当前位置:首页 >> >>

随机过程_图文

随 机 过 程
1

第十章 随机过程及其统计描述
关键词: 随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数自协方差函数 互相关函数互协方差函数 正态过程 独立增量过程 维纳过程

泊松过程

2

§1 随机过程的概念
随机过程被认为是概率论的“动力学”部分,即它 随机过程 的研究对象是随时间演变的随机现象,它是从多维随机 变量向一族(无限多个)随机变量的推广。 给定一随机试验E,其样本空间S={e},将样本空间 中的每一元作如下对应,便得到一系列结果:
e → X (e), 即X —— 一维随机变量

e → ( X (e), Y (e)), 即( X , Y ) ——二维随机变量
e → ( X 1 (e), X 2 (e),L X n (e)), 即( X 1 , X 2 ,L , X n ) ——n维随机变量

e → ( X 1 (e), X 2 (e),L), 即( X 1 , X 2 ,L) ——随机序列
e → ( X (e, t ) t ∈ (?∞, +∞)),
即( X (t ), t ∈ (?∞, +∞)) ——随机过程
3

一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容,而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到,它的每一样本点所对应的,是一个数列或是一个关于t的函数。

定义:设T 是一无限实数集,X (e, t ), e ∈ S , t ∈ T } 是对应于e和t的实数, { 即为定义在S 和T 上的二元函数。 则称 { X (e, t ), e ∈ S , t ∈ T } 是随机过程; 若此函数对任意固定的t ∈ T , X ( e, t ) 是一个随机变量,

对于随机过程 { X (e, t ), e ∈ S , t ∈ T } 进行一次试验,即e给定, 它是t的函数,称为随机过程的样本函数。

T 为参数集,对固定的e和t , X (e, t )称为过程的状态; X (e, t )所有可能的值的全体称为状态空间;
4

今后将X (e, t )简记为X (t )

例1:抛掷一枚硬币的试验,样本空间是S={H,T},现定义:

?cosπ t 当出现H X (t ) = ? 当出现T ?t

t ∈ ( ?∞, +∞ ),其中P( H ) = P(T ) = 1 2

则{ X (t ), t ∈ ( ?∞, +∞ )} 是一随机过程。

解:对任意固定的t , X (t )是随机变量,取值为cosπ t和t
此随机过程的样本函数只有两个,即X 1 (t ) = cosπ t , X 2 (t ) = t
X (t )
X 2 (t )

P ( X (t ) = cosπ t ) = P ( X (t ) = t ) = 1 2

X 1 (t )

1

2

3

4

t

5

例2:考虑 X (t ) = α cos(ω t + Θ), t ∈ ( ?∞, +∞ ) , 式中α 和ω 是 正常数,Θ是在(0, 2π )上服从均匀分布的随机变量, 这是一个随机过程。 对每一固定的时刻t , X (t ) = α cos (ω t + Θ)是随机变量Θ的函数, 从而也是随机变量。它的状态空间是[-α , α ]. 在(0, 2π )内随机取一数θ , 相应的就得到一个样本函数 x(t ) = α cos (ω t + θ ), 这族样本函数的差异在于它们相位θ的不同, 故这一过程称为随机相位正弦波。

6

例3:设X (t ) = Vcosω t t ∈ ( ?∞, +∞ ) 其中ω 是常数; V 在[0,1]上服从均匀分布,则X (t )是一个随机过程。 对每一固定的t,X (t ) = Vcosω t是随机变量V 乘以常 数cosω t,故也是随机变量,对[0,1]上随机变量取一v值, 就得到相应的一个样本函数x(t ) = vcosω t.

7

例4:设某城市的120急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。 以X (t )表示时间间隔 ( 0, t ]内接到的呼叫次数, 它是一个随机变量,且对于不同的t ≥ 0,X (t )是不同 的随机变量,于是 { X (t ), t ≥ 0} 是一随机过程,且它的 状态空间是 {0,1, 2,L} .
x (t )

x2 (t )
4

x1 (t )

3
2

1

t1' t1

t2

' t2

t3

' t3

' t4

t4

t

8

例5:考虑抛掷一颗骰子的试验:
(1) 设X n是第n次(n ≥ 1)抛掷的点数,对于n = 1, 2,L的不同值, X n是随机变量,服从相同的分布,P( X n = i ) = 它的状态空间为{1,2,3,4,5,6}。 因而 { X n , n ≥ 1} 构成一随机过程,称为伯努利过程或伯努利随机序列,
1 6

, i = 1, 2,3, 4,5, 6

(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数, Yn , n ≥ 1} 也是 { 一随机过程,它的状态空间仍是 {1, 2,3, 4,5, 6}。 下面分别给出它们的一条样本函数:
xn yn

6 5 4 3 2 1

(1)

xn

6 5 4 3 2 1
n

(2)
yn

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

n

随机过程的分类: 随机过程的分类:
随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类,参数集T 可分为离散集和连续集两种情况,任一时刻的状态分别为离散型随 机变量和连续型随机变量两种:

1. 2. 3. 4.

连续参数连续型的随机过程,如例2,例3 连续参数离散型的随机过程,如例1,例4 离散参数离散型的随机过程,如例5 离散参数连续型的随机过程,

例子如下:对于随机相位正弦波, 若只在时间集T = { t , 2 t ,L n t ,L} 上观察X (t ),就得到 随机序列{ X 1 , X 2 ,L , X n ,L} , X n = X (n t )是连续型随机变量。
10

§2 随机过程的统计描述

?分布函数 两种描述 ? ?特征数

(一) 随机过程的分布函数族 设随机过程 { X (t ), t ∈ T } , 对每一固定的t ∈ T , FX ( x, t ) = P { X (t ) ≤ x},x ∈ R,称为随机过程 { X (t ), t ∈ T }的一维分布函数 { FX ( x, t ), t ∈ T } 称为一维分布函数族
一般地,对任意n(n = 2,3,L)个不同的时刻,t1 , t2 ,Ltn ∈T n维随机变量 ( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) )的分布函数:xi ∈ R, i = 1, 2,Ln

{FX ( x1, x2 ,L xn ; t1, t2 ,Ltn )

称为随机变量{ X (t ), t ∈T }的n维分布函数

FX ( x1 , x2 ,L xn;t1 , t2 ,Ltn ) = P { X (t1 ) ≤ x1 , X (t2 ) ≤ x2 ,L X (tn ) ≤ xn }, ti ∈T } 称为{ X (t ), t ∈T }的n维分布函数族

一般地,FX ( x1 , x2 ,L xn ; t1 , t2 ,L tn ), n = 1, 2,L ti ∈ T } { 称为随机过程 { X (t ), t ∈ T }的有限维分布函数族
11

它完全确定了随机过程的统计特性

例1:抛掷一枚硬币的试验,定义一随机过程:
?cos π t 出现H X (t ) = ? t ∈ ( ?∞, +∞ ),设P( H ) = P(T ) = 1 , 2 出现T ?t 试确定X (t )的: (1) 一维分布函数 F ( x;0),F ( x;1); (2) 二维分布函数 F ( x1 , x2 ;0,1); ? 0 x<0 ?1 ? 故F ( x; 0) = ? 0 ≤ x <1 2 ? ? 1 x ≥1 ?
? 0 x < ?1 ?1 ? 故F ( x;1) = ? ?1 ≤ x < 1 2 ? ? 1 x ≥1 ?

?1 出现H 解:X (0) = ? ?0 出现T

? ?1 出现H X (1) = ? ?1 出现T

12

例1:抛掷一枚硬币的试验,定义一随机过程:
?cos π t 出现H X (t ) = ? t ∈ ( ?∞, +∞ ),设P( H ) = P(T ) = 1 , 2 出现T ?t 试确定X (t )的: (1) 一维分布函数 F ( x;0),F ( x;1); (2) 二维分布函数 F ( x1 , x2 ;0,1); X 2 (t ) X (t ) 出现H
X 1 (t )

?(1, ?1) ( X (0), X (1) ) = ? ? ?( 0, 1) 出现T ?

1
?0 x1 < 1且x2 < 1 ? x1 < ?1或x2 < 0 ? 故F ( x1 , x2 ; 0,1) = ? ?1 x1 ≥ 1且x2 ≥ 1 ? 1 其他 ?2

2

3

4

t

x2

x1

13

例2:设随机过程X (t ) = Vcosω t , t ∈ ( ?∞, +∞ ),V 在[0,1]上均匀分布 求在t = 0, π , 3π , π , π 时X (t )的密度函数。 4ω 4ω ω 2ω 解:对给定的t , 若cosω t ≠ 0, 记a = cosω t, 则X (t ) = aV 的密度函数为: ? 1 0 < x <1 ? a f X ( x; t ) = fV x ? 1 = ? a a a ? 其他 ?0 ?1 0 < x < 1 a = cosω ? 0 = 1 于是 f X ( x;0 ) = ? ?0 其他 ? 2 π =? 2 0< x< 2 π = 2 , f X x; a = cosω ? ? 4ω 4ω 2 ?0 其他 ? ? 2 3π = ? 2 , f x; 3π = ? 2 ? 2 < x < 0 a = cosω ? ? X 4ω 4ω 2 ?0 其他 ? π = ?1 ? 1 < x < 0 π = ?1, f X x; ? a = cosω ? ω 其他 ω ?0

( )

(

)

(

)

a = cosω ? π = 0, 2ω

( ) P { X ( π ) = 0} = 1 2ω

14

(二) 随机过程的数字特征 二
给定随机过程 { X (t ), t ∈ T } ,
2 σ X (t ) = DX (t ) = E {[ X (t ) ? ? X (t )]2 } ---方差函数 2 σ X (t ) = σ X (t ) ---标准差函数 2 ? X (t ) = E[ X (t )] ? ? ? ? ? 均值函数 ψ X (t ) = E[ X 2 (t )] ? ? ? ? ? 均方值函数

又设任意t1 , t2 ∈ T RXX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] ? ? ? ? ? (自)相关函数 C XX (t1 , t2 ) = Cov[ X (t1 ), X (t2 )] = E {[ X (t1 ) ? ? X (t1 )][ X (t2 ) ? ? X (t2 )]} ? ? ? ? ? (自)协方差函数
2 ψ X ( t ) = RX ( t , t )

