确
和认识.

作业:

P95练习:1,2.


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