各数字特征之间的关系如下:
C X ( t1 , t2 ) = RX ( t1 , t2 ) ? ? X ( t1 ) ? X ( t2 )

σ

2 X

( t ) = C X ( t , t ) = RX ( t , t ) ? ? ( t )
2 X

15

定义: 随机过程 { X (t ), t ∈ T },如果对每一t ∈ T , E[ X 2 (t )]都存在, 则称X (t )是二阶矩过程, 二阶矩过程的均值函数和相关函数总是存在的。

定义:

{ X (t ), t ∈ T } 是一随机过程,若它的每一个有限维分布
都是正态分布,即对任意整数n ≥ 1及任意t1 , t2 ,L tn ∈ T ,

( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) ) 服从n维正态分布, 则称 { X (t ), t ∈ T } 是正态过程

正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。

16

例3:设A, B是两个随机变量,试求随机过程: 如果A, B相互独立,且A ~ N (1, 4 ) , B ~ U ( 0, 2 ) , 问X (t )的均值函数和自相关函数又是怎样的? X (t ) = At + 3B, t ∈ T = ( ?∞, +∞ )的均值函数和自相关函数。

解: ? X (t ) = E [ X (t ) ] = tE ( A) + 3E ( B)

RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )]= t1t2 E ( A2 ) + 3(t1 + t2 ) E ( AB ) + 9 E ( B 2 ) t1 , t2 ∈ T
当A

N (1, 4 ) , B U ( 0, 2 ) 时, ( A) = 1, E ( A2 ) = 5, E ( B ) = 1, E ( B 2 ) = 4 E 3
又因为A, B独立, 故E ( AB) = E ( A) E ( B) = 1

? ? X (t ) = t + 3, RX (t1 , t2 ) = 5t1t2 + 3(t1 + t2 ) + 12

t1 , t2 ∈ T

17

例4:求随机相位正弦波X (t ) = acos (ω t + Θ) ? ∞ < t < +∞,

( Θ在(0, 2π )上均匀分布)的均值函数、方差函数和自相关函数。
0 < Θ < 2π 其他

? 1 ? 解:由假设Θ的概率密度为: f ( Θ ) = ? 2π ?0 ?

2π 于是? X (t ) = E[ X (t )] = E ? acos (ω t + Θ ) ? = acos (ω t + θ ) ? 1 dθ = 0 ? ? ∫0 2π

RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[a 2 cos (ω t1 + Θ)cos (ω t2 + Θ)]
=a
2





0

cos(ω t1 + θ )cos(ω t2 + θ ) ? 1 dθ 2π

a 2 cosω (t ? t ) = 2 1 2

a 2 cosωτ === 2
2 2 2 σ X (t ) = RX (t , t ) ? ? X (t ) = RX (t , t ) = a 2

τ =t2 ?t1

18

例5:设X (t ) = A + Bt + Ct 2 , t ∈ ( ?∞, +∞ ) , 其中A, B, C是 相互独立,且都服从正态分布N (0, σ 2 )的随机变量, 试证明X (t )是正态过程,并求它的均值函数和自相关函数。

解:X (t )是正态过程
? 对任意一组实数t1 , t2 ,L tn ∈ T , ( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) ) 服从n维正态分布

? 对任意一组数 u1 , u2 ,L un , u1 X (t1 ) + u2 X (t2 ) + L + un X (tn )服从一维正态分布

而u1 X (t1 ) + u2 X (t2 ) + L + un X (tn ) = A∑ ui + B ∑ ui ti + C ∑ ui ti2
i =1 i =1 i =1

n

n

n

因为A, B, C是相互独立的正态变量,故( A, B, C )是三维正态变量,

A∑ ui + B ∑ ui ti+C∑ ui ti2是A, B, C的线性组合,
i =1 i =1 i =1

n

n

n

因此它服从一维正态分布,

所以X (t )是正态过程



19

下面计算均值函数和自相关函数:
因为E ( A) = E ( B ) = E (C ) = E ( AB) = E ( AC ) = E ( BC ) = 0,

E ( A2 ) = E ( B 2 ) = E (C 2 ) = σ 2
= E ( A) + E ( B )t + E (C )t 2 = 0 故? X (t ) = E { A + Bt + Ct }
2

C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 )
2 = E[( A + Bt1 + Ct12 )( A + Bt2 + Ct2 )]

= σ 2 (1 + t1t2 + t12t2 2 )
20

(三) 二维随机过程的分布函数和数字特征 三
设X (t ), Y (t )是依赖于同一参数t ∈ T的随机过程, 对于不同的t ∈ T ,(X (t ), Y (t ))是不同的二维随机变量, 称 { X (t ), Y (t ) t ∈ T } 为二维随机过程
' 给定二维随机过程 { X (t ), Y (t ) t ∈ T },t1 , t2 ,L tn ; t1' , t1' ,L tm是T中任意两组实数,

' ' 则n + m维随机变量 ( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ); Y (t1' ), Y (t2 ),LY (tm ) )的 ' ' 分布函数:F ( x1 , x2 ,L xn ; t1 , t2 ,L tn ; y1 , y2 ,L ym ; t1' , t2 ,L tm )

称为二维随机过程的n + m维分布函数

给定二维随机过程 { X (t ), Y (t ) t ∈ T }
' 对任意的正整数n, m,任意的数组t1 , t2 ,L tn ∈ T ; t1' , t1' ,L tm ∈ T ' ' n维随机变量 ( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) ) 与m维随机变量 (Y (t1' ), Y (t2 ),LY (tm ) )

相互独立,称随机变量X (t )和Y (t )是相互独立的
21

关于数字特征,除了X (t ), Y (t )各自的均值函数和自相关函数, 还有如下两个数字特征:

RXY (t1 , t2 ) = E[ X (t1 )Y (t2 )] t1 , t2 ∈ T RYX (t1 , t2 ) = E[Y (t1 ) X (t2 )] t1 , t2 ∈ T

互相关函数

C XY (t1 , t2 ) = E {[ X (t1 ) ? ? X (t1 )][Y (t2 ) ? ?Y (t2 )]} = RXY (t1 , t2 ) ? ? X (t1 ) ?Y (t2 ) CYX (t1 , t2 ) = RYX (t1 , t2 ) ? ?Y (t1 ) ? X (t2 ) t1 , t2 ∈ T t1 , t2 ∈ T

互协方差函数

如果二维随机过程 ( X (t ), Y (t ) ) 对任意的t1 , t2 ∈ T , 恒有C XY (t1 , t2 ) = 0, 称X (t )和Y (t )是不相关的。
22

例6:随机过程W (t )是三个随机过程X (t ), Y (t ), Z (t )之和, 已知? X (t ), ?Y (t ), ? Z (t ), RX (t1 , t2 ), RY (t1 , t2 ), RZ (t1 , t2 ), RXY (t1 , t2 ), RYZ (t1 , t2 ), RZX (t1 , t2 ),求?W (t ), RW (t1 , t2 ).

解:W (t ) = X (t ) + Y (t ) + Z (t )

?W (t ) = ? X (t ) + ?Y (t ) + ? Z (t )
RW (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 ) + RZ (t1 , t2 )

+ RXY (t1 , t2 ) + RYX (t1 , t2 ) + RXZ (t1 , t2 )
+ RZX (t1 , t2 ) + RYZ (t1 , t2 ) + RZY (t1 , t2 ) 特别的,若? X (t ) = ?Y (t ) = ? Z (t ) = 0,X (t ), Y (t ), Z (t )两两不相关
即RXY (t1 , t2 ) = ? X (t1 ) ?Y (t2 ) = 0, RXZ (t1 , t2 ) = 0, RYZ (t1 , t2 ) = 0

则RW (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 ) + RZ (t1 , t2 )
23

§3 泊松过程及维纳过程
给定二阶矩过程 { X (t ), t ≥ 0},对s, t,若0 ≤ s < t 称随机变量X (t ) ? X ( s )为随机过程在区间( s, t ] 上的增量; 对任意选定的正整数n和任意选定的0 ≤ t0 < t1 < L < tn , 称 { X (t ), t ≥ 0} 为独立的增量过程; n个增量X (t1 ) ? X (t0 ), X (t2 ) ? X (t1 ),L X (tn ) ? X (tn ?1 )相互独立,

直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立” 的这一特征;
若对任意的实数 h 和 0 ≤ s + h < t + h, X (t + h) ? X ( s + h) 与 X (t ) ? X ( s ) 具有相同的分布,称增量具有平稳性; 这时,增量X (t ) ? X ( s )的分布函数与X (t ? s ) ? X (0)的分布函数相同, 即只依赖于时间差t ? s (0 ≤ s < t ), 而不依赖于t和s本身,
24

当增量具有平稳性时,称相应的独立增量过程是齐次的;

独立增量过程的性质:
若{ X (t ), t ≥ 0} 是独立增量过程,且X (0) = 0, 则:
1. X (t )的有限维分布函数族可以由增量X (t ) ? X ( s ) (0 ≤ s < t )的 分布所确定;

事实上,对任意的n及任意的t1 , t2 ,L tn,不妨设t1 < t2 < L < tn ,则:

( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) )

n ? ? = ? X (t1 ) ? X (0), ( X (t2 ) ? X (t1 ) ) + X (t1 ) ? X (0)),..., ∑ ( X (ti ) ? X (ti ?1 ) ) ? i =1 ? ? 即( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) )的分布函数可由:

( X (t1 ) ? X (0), X (t2 ) ? X (t1 ),L , X (tn ) ? X (tn?1 ) )的分布函数确定

25

2. 设DX (t )已知,则C X ( s, t ) = DX ( min( s, t ) )
证明:记Y (t ) = X (t ) ? ? X (t ),则当X (t )具有独立增量性时,

Y (t )也具有独立增量性, Y (0) = 0, E[Y (t )] = 0, DY (t ) = DX (t ) 且

设s < t , 则 C X ( s, t ) = E[Y ( s)Y (t )]
= E {[Y ( s ) ? Y (0)][Y (t ) ? Y ( s )] + [Y ( s ) ? Y (0)]2 }

= E {[Y ( s ) ? Y (0)][Y (t ) ? Y ( s )]} + E ?Y 2 ( s ) ? ? ? = E [Y ( s ) ? Y (0)] E [Y (t ) ? Y ( s )] + E[Y 2 ( s )] = DX ( s )
同理当t < s时, 可证得C X ( s, t ) = DX (t )
26

(一) 泊松分布
以N (t ) t ≥ 0表示在时间间隔 ( 0, t ]内出现得质点数,

{ N (t ), t ≥ 0} 是一状态取非负整数、时间连续的随机过程,
称为计数过程。

N(t)
等 间 隔

表示时间间隔 ( t0 , t ]内出现的质点数, 为 Pk (t0 , t ) = P { N (t0 , t ) = k} k = 0,1, 2L
t1

N (t0 , t ) = N (t ) ? N (t0 ) 0 ≤ t0 < t



t2

t3

t4

t5

间隔的

定义:计数过程N (t )满足如下条件,称作强度为λ的泊松过程。

1. 在不相重叠的区间上的增量具有独立性

2. 对于充分小的?t , P (t , t + ?t ) = P { N (t , t + ?t ) = 1} = λ?t + o(?t ) 1 其中常数λ , 称为常数N (t )的强度

3. 对于充分小的?t, Pj (t , t + ?t ) = ∑ P { N ( t , t + ?t ) = j} = o(?t ) ∑
j =2 j =2





4. N (0) = 0
28

若N (t )是强度为λ的泊松过程, 即N ( t0 , t ) π [ λ(t ? t0 )] 则:Pk (t0 , t ) = P{ N ( t0 , t ) = k}

[λ(t ? t0 )] =

k

e?λ (t ?t0 )

k!

k = 0,1,2,L

证明:P0 ( t0 , t + ?t ) = P0 ( N ( t0 , t + ?t ) = 0 ) = P0 ( N ( t0 , t ) + N ( t , t + ?t ) = 0 )

= P0 ( N ( t0 , t ) = 0, N ( t , t + ?t ) = 0 ) == P0 ( t0 , t ) P0 ( t , t + ?t )
条件1

=== P0 ( t0 , t ) ?1 ? λ?t + o ( ?t ) ? ? ?
即P0 ( t0 , t + ?t ) ? P0 ( t0 , t ) = ?λ P0 ( t0 , t ) ?t + o ( ?t )

条件 2, 3

等式两边除以?t,令?t → 0,得:

dP0 ( t0 , t ) = ?λ P0 ( t0 , t ) dt
由N (t0 , t0 ) = 0 ? P0 (t0 , t0 ) = 1,即为初始条件

解得:P0 (t0 , t ) = e ? λ (t ?t0 )

t > t0

29



再来计算Pk (t0 , t )
k

k ≥1

= ∑ P ( N ( t , t + ?t ) = j ) P ( N ( t 0 , t ) = k ? j )
j =0

Pk (t0 , t + ?t ) = Pk ( N ( t0 , t ) + N ( t , t + ?t ) = k )
k

= P0 ( t , t + ?t ) Pk ( t0 , t ) + P ( t , t + ?t ) Pk ?1 ( t0 , t ) + ∑ Pj ( t , t + ?t ) Pk ? j ( t0 , t ) 1 = ?1 ? λ?t + o ( ?t ) ? Pk ( t0 , t ) + ? λ?t + o ( ?t ) ? Pk ?1 ( t0 , t ) + o ( ?t ) ? ? ? ? Pk (t0 , t + ?t ) ? Pk (t0 , t ) = ? ?λ Pk ( t0 , t ) + λ Pk ?1 ( t0 , t ) ? ?t + o ( ?t ) ? ?
j =2

两边除以?t,令?t → 0,得:

dPk ( t0 , t ) = ?λ Pk ( t0 , t ) + λ Pk ?1 ( t0 , t ) dt

t > t0
? λ ( t ? t0 )

初始条件Pk ( t0 , t0 ) = 0,k ≥ 1

令k = 1, 即可解得P ( t0 , t ) = λ ( t ? t0 ) e 1

t > t0

如此重复,即逐次令k = 2,3,L 就可求得: 在 [t0 , t ]内出现k 个质点的概率为: Pk ( t0 , t ) = P ( N ( t0 , t ) = k )

[ λ (t ? t0 )] =
k!

k

e ? λ ( t ?t0 ) t > t0 , k = 0,1, 2L

证毕

30

由此可见,增量N (t0 , t )的概率分布是参数为λ(t ? t0 )的泊松分布, 且只与时间差t ? t0有关,所以强度为λ的泊松过程是一齐次的独立增 量过程。

泊松过程也可用另一形式定义: 若计数过程 { N (t ), t ≥ 0} 满足下列三个条件: 1. 它是独立增量过程 2. 对任意的t > t0 ≥ 0, 增量N (t ) ? N (t0 ) π ( λ ( t ? t0 ) ) 3. N (0) = 0 则称 { N (t ), t ≥ 0} 是一强度为λ的泊松过程

31

1. E ? N ( t0 , t ) ? = E { N ( t ) ? N ( t0 )} = λ ( t ? t0 ) ? ?
2. D ? N ( t0 , t ) ? = D ? N ( t ) ? N ( t0 ) ? = λ ( t ? t0 ) ? ? ? ? 特别地,t0 = 0,由假设N ( 0 ) = 0,可得:

强度为λ的泊松过程的数字特征:

? N ( t ) = E ? N ( t ) ? = λt , DN ( t ) = D ? N ( t ) ? = λt ? ? ? ?
3. CN ( s, t ) = DN ( min ( s, t ) ) = λ min ( s, t ) s, t ≥ 0
s, t ≥ 0
32

4. RN ( s, t ) = CN ( s, t ) + ? N ( s ) ? N ( t ) = λ min ( s, t ) + λ 2 st

例7:设{N (t ), t ≥ 0}服从强度为λ的泊松过程,求 (1) P{N (5) = 4}; (2) P{N (5) = 4, N (7.5) = 6, N (12) = 9}; (3) P{N (12) = 9 N (5) = 4}; (4) E[ N (5)], D[ N (5)], Cov[ N (5), N (12)].

问题:求 P{N (5) = 4 N (12) = 9}

解: P ? N ( 5 ) = 4 ? = (5λ ) 4 e ?5λ 4! (1) ? ?
(2) P ? N ( 5 ) = 4, N (7.5) = 6, N (12) = 9 ? ? ?

P ? N ( 5 ) = 4, N (7.5) ? N (5) = 2, N (12) ? N (7.5) = 3? ? ? = [(5λ ) 4 e ?5λ 4!][(2.5λ ) 2 e ?2.5λ 2!][(4.5λ )3 e ?4.5λ 3!]

(3) P[ N (12) = 9 N (5) = 4] = P[ N (12) ? N (5) = 5 N (5) = 4] = P[ N (12) ? N (5) = 5] = (7λ )5 e ?7 λ 5!

答案: ? 5? C ? ? ? 12 ?
4 9 4

5? ? ?1 ? ? ? 12 ?

9?4

.

(4) E[N(5)]=5λ , D ? N ( 5 ) ? = 5λ , ? ? Cov[ N (5), N (12)] = D ? N ( 5 ) ? = 5λ. ? ?
33

设N ( t ) 是强度为λ的泊松过程
(1)
Wn的分布函数FWn ( t ) = P (Wn ≤ t ) = P ( N ( t ) ≥ n ) 即第n个质点出现的时间 ≤ t ? ( 0, t ]内至少n个质点出现 k ∞ ?∞ ( λ t ) e ? λt t ≥ 0 ? P N t = k) = ∑ 于是FWn ( t ) = ?∑ ( ( ) k! k =n k =n ? t<0 ?0 因此,Wn的概率密度为: n ?1 ∞ ∞ ? dFW ( t ) k k ?1 k +1 k λ ( λt ) n = ∑ k λ t e ? λt ? ∑ λ t e ? λ t = e ? λt t > 0 ? k! k! fWn ( t ) = ? dt ( n ? 1)! k =n k =n ? t≤0 ?0 即Wn 服从Γ ( n, λ ) 分布。
特别地,质点首次出现地等待时间W1服从指数分布: ?λ e ? λ t t > 0 fW1 ( t ) = ? t≤0 ?0

Wn是第n个质点出现的等待时间,下面给出Wn的概率密度 fWn ( t ) ,

34

( 2)

记Ti = Wi ? Wi ?1

i = 1, 2,L

W0 = 0

称为相继出现的第i ? 1个质点和第i个质点的点间间距。 下面来求Ti的分布,设第i ? 1个质点出现的时刻为ti ?1, ? P (Ti ≤ t ) = P ? N ( ti ?1 + t ) ? N ( ti ?1 ) ≥ 1? = 1 ? e ? λt t > 0 ? ? ? 则FTi ( t ) = ? t≤0 ? 0 ? ?λ e ? λ t t > 0 于是Ti的概率密度为:fTi ( t ) = ? t≤0 ?0 即点间间距序列{Ti , i = 1, 2,L} 服从同一个指数分布。

35

定理一:强度为λ的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随 机变量,且服从同一指数分布

定理二:如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立, 且服从同一个指数分布:
?λ e ? λ t t > 0 f (t ) = ? t≤0 ?0

则质点流构成强度为λ的泊松过程

这两个定理刻画出了泊松过程的特征,定理二告诉我 们,要确定一个计数过程是不是泊松过程,只要用统计方 法检验点间间距是否独立,且服从同一个指数分布。
36

(二) 维纳过程
维纳过程是布朗运动的数学模型 维纳过程 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移 的横坐标,且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机 的、相互独立的分子碰撞的结果,于是: (1) 粒子在时段(s,t]上的位移可看作是许多微小位移的 和,根据中心极限定理,假设位移W(t)-W(s)服从正 态分布是合理的。 (2) 由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起 的,这样,在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、 大小和方向可假设相互独立,即W(t)具有独立增量, 同时W(t)的增量具有平稳性。
37

定义:给定二阶矩过程 {W (t ), t ≥ 0},如果它满足: 1. 具有独立增量 2. 对任意t > s ≥ 0,增量W ( t ) ? W ( s ) ~ N ( 0, σ 2 ( t ? s ) ) 且σ > 0 3. W (0) = 0 称此过程为维纳过程

38

维纳过程的性质:

1. 维纳过程是齐次的独立增量过程
2. 维纳过程是正态过程,因此其分布完全由它的均值 函数和自协方差函数(即自相关函数)所确定
3. 维纳过程的数字特征:

?W (t ) = E (W ( t ) ) = 0

DW (t ) = D (W ( t ) ) = σ 2t CW ( s, t ) = RW ( s, t ) = DW ? min ( s, t ) ? = σ 2 min ( s, t ) s, t > 0 ? ?
39

例8:设{W (t ), t ≥ 0}是一个维纳过程, 求X (t ) = W (t +1)-W (t )的均值函数和相关函数。

解:? X (t ) = E[ X (t )] = E[W (t +1)]-E[W (t )] = 0

R( s, t ) = E[W ( s +1) ? W ( s )][W (t +1) ? W (t )]
= E[W ( s +1)W (t + 1)] ? E[W ( s)W (t + 1)] ? E[W ( s+1)W (t )] + E[W ( s)W (t )]

= D (min( s + 1, t + 1)) ? D(min( s, t + 1)) ? D(min( s + 1, t )) + D(min( s, t ))
设s < t,则D(min( s + 1, t + 1))=σ 2 ( s + 1), D(min( s, t + 1)) = σ 2 s, ?σ 2 ( s + 1), t ? s > 1 D(min( s, t )) = σ s, D(min( s + 1, t )) = ? 2 ? σ t, t ? s ≤ 1 类似讨论 s > t的情况,合起来有 t ? s >1 ? 0,
2

于是,R( s, t ) = ? 2 ?σ (1 ? t + s), t ? s ≤ 1

? 0, t ? s >1 ? R ( s, t ) = ? 2 ?σ (1 ? t ? s ), t ? s ≤ 1 ?

40

第十一章 马尔可夫链
关键词: 无后效性(马尔可夫性) 齐次马尔可夫链 n步转移概率 n步转移概率矩阵 C-K方程 马氏链的有限维分布律 遍历性 极限分布(平稳分布)

41

§1 马尔可夫过程及其概率分布
马尔可夫性(无后效性) 过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过 程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处 的状态无关。 通俗地说, 通俗地说,就是在已经知道过程“现在”的条件下,其“将 来”不依赖于“过去”。
用分布函数表述马尔可夫性:

设随机过程 { X (t ), t ∈ T } , 其状态空间为I , 对参数集T中任意n个数值t1 < t2 < L < tn , n ≥ 3, ti ∈ T
P { X (tn ) ≤ xn | X ( t1 ) = x1 L X ( tn ?1 ) = xn ?1} = P { X (tn ) ≤ xn | X ( tn ?1 ) = xn ?1}

则称过程 { X (t ), t ∈ T } 具有马尔可夫性或无后效性, 并称此过程为马尔可夫过程。

例1:设 { X ( t ) , t ≥ 0} 是独立增量过程,且X ( 0 ) = 0 证明:X ( t ) , t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程。 {

证:对T中任意n个数值t1 < t2 < L < tn ?1 < tn ,
P { X (tn ) ≤ xn | X ( t1 ) = x1 ,L , X ( tn ?1 ) = xn ?1}
? X ( t1 ) ? X ( 0 ) = x1 , X ( t2 ) ? X ( 0 ) = x2 , ? ? ? = P ? X (tn ) ? X ( tn ?1 ) ≤ xn ? xn ?1 ? L , X ( tn ?1 ) ? X ( 0 ) = xn ?1 ? ? ? ?

= P { X (tn ) ? X ( tn ?1 ) ≤ xn ? xn ?1 | X ( tn ?1 ) ? X ( 0 ) = xn ?1}

= P { X (tn ) ≤ xn | X ( tn ?1 ) = xn ?1}
由定义知,X ( t ) , t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程。 {

证毕! 证毕!
43

由上例知,泊松过程 泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程, 泊松过程 维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。 维纳过程

时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链 马尔可夫链,简称马氏链, 马尔可夫链 记为:{Xn=X(n),n=0,1,2,…},参数集T={0,1,2,…}, 记链的状态空间为:

I = {a1 , a2 ,L}

ai ∈ R

马尔可夫链用条件分布律来表示为: 对任意的正整数n, r和0 ≤ t1 < t2 < L < tr < m; ti , m, m + n ∈ T, 有:P X m + n = a j | X t1 = ai1 , X t2 = ai2 ,L X tr = air , X m = ai
m+ n

{ = P{X

}

= a j | X m = ai }== Pij ( m, m + n )
记为

44

条件概率: Pij ( m, m + n ) = P ( X m + n = a j | X m = ai ) 称为马氏链在时间m处于状态ai 条件下, 在时间m + n转移到状态a j的转移概率
转移概率性质:


∑ P ( m, m + n ) = 1, j = 1, 2,L
j =1 ij

这是因为链在时刻m以任何一个状态ai出发, 到另一个时刻m + n必然转移到a1 , a2 ,L 诸状态中的某一个。
转移概率矩阵: ? P ( m, m + n ) P ( m, m + n ) P ( m, m + n ) 11 12 13 ? ? P21 ( m, m + n ) P22 ( m, m + n ) P23 ( m, m + n ) P ( m, m + n ) = ? P31 ( m, m + n ) P32 ( m, m + n ) P33 ( m, m + n ) ? L L L ? 此矩阵的每一行元素之和等于1 L? ? L? L? ? L?
45

即Pij ( n ) = Pij ( m, m + n ) = P ( X m + n = a j | X m = ai ) = P ( X n = a j | X 0 = ai ) 称此转移概率为马氏链的n步转移概率; 当转移概率具有这种平稳性时,称此链是齐次马氏链。 在齐次马氏链中,n步转移概率矩阵为:
? P ( n) 11 ? P ( n) P ( n ) = ? 21 ? P31 (n) ? ? L P ( n) 12 P22 (n) P32 (n) L P ( n) L ? 13 ? P23 (n) L ? P33 (n) L ? ? L L?

当Pij ( m, m + n ) 只与i, j及n有关时,把它记为Pij ( n ),

一步转移概率记为:Pij = Pij (1) = P ( X m +1 = a j | X m = ai ) a1 ? P 11 ? a2 ? P21 a3 ? P31 ? M ?L
a
Xm+1的
1

a

Xm 的

P 12 P22 P32 L

2

一步转移概率矩阵记为:P = P (1) =
状 态

P L? 13 ? P23 L ? P33 L ? ? L L?

a

3

L

46

例2:(0-1传输系统)
X0 1 X1 2 X2



Xn-1

n

Xn



如图所示,只传输数字0和1的串联系统中,设每一级的传真率为p, 误码率为q=1-p。并设一个单位时间传输一级,X0是第一级的输入, Xn是第n级的输出(n≥1),那么{Xn,n=0,1,2…}是一随机过程, 状态空间I={0,1},而且当Xn=i为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布 只与Xn=i有关,而与时刻n以前所处的状态无关,所以它是一个马氏 链,而且还是齐次的,它的一步转移概率和一步转移概率矩阵 分别为: ?p j = i Pij = P ( X n +1 = j | X n = i ) = ? i, j = 0,1 ?q j ≠ i

?p P=? ?q

q? p? ?
47

1

2

3

4

5

例3:一维随机游动 一维随机游动。设一醉汉Q(或看作一随机游动的 一维随机游动 质点)在直线上的点集I={1,2,3,4,5}作随机游动, 且仅在1秒、2秒等时刻发生游动,游动的概率规则 是:如果Q现在位于点i(1<i<5),则下一时刻各以 1 3 的概率向左或向右移动一格,或以 1 3 的概率 留在原处;如果Q现在处于1(或5)这一点上,则下 一时刻就以概率1 移动到2(或4)这点上,1和5这 两点称为反射壁,这种游动称为带有两个反射壁的 随机游动。

48

1

2

3

4

5

解:以Xn表示时刻n时Q的位置,不同的位置就是Xn的不同 状态;而且当Xn=i为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布 只与Xn=i有关,而与Q在时刻n以前如何到达i完全无关, 所以{Xn,n=0,1,2 …}是一马氏链,且是齐次的。 它的一步转移概率矩阵为: 如果把1这点改为吸收壁,即Q一旦到达1这一点,则永远留 在点1时,此时的转移概率矩阵为:
1 1 ?0 2 ?1 ?3 P = 3 ?0 ? 4 ?0 5 ?0 ? 2 1
1 3 1 3

3 4 0
1 3 1 3 1 3

5 0? 0? ? 0? 1 ? 3 ? 0? ?

1 1 ?1 2 ?1 ?3 P = 3 ?0 ? 4 ?0 5 ?0 ?

2 0
1 3 1 3

3 4 0
1 3 1 3 1 3

5 0? 0? ? 0? 1 ? 3 ? 0? ?

0 0
1 3 1 3

0 0
1 3 1 3

0 0

0 0

0

1

0

1

49

等候室 随机到达者

服务台 离去者

系统 例4:排队模型 排队模型 设服务系统由一个服务员和只可以容纳两个人的 等候室组成。服务规则为:先到先服务,后来者需在 等候室依次排队,假设一个需要服务的顾客到达系统 时发现系统内已有3个顾客,则该顾客立即离去。

设时间间隔⊿t内有一个顾客进入系统的概率为q, 有一接受服务的顾客离开系统(即服务完毕)的概率为 p,又设当⊿t充分小时,在这时间间隔内多于一个顾 客进入或离开系统实际上是不可能的,再设有无顾客 来到与服务是否完毕是相互独立的。

50

等候室 随机到达者

服务台 离去者

系统

现用马氏链来描述这个服务系统: 设Xn=X(n⊿t)表示时刻n⊿t时系统内的顾客数, 即系统的状态。{Xn,n=0,1,2…}是一随机过程,状态 空间I={0,1,2,3},且如前例2、例3的分析可知,它是 一个齐次马氏链,它的一步转移概率矩阵为:

0 0 ? 1? q ? 1 ? p(1 ? q) P= 2? 0 ? 3? 0 ?

1 q pq + (1 ? p )(1 ? q) p(1 ? q ) 0

2 0 q(1 ? p) pq + (1 ? p)(1 ? q) p(1 ? q)

3 ? ? 0 ? q(1 ? p) ? ? ? pq + (1 ? p) ? 0
51



例5:有甲、乙两袋球,开始时,甲袋有3只球,乙袋有2只 球;以后,每次任取一袋,并从袋中取出一球放入另 一袋(若袋中无球则不取)。Xn表示第n次抽取后甲袋 的球数,n=1,2,….{Xn,n=1,2,…}是一随机过程, 状态空间I={0,1,2,3,4,5},当Xn=i时,Xn+1=j的概率 只与i有关,与n时刻之前如何取到i值是无关的,这 是一马氏链,且是齐次的,一步转移概率矩阵为:
0 1
1 2

2 0
1 2

3 4 0 0
1 2

5 0? ? 0? 0? ? 0? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ?
52



0? 1 2 ? 1? 1 2 2? 0 P= ? 3? 0 4? 0 ? 5? 0 ?

0 0 0
1 2

0
1 2

0
1 2

0 0 0

0
1 2

0 0

0
1 2

0

例6:某计算机机房的一台计算机经常出故障,研究者 每隔15分钟观察一次计算机的运行状态,收集了24个小时 的数(共作97次观察),用1表示正常状态,用0表示不正常 状态,所得的数据序列如下: 11100100111111100111101111110011111111100011 01101111011011010111101110111101111110011011 111100111 设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态,可以认 为它是一个齐次马氏链. 求(1)一步转移概率矩阵; (2)已知计算机在某一时段(15分钟)的状态为0,问在此条 件下,从此时段起,该计算机能连续正常工作45分钟(3个 时段) 的条件概率.

解: (1) 设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态, 可以认为它是一个齐次马氏链,状态空间I={0,1}, 96次状态转移情况是: 0→0:8次; 0→1:18次; 1→0:18次; 1→1:52次; 因此一步转移概率可用频率近似地表示为:

P00 = P ( X n +1 = 0 | X n = 0 ) ≈

8 = 8 , 8 + 18 26

P01 = P ( X n +1 = 0 | X n = 1) ≈ 18 = 18 8 + 18 26 P = P ( X n +1 = 1| X n = 0 ) ≈ 18 = 18 , 10 18 + 52 70 P = P ( X n +1 = 1| X n = 1) ≈ 52 = 52 11 18 + 52 70

?8 ? 26 即: P = ? ? 18 ? 70 ?

18 ? 26 ? ? 52 ? 70 ? ?

(2)某一时段的状态为0,定义其为初始状态,即X 0 = 0, 所求概率为 :

P ( X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1| X 0 = 0 )

= P01 P P 11 11

= 18 52 52 = 0.382 26 70 70

55

定义:记p j ( 0 ) = P { X 0 = a j } a j ∈ I , j = 1, 2,L 称它为马氏链的初始分布。

马氏链在任一时刻n ∈ T = {0,1, 2,L}的一维分布: p j ( n ) = P { X n = a j } a j ∈ I , j = 1, 2,L
性质:

∑ p ( n) = 1
j =1 j
∞ i =1 n



公式: P { X n = a j } = ∑ P { X 0 = ai , X n = a j } = ∑ P { X 0 = ai } P { X n = a j | X 0 = ai }
i =1



p j ( n ) = ∑ pi ( 0 ) Pij ( n )
i =1

n

j = 1, 2,L
56

对于任意n个时刻t1 < t2 < L < tn 马氏链的n维分布:

ti ∈ T ,以及状态ai1 , ai2 ,L ain ∈ I

P X t1 = ai1 , X t2 = ai2 ,L , X tn = ain
= P X t1 = ai1 P X t2 = ai2 | X t1 = ai1 L P X tn = ain | X t1 = ai1 , X t2 = ai2 ,L , X tn?1 = ain?1

{

{

{

} {

}

}
}

= P X t1 = ai1 P X t2 = ai2 | X t1 = ai1 L P X tn = ain | X tn?1 = ain?1

{

} {

}

= pi1 ( t1 ) Pi1i2 ( t2 ? t1 )L Pin?1in ( tn ? tn ?1 )
∞ i =0

{

}

= ∑ pi ( 0 ) Pii1 ( t1 ) Pi1i2 ( t2 ? t1 )L Pin?1in ( tn ? tn ?1 )

马尔可夫链的有限维分布完全由初始分布和转移概率所确定 &&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&
57

§2 多步转移概率的确定
设 { X n , n = 1, 2,L} 是一齐次马氏链,则 对任意的u, v ∈ T1 = {0,1, 2,L} 有: Pij ( u + v ) = ∑ Pik ( u ) Pkj ( v )
k =1 ∞

ak ai
s

aj

0

s+u s+u+v

t

i, j = 1, 2,L

这就是著名的chapman ? kolmogorov方程, 简称C ? K 方程

即"从时刻s所处的状态ai出发,经时段u + v转移到状态a j "
这一事件可分解成: "从X ( s ) = ai出发,先经时段u转移到中间状态ak ( k = 1, 2,L), 再从ak 经时段v转移到状态a j"这样一些事件和
58

C ? K 方程的证明:


Pij ( u + v ) = P { X ( s + u + v ) = a j | X ( s ) = ai }
= ∑ P { X ( s + u ) = ak , X ( s + u + v ) = a j | X ( s ) = ai }
k =1

===∑ P { X ( s + u ) = ak | X ( s ) = ai }
乘法公式



× P { X ( s + u + v ) = a j | X ( s ) = ai , X ( s + u ) = ak }
马氏性

k =1

===

∑ P{X ( s + u ) = a | X ( s) = a } × P{X ( s + u + v) = a | X ( s + u) = a }
k =1 k i j k



齐次性

===

∑ P (u ) P (v )
k =1 ik kj



证毕! 证毕!
59

( P (u )
i1 1j

Pij ( u + v ) 是u + v步转移概率矩阵的 ( i, j ) 元
T

Pi 2 ( u ) Pi 3 ( u )L) 是u步转移概率矩阵的第i行,

( P (v)

P2 j ( v ) P3 j ( v )L) 是v步转移概率矩阵的第j列,

根据矩阵乘法公式, C ? K 方程可以写成矩阵形式: ( u + v ) = P ( u ) P ( v ) P

设P ( n ) 是n步转移概率矩阵

事实上,由 C ? K 方程 ?

则有:P ( n ) = P

n

P ( n ) = P (1) P ( n ? 1) = PP ( n ? 1) = P 2 P ( n ? 2 ) = L = P n 齐次马尔可夫链的有限维分布可 由初始分布与一步转移概率完全确定。 &&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
60

例1:设 { X n , n ≥ 0} 是具有三个状态0,1, 2的齐次马氏链, 一步转移概率矩阵为: 初始分布pi ( 0 ) = P { X 0 = i} = 1 3 i = 0,1, 2 试求:

0 1 2 0? ?1 P = 1? 4 2? 0 ?
3 4 1 4 1 2 3 4

(1) ( 2) ( 3)

P { X 0 = 0, X 2 = 1, X 4 = 1} P { X 2 = 1, X 4 = 1| X 0 = 0}

0? 1? 4? 1? 4?
61

P { X 1 ≠ 0, X 2 ≠ 0, X 3 ≠ 0, X 4 = 0 | X 0 = 0}

解:由C ? K 方程可得二步转移概率矩阵为:
5 ?8 5 P ( 2 ) = P 2 = ? 16 ? 3 ? 16 ? 5 16 1 2 9 16 1 16 3 16 1 4

? ? ? ? ?

(1)
( 2)

P { X 0 = 0, X 2 = 1, X 4 = 1} = p0 ( 0 ) P01 ( 2 ) P ( 2 ) = 1 × 5 × 1 = 5 11 3 16 2 96
P { X 2 = 1, X 4 = 1| X 0 = 0} = P01 ( 2 ) P ( 2 ) = 5 × 1 = 5 11 16 2 32

( 3)

从0出发,经4步 首次回到0状态 = P01 P P P + P01 P P21 P = 1 × 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 3 × 1 = 7 62 11 11 10 12 10 4 2 2 4 4 4 4 4 256

P { X 1 ≠ 0, X 2 ≠ 0, X 3 ≠ 0, X 4 = 0 | X 0 = 0}

例2:在上一节例2中,设初始分布 求:1) 系统二级传输后的传真率与三级传输后的误码率; ( p1 ( 0 ) = P ( X 0 = 1) = p, p0 ( 0 ) = P ( X 0 = 0 ) = 1 ? p, 传真率p = 0.9, 若系统经n级传输后输出为1,则原发字符也是1的概率;

( 2)

? 0.82 0.18? ?0.9 0.1? 2 解:P = ? ? , P ( 2 ) = P = ? 0.18 0.82 ? , ? 0.1 0.9 ? ? ? ?0.756 0.244 ? 3 P ( 3) = P = ? 0.244 0.756 ? ? ?

(1)

P ( 3) = P01 ( 3) = 0.244 10 P ( X 0 = 1) P { X n = 1| X 0 = 1} ( 2 ) P { X 0 = 1| X n = 1} = P ( X n = 1) p1 ( 0 ) P ( n ) 11 = p0 ( 0 ) P01 ( n ) + p1 ( 0 ) P ( n ) 11 续
P ( 2 ) = P00 ( 2 ) = 0.82, 11


63

由于P01 ( n ) = 1 ? P00 ( n ) = 1 ? P ( n ) ,故只要求P ( n ) 即可. 11 11
利用线性代数知识,将P表成对角阵的相似矩阵P = H ∧ H ?1

具体做法:
?p 1. 求出P = ? ?q

? P ( n ) = P n = H ∧ n H ?1

q? ? ( q = 1 ? p )的特征值λ1 = 1, λ2 = p ? q p?

?1? ? ?1? 2. 求出λ1 , λ2 对应的特征向量,X 1 = ? ? , X 2 = ? ? ?1? ?1? 0 ? ?1 ?1 ?1? ?1 1 则∧ = ? , H = [ X1, X 2 ] = ? ? ?,H = 2 ?0 p ? q ? ?1 1 ?

? 1 1? ? ?1 1? ? ?
n

?1 + 2 3. P ( n ) = P n = H ∧ n H ?1 = ? ?1 ? ?2

( p ? q) 1 ? 1 ( p ? q) ? 2 2 ? n n 1 1 1 ? 2 ( p ? q) 2 + 2 ( p ? q) ? n n 于是P ( n ) = 1 + 1 ( p ? q ) , P01 ( n ) = 1 ? 1 ( p ? q ) 11 2 2 2 2 n p + p ( p ? q) 代入可得:P { X 0 = 1| X n = 1} = n 1 + ( 2 p ? 1)( p ? q )
1 2 n

64

§3 遍历性
对于一般的两个状态的马氏链,其一步转移概率矩阵一般可表示为:
0 1 0 ?1 ? a a ? P= ? ? 0 < a, b < 1 1 ? b 1 ? b? 利用类似于例2的方法,可得n步转移概率矩阵为: ? b + a (1 ? a ? b )n a ? a (1 ? a ? b ) n ? P00 ( n ) P01 ( n ) ? ? a+b a+b n P (n) = P = ? =? ? n P ( n ) P ( n ) ? ? b ? b (1 ? a ? b )n 11 a + b (1 ? a ? b ) ? 10 ? a+b a+b ?

? ? ? ? ? ?

n = 1, 2,L

当n → ∞时, ? a ? b ) → 0, (1
n

故 lim P00 ( n ) = lim P ( n ) = 10
n →∞ n →∞

b a+b

记为

π0,

n →∞

lim P01 ( n ) = lim P ( n ) = 11
n →∞

a a+b

记为

π1
65

上述极限的意义是: 对固定的状态j , 不管链在某一时刻从什么状态i ( = 0或1)出发, 通过长时间的转移,到达状态j的概率都趋近于π j , 这就是遍历性。 又由于π 0 + π 1 = 1,所以 (π 0 , π 1 ) 链的极限分布。
记为

π 构成一分布律,称它为

66

一般,设齐次马氏链的状态空间为I , 若对于所有ai , a j ∈ I , 转移概率Pij ( n ) 存在极限: ?π 1 ?π ? 1 lim Pij ( n ) = π j ( 不依赖于i ) 或P ( n ) = P n ??? ? M n →∞ → n →∞ ? ?π 1 ?L ?

π 2 L π j L? π 2 L π j L? ?
M? ? π 2 L π j L? ? L L L L? M M M

则称此链具有遍历性 又若∑π j = 1, 则称π = (π 1,π 2 ,L) 为链的极限分布
j

67

齐次马氏链在什么条件下才具有遍历性?如何求出它的 极 限分布?
定理:设齐次马氏链 { X n ≥ 1}的状态空间为I = {a1 , a2 ,L , aN } , P是它的一步转移概率矩阵, 如果存在正整数m, 使对任意 的ai , ai ∈ I , 都有Pij ( m ) > 0, i, j = 1, 2,L , N , 则此链具有遍历性,且有极限分布π = (π 1 , π 2 ,L , π N ) , 它是方程组 π = π P(即π j = ∑ π i Pij ) 的满足条件
i =1 N

有限链的遍历性的充分条件:

π j > 0, ∑ π j = 1. 的唯一解.
j =1

N

68

在定理的条件下,马氏链的极限分布又是平稳分布, 即若用π 作为链的初始分布,pi ( 0 ) = P ( X 0 = ai ) = π i , i = 1, 2,L N 则链在任一时刻n ∈ T 的分布p ( n ) 永远与π 一致, pi ( n ) = P ( X n = ai ) = π i , i = 1, 2,L , N
N

事实上,

pi (1) = P ( X 1 = ai ) = ∑ P ( X 0 = ak ) Pki
k =1

= ∑ π k Pki = π i
k =1

N

i = 1, 2,L N
N

依次类推, pi ( n ) = P ( X n = ai ) = ∑ P ( X n ?1 = ak ) Pki
k =1

= ∑ π k Pki = π i
k =1

N

i = 1, 2,L N
69

例1:一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是 两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻处于1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵,判断此链是 否具有遍历性,若有,求出极限分布。 1 ?0 1 0? ?1 1 1? 3 3 3 ? 1 1 1 ?, 解:P = 2 ? 3 3 3 ? P ( 2) = P2 = ? 1 7 1 ? , ?9 9 9? 3 ?0 1 0? ?1 1 1? ? ? ?3 3 3?

由定理知,此链有遍历性;设极限分布π = (π 1 , π 2 , π 3 ),
?π 1 = 1 π 2 3 ? 方程组 ?π 3 = 1 π 2 ? π1 = π 2 = π 3 = 1 3 3 ?π + π + π = 1 2 3 ? 1

70

例2:一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是 两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻转移到1和3 的概率各为?。写出一步转移概率矩阵,判断此链是 否具有遍历性,若有,求出极限分布。
?0 解:P = ? 1 ?2 ?0 ? 1 0 1 0? 1 ? 2 ?, 0? ?

一般地, P ( 2n + 1) = P,
? 0?, ? 1 ? 2 ?
1 2

?1 0 2 P ( 2) = P2 = ? 0 1 ? ?1 0 ?2 ?0 1 0? P ( 3) = P ( 2 ) P = ? 1 0 1 ? = P 2 ? ?2 ?0 1 0? ? ?

故对任一固定的j ( j = 1, 2,3), 极限 lim Pij ( n ) 都不存在
n →∞

P ( 2n ) = P ( 2 ) .

按定义,此链不具有遍历性。
71

例3:一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个 吸收壁,当质点处于2时,下一时刻转移到1和3的 概率各为?。写出一步转移概率矩阵,判断此链是 否具有遍历性? 若有,求出极限分布。
?1 解:P = ? 1 ?2 ?0 ? 0 0 0 0? 1 ? 2 ? 1? ? ?1 P ( 2) = P2 = ? 1 ?2 ?0 ?
n →∞

0 0 0

0? 1 ? 2 ? = P 1? ?

因此,P ( n ) = P n = P
n →∞

即 lim Pij ( n ) 存在

但, Pij ( n ) = Pij , 这个极限不仅与j有关,还与i有关 lim 所以,此链不具有遍历性。
72

例4:设有6个球(2个红球,4个白球)随机平分放入甲, 乙两个盒中.今每次从两盒中各任取一球并进行交换. X 0 表示开始时甲盒中的红球数,Xn(n>0)表示经n次交换 后甲盒中的红球数. (1)求此马氏链的初始分布; (2)求一步转移概率矩阵; (3)计算 P ( X 0 = 1, X 2 = 1, X 4 = 0), P ( X 2 = 2) ; (4)判断此链是否具有遍历性,若有,求出极限分布。

73

3 3 1 2 3 解:(1)P ( X 0 = 0) = C4 C6 = 1 5, P( X 0 = 1) = C2C4 C6 = 3 5, 2 1 3 P( X 0 = 2) = C2 C4 C6 = 1 5,

1 2? ?0 即:X 0 ~ ? ? 1 5 3 5 1 5? ?
0 ?1 3 2 3 0 ? (2) P = 1 ? 2 9 5 9 2 9 ? , ? ? 2 ? 0 2 3 1 3? ? ?
0 (3) P(2) = 1 ? 7 27 16 27 4 27 ? ?16 81 49 81 16 81? , ? ? 2 ? 4 27 16 27 7 27 ? ? ?

P ( X 0 = 1, X 2 = 1, X 4 = 0) = P( X 0 = 1) P (2) P (2) 11 10
= 3 5 × 49 81×16 81 = 2352 32805 = 0.072
P( X 2 = 2) = P ( X 0 = 0) P02 (2) + P( X 0 = 1) P (2) + P ( X 0 = 2) P22 (2) 12

= 1 5 × 4 27 + 3 5 ×16 81 + 1 5 × 7 27 = 1 5 = 0.2
74

0 (4) P = 1 2

?1 3 2 3 0 ? 0 ? 2 9 5 9 2 9? , ? ? P (2) = 1 ? 0 2 3 1 3? 2 ? ?

? 7 27 16 27 4 27 ? ?16 81 49 81 16 81? , ? ? ? 4 27 16 27 7 27 ? ? ?

设极限分布π = (π 0 , π 1 , π 2 ), 由定理知,此链有遍历性;
2 ?π 0 = 1 π 0 + 9 π 1 3 ? 5 π1 = 2 π 0 + 9 π1 + 2 π 2 ? 3 3 方程组 ? 2 π 2 = 9 π1 + 1 π 2 3 ? ?π + π + π = 1 ? 0 1 2

5 ? π1 = 3 5 π2 = 1 5
75

π0 = 1

第十二章 平稳随机过程
关键词: (宽)平稳过程 时间均值 时间相关函数 各态历经性 谱密度

76

§1 平稳随机过程的概念
定义:{ X ( t ) , t ∈ T } 是一随机过程, 对任意的n ( n = 1, 2,L),t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h
当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,

( X ( t ) , X ( t ) ,L , X ( t ) ) 和 ( X ( t + h ) , X ( t + h ) ,L , X ( t
1 1 2 n 2

n

+ h))

具有相同的分布函数,
即:F ( x1 , x2 ,L , xn ; t1 , t2 ,L tn ) = F ( x1 , x2 ,L , xn ; t1 + h, t2 + h,L , tn + h )

则称随机过程 { X ( t ) , t ∈ T } 具有平稳性, 称此过程为严平稳随机过程,简称严平稳过程
77

平稳过程的参数集T , 可以为离散的,如{0, ±1, ±2,L} , {0,1, 2,L}
严平稳过程的数字特征: 严平稳过程的数字特征: 设严平稳过程 { X ( t ) , t ∈ T } 是二阶矩过程 则? X ( t ) = E ? X ( t ) ? = E ? X ( 0 ) ? == ? X ( 常数 ) ? ? ? ?
记为

可以为连续的,如 ( ?∞, ∞ ), , ∞ ); + [0 +

RX ( t1 , t2 ) = E ? X ( t1 ) X ( t2 ) ? ? ? = E ? X ( 0 ) X ( t2 ? t1 ) ? = RX ( 0, t2 ? t1 )== RX ( t2 ? t1 ) ? ?
记为

78

事实上,X ( t ) 与X ( t + h )同分布,取h = ?t

( X ( t ) , X ( t ) ) 与 ( X ( t + h ) , X ( t + h ) )同分布,取h = ?t 则 ( X ( t ) , X ( t ) ) 与 ( X ( 0 ) , X ( t ? t ) )同分布,因此
1 2 1 2 1 2 2 1

则X ( t ) 与X ( 0 )同分布,从而有相同的数学期望

1

自相关函数仅是时间差t2 ? t1 = τ 的函数
2 从而协方差函数 C X (τ ) = RX (τ ) ? ? X 2 DX ( t ) = C X ( 0 ) = RX ( 0 ) ? ? X 是常数

方差函数

由于要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的。 因此,通常只在二阶矩过程范围内考虑宽平稳过程。
79

定义:给定二阶矩过程 { X ( t ) , t ∈ T },如果对任意的t , t + τ ∈ T , E ? X ( t ) ? = ? X ( 常数 ) ? ? E ? X ( t ) X ( t + τ ) ? = RX (τ ) ? ?

则称 { X ( t ) , t ∈ T }为宽平稳过程 严平稳过程 + 二阶矩存在 ? 宽平稳过程;反之不一定成立. 今后,平稳过程均指宽平稳过程。

定义:X ( t ) 和Y ( t ) , t ∈ T 是两个平稳过程

如果它们的互相关函数也只是时间差的函数,记为RXY (τ ) , 即RXY ( t , t + τ ) = E ? X ( t ) X ( t + τ ) ? = RXY (τ ) ? ?

称X ( t ) 和Y ( t ) 是平稳相关的,

或称这两个过程是联合 (宽) 平稳的
80

例 1:设 { X k , k = 0, ±1, ±2,L} 是互不相关的随机变量序列, 且E ( X k ) = 0, E ( X k2 ) = σ 2 . 证明 : { X k , k = 0, ±1, ±2,L} 是宽平稳的随机序列.
?σ 2 k = l 证明 : E ( X k ) = 0, RX ( k , l ) = E [ X k X l ] = ? ?0 k ≠ l 即:相关函数只与k ? l有关, 所以它是宽平稳的随机序列,也称为离散白噪声。 注:如果 { X k , k = 0, ±1, ±2,L} 又是独立同分布的, 则它还是严平稳序列。
81

例2:设 { X k , k = 0, ±1, ±2,L} 是例1中的随机序列, 作Yn = ∑ ak X n ? k
k =0 N

n = 0, ±1, ±2,L,其中N 是自然数,

而a0 , a1 ,L , aN 是常数.
N

证明: n , n = 0, ±1, ±2,L} 是平稳序列 {Y
k =0

证:E [Yn ] = ∑ ak E ( X n ? k ) = 0

又相关系数RY ( n, n + m ) = E [YnYn + m ]
?? N ?? ?? N = E ? ? ∑ ak X n ? k ? ? ∑ a j X n + m ? j ? ? = ? ? j =0 ?? ?? k = 0

∑∑ a a E ( X
N N k =0 j =0 k j

n?k

X n+m? j )

=

k =0 0≤ m + k ≤ N



N

ak am + kσ 2

它与n无关,所以Yn是平稳序列。
82

例3:设S ( t ) 是一周期为T的函数,Θ是在 ( 0, T ) 上服从均匀分布的随机变量, 称X ( t ) = S ( t + Θ ) 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性。
1 ?T 解:由假设,Θ的概率密度为: f (θ ) = ? ?0

0 <θ < T 其他

于是, E ? X ( t ) ? = E ? S ( t + Θ ) ? = ∫ S ( t + θ ) 1 dθ ? ? ? ? 0 T
T

= 1 T


T

t +T

t

S (? ) d? === 1
周期性

T

∫ S (? ) d? (常数 )
T 0

RX ( t , t + τ ) = E ? S ( t + Θ ) S ( t + τ + Θ ) ? ? ?
=∫
0

S ( t + θ ) S ( t + τ + θ ) 1 dθ = 1 T T
T 0



t +T t

S (? ) S (? + τ ) d ?

=== 1 T
周期性

∫ S (? ) S (? + τ ) d? == R (τ )
记为 X

83

所以随机相位周期过程是平稳的。

例4:考虑随机电报信号,信号X ( t )由只取 + I 或 ? I的电流给出。 P ( X (t ) = ± I ) = 1 , 2 而正负号在区间 ( t , t + τ )内变化的次数N ( t , t + τ ) 是随机的, 且假设N ( t , t + τ ) 服从泊松分布,即: e ? λτ P {N (t, t + τ ) = k} = k = 0,1, 2,L k! 其中λ > 0是单位时间内变号次数的数学期望,
k

( λτ )

试讨论X ( t )的平稳性.

x (t )

t

84

解:E ? X ( t ) ? = I ? P { X ( t ) = I } ? I ? P { X ( t ) = ? I } = I ? I = 0 ? ? 2 2

设τ > 0,

RX ( t , t + τ ) = E ? X ( t ) X ( t + τ ) ? ? ?

= I 2 P { X (t ) X (t + τ ) = I 2} ? I 2 P { X (t ) X (t + τ ) = ?I 2}
事件 { X ( t ) X ( t + τ ) = I 2 } 等价于电流在 ( t , t + τ )内变号偶数次,

因此P { X ( t ) X ( t + τ ) = I

2

} = ∑ P { N ( t , t + τ ) = 2k }
k =0



( λτ ) e? λτ =∑ ( 2k ) ! k =0
∞ 2k

85



同理P { X ( t ) X ( t + τ ) = ? I

2

2 k +1 ? λτ ∞ ? ∞ ( λτ )2 k e ? λτ ( λτ ) e 2 ? 所以RX ( t , t + τ ) = I ?∑ ?∑ ( 2k + 1)! k =0 ? k = 0 ( 2k ) ! ?

} = ∑ P {N ( t, t + τ ) = 2k + 1} ( λτ ) e λτ =∑ ( 2k + 1)!
k =0





2 k +1

?

k =0

? ? ? ? ?

= I 2 e? λτ ∑
k =0



( ?λτ ) = I 2e?2λτ k!
k

此结果与t无关,若τ < 0, 只要令t ' = t + τ 则有RX ( t , t + τ ) = E ? X ( t ' ) X ( t ' ? τ ) ? = I 2 e2 λτ ? ?
综合得,RX ( t , t + τ ) = I 2 e ?2 λ τ . 仅与τ 有关,故是平稳过程。
86

§2 各态历经性
如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数 呢? 按照数学期望和自相关函数的定义,需要时,一个平 稳 过程重复进行大量观察,获得一族样本函数

x1 ( t ) , x2 ( t ) ,L , xn ( t ) ,

用统计实验方法,均值和自相关函数近似地为:

?X ≈ 1

N

∑ xk ( t1 ),
k =1

N

RX ( t2 ? t1 ) ≈ 1 N

∑ x (t ) x (t )
k =1 k 1 k 2
87

N

平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化, 根据这一特点,能否通过在一个很长时间内观察得到的 一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢?

本节给出的各态历经定理证实,只要满足某些条件, 那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个 时间轴上的平均值来代替。

x(t )

t

88

随机积分定义:
1. 给定二阶矩过程 { X ( t ) , t ∈ T },如果它的每一个样本函数x(t )在 记为Y = ∫ X ( t ) dt , Y 是一随机变量;
b a

[ a, b] ? T 上的积分都存在,称随机过程X ( t ) 在[ a, b] 上的积分存在,

2. 考虑 [ a, b ]内的一组分点:a = t0 < t1 < t2 < L < tn = b, 且记 ti = ti ? ti ?1 , ti ?1 ≤ τ i ≤ ti , i = 1, 2,L , n
2 n ?? ? ? ? ? 若存在随机变量Y,使 lim E ? ?Y ? ∑ X (τ i ) ti ? ? = 0 max ti →0 i =1 ? ? ?? ? ?

称Y 为X ( t ) 在 [ a, b ] 上的均方积分

两种定义下的随机变量在存在的情况下,以概率1相等
89

定理:

{ X ( t ) , t ∈ T }是二阶矩过程,
若自相关函数的二重积分存在, 即∫
b a



b

则X ( t ) 在 [ a, b ] 上均方积分存在 即存在随机变量Y , Y = ∫ X ( t ) dt ,
b a

a

RX ( s, t )dsdt存在,

且E (Y ) = ∫ E ? X ( t ) ? dt. ? ? a
b
90

定义:随机过程X ( t )的时间均值: <X ( t ) >= lim 1 T →+∞ 2T



T

?T

X ( t ) dt

随机过程X ( t )的时间相关函数: <X ( t ) X ( t + τ ) >= lim 1 T →+∞ 2T



T

?T

X ( t ) X ( t + τ ) dt

91

例1:计算随机相位正弦波: < X ( t ) > 和 < X ( t ) X ( t + τ ) >。
解: X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值

X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T



?T

acos (ω t + Θ ) dt

a ? sin (ωT + Θ ) ? sin ( ?ωT + Θ ) ? ? ==== lim ? T →+∞ 2T ω

= lim acosΘsinωT = 0 T →+∞ ωT
92

< X (t ) X (t + τ ) > = lim 1 T →+∞ 2T



T

?T

a 2 cos (ω t + Θ ) cos ?ω ( t + τ ) + Θ ? dt ? ?

a2 = lim T →+∞ 4T



?cos ( 2ωt + ωτ + 2Θ ) + cosωτ ? dt ? ?T ?
T

a 2 sin ( 2ωT + ωτ + 2Θ ) ? sin ( ?2ωT + ωτ + 2Θ ) + a 2 cosωτ = lim T →+∞ 4T 2ω 2

a 2 cosωτ = 2
对照第十章计算过的均值函数和自相关函数, 可知: ? X = E ? X ( t ) ? = < X ( t ) > ? ? RX (τ ) = E ? X ( t ) X ( t + τ ) ? = < X ( t ) X ( t + τ ) > ? ?
93

定义:设X ( t ) 是一平稳过程
1. 如果 < X (t ) >= E [ X (t )] = ? X以概率1成立, 则称过程X (t )的均值具有各态历经性
2. 如果对任意实数τ, < X (t ) X (t + τ ) >= E [ X (t ) X (t + τ ) ] = RX (τ )以概率1成立,

则称过程X (t )的自相关函数具有各态历经性, 特别当τ = 0时,称均方值具有各态历经性

3. 如果X (t )的均值和自相关函数都具有各态历经性, 则称X (t )是各态历经过程
94

例2:X ( t ) = X , t ∈ ( ?∞, +∞ ) , X 是随机变量,P ( X = ±1) = 1 2 试确定X ( t )的均值是否具有各态历经性。
解:X ( t ) = X 是平稳过程,
x1 ( t )
1

因为? X ( t ) = E ? X ( t ) ? = EX = 0 ? ?

x2 ( t )

?1

RX ( t , t + τ ) = E ? X ( t ) X ( t + τ ) ? = E ( X 2 ) = 1 与 t 无关 ? ?

时间均值 < X ( t ) >= lim 1 T →+∞ 2T

X ( t ) dt = lim 1 ∫?T T →+∞ 2T
T



T

?T

Xdt = X

即P {< X ( t ) >= ? X } = P ( X = 0 ) = 0

由定义知,X ( t )的均值不具有各态历经性

95

例3:证明:正弦波X (t ) = Acos (ω t + Θ) ? ∞ < t < +∞, ? 2 x, 0 < x < 1 其中ω 是常数, A与Θ相互独立, A~f ( x) = ? , ? 0, 其它 Θ在(0, 2π )上均匀分布,是平稳过程; 并判断其是否为各态历经过程.
证明 : ? X (t ) = E[ X (t )] = E ? Acos (ω t + Θ ) ? = E ( A) E[cos (ω t + Θ )] = 0 ? ? RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[ A2 ]E[cos (ω t1 + Θ)cos (ω t2 + Θ)]
2π = E[ A2 ]∫ cos (ω t1 + θ )cos (ω t2 + θ ) ? 1 dθ 0 2π

= 1 cosω (t2 ? t1 ) = 1 cos ωτ . (τ = t2 ? t1 ) 4 4

所以,X (t )是平稳过程.

96

< X ( t ) > = lim 1 T →+∞ 2T
将A,Θ看作定值



T

?T

Acos (ω t + Θ ) dt

A ? sin (ωT + Θ ) ? sin ( ?ωT + Θ ) ? ? ? ==== lim T →+∞ 2T ω

= lim AcosΘsinωT = 0 = E[ X (t )] T →+∞ ωT

即X (t )的均值具有各态历经性.
97

< X (t ) X (t + τ ) > = lim 1 T →+∞ 2T



T

?T

A2 cos (ω t + Θ ) cos ?ω ( t + τ ) + Θ ? dt ? ?

A2 = lim T →+∞ 4T



?cos ( 2ω t + ωτ + 2Θ ) + cosωτ ? dt ? ?T ?
T

A2 sin ( 2ωT + ωτ + 2Θ ) ? sin ( ?2ωT + ωτ + 2Θ ) + A2 cosωτ = lim T →+∞ 4T 2ω 2

A2 cosωτ ≠ 1 cos ωτ = R (t , t + τ ) = X 2 4

所以,X ( t ) 不是各态历经过程.

X ( t )的相关函数不具有各态历经性.
98

定理一: (均值各态历经定理 ) 平稳过程X ( t )的均值具有各态历经性 的充要条件是: lim 1 T →+∞ T



2T

0

(

2 1 ? τ ? RX (τ ) ? ? X ? dτ = 0 ? 2T ?

)

思路:X ( t )的均值具有各态历经性的定义为:

下面只要计算 < X ( t ) > 的均值与方差就可以了
E ?< X ( t ) > ? = E lim 1 ? ? T →+∞ 2T

P {< X ( t ) > = ? X } = 1 ? E ?< X ( t ) > ? = ? X , D ?< X ( t ) > ? = 0 ? ? ? ?

{



T

?T
2

X ( t ) dt = Tlim 1 →+∞ 2T
2 X

}

1 ? ? ∫?T E ? X ( t )? dt = Tlim 2T →+∞
T
2 ? ?? ?2 ∫?T X ( t ) dt ? ? X ? ? T



T

?T

? X dt = ? X

D ?< X ( t ) > ? = E ?< X ( t ) > ? ? ? ? ? ? ?

? = E ? ? lim 1 ? ? ?T →+∞ 2T
= lim E
T →+∞

{

1 4T 2
T ?T T



T

?T
T

2 X ( t1 ) dt1 ∫ X ( t2 ) dt2 ? ? X T ?T
2 E ? X ( t1 ) X ( t2 ) ?dt1dt2 ? ? X ? ? 2 RX ( t2 ? t1 ) dt1dt2 ? ? X

}

= lim

T →+∞

1 4T 2 1 4T 2

∫ ∫
?T

?T T

= lim

T →+∞

∫ ∫

99

?T



{ττ ==tt +?tt
1 2 1 2

2 1

===== lim
雅可比式

? ( t1 ,t2 ) 1 T →+∞ = ? (τ1 ,τ 2 ) 2

1 ? 0 dτ τ 2 + 2T 1 R (τ ) dτ + 2T 2T ?τ 2 1 R (τ ) dτ ? ? ? 2 2 ∫?2T ?τ X 2 1 ∫0 ∫τ 2 ?2T 2 X 2 1 ? X ? 2 2 ? 4T 2 ? ∫?2T

= lim

T →+∞

1 ? 0 (τ + 2T ) R (τ ) dτ + 2T ( 2T ? τ ) R (τ ) dτ ? ? ? 2 2 X 2 2 2 X 2 2? X ∫0 ? ? 4T 2 ? ∫?2T
T →+∞

RX (τ 2 )为偶函数

==== lim

1 4T 2

∫ ( 2T ? τ ) R (τ ) dτ
2T ?2 T 2 X 2

2

2 ? ?X

(1 ? 2τT ) R (τ ) dτ ? ? = lim 1 ∫ (1 ? τ ) ? R (τ ) ? ? ? dτ ? T 2T ? ? 即D ?< X ( t ) > ? = 0 ? lim 1 ∫ (1 ? τ ) ? R ? ? T 2T
= lim 1 T →+∞ T
T →+∞



2T

0

X

2 X

2T

0

X

2 X

2T

T →+∞

0

X

2 ? (τ ) ? ? X ? dτ = 0

t2

( 0, 2T ) (T , T )
t1

t2

( ?T , T )

( ?T , ?T )

(T , ?T )

( ?2T , 0 ) ( 0, ?2T )

( 2T , 0 )

t1

100

证毕! 证毕!

推论:在 τlim RX (τ ) 存在的条件下, →+∞
2 若 lim RX (τ ) = ? X ,则定理一条件成立,即均值具有各态历经性

τ →+∞

2 若 lim RX (τ ) ≠ ? X ,则定理一条件不成立,即均值不具有各态历经性

τ →+∞

2 注意: lim RX (τ ) ? ? X = lim C X (τ )

τ → +∞

τ →+∞

因此在 lim RX (τ ) 或 lim C X (τ ) 存在条件下,均值各态历经性的条件
τ →+∞ τ →+∞

lim 为: C X (τ ) = 0,即当时间差τ 充分大时,X ( t ) 和X ( t + τ ) 呈现不相关性
τ →+∞

对随机相位正弦波而言, RX (τ ) 不存在,但它的均值是各态历经的 lim
τ →+∞

101

在定理一的证明中,将X ( t ) 换成X ( t ) X ( t + τ ),就可得到:
定理二:(自相关函数各态历经定理 ) 平稳过程X ( t )的自相关 函数RX (τ ) 具有各态历经性的充要条件是:
2T

lim 1 T →+∞ T

τ ? ? 2 1 ? 1 ? ? B (τ 1 ) ? R X (τ ) ? dτ 1 = 0 ∫0 ? 2T ? ? ? ? 其中B (τ 1 ) = E ? X ( t ) X ( t + τ ) X ( t + τ 1 ) X ( t + τ + τ 1 ) ? ? ?

在实际应用中通常只考虑定义在0 ≤ t < +∞上的平稳过程, 此时上面的所有时间平均都应以0 ≤ t < +∞上的时间平均来代替。 即 < X (t ) > = lim 1 T →+∞ T



T

0

X ( t ) dt

< X (t ) X (t + τ ) > = lim 1 T →+∞ T



T

0

X ( t ) X ( t + τ ) dt

而相应的各态历经定理可表示为下述形式:

见下页
102

定理三:

P {< X ( t ) >= ? X } = 1 ? lim 1 T →+∞ T



T

0

(

2 ? ? 1 ? τ ? RX (τ ) ? ? X ? dτ = 0 T

)

定理四:

P {< X ( t ) X ( t + τ ) >= RX (τ )} = 1

? lim 1 T →+∞ T



T

0

? τ1 ?1 ? T ?

? 2 ? B (τ 1 ) ? RX (τ ) ? dτ 1 = 0 ?? ? ?

103

各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证:一 个平稳过程X(t),若0<t<+∞,只要它满足各态历经性条件,便可以 根据“以概率1成立”的含义,从一次试验所得到的样本函数x(t)来 确定该过程的均值和自相关函数。

1 T x ( t ) dt = ? 即 lim x T →+∞ T ∫0 1 T x ( t ) x ( t + τ ) dt = R (τ ) lim x T →+∞ T ∫0
如果试验记录x ( t ) 只在时间区间[ 0, T ] 上给出, 则相应的? X , RX (τ )的无偏估计为:

?X = 1
T






T

0

x(t )dt

RX (τ ) = 1 T ?τ



T ?τ

0

x(t ) x(t + τ )dt = 1 T ?τ

∫τ

T

x(t ) x(t ? τ )dt

0 ≤τ < T
104

§3 相关函数的性质
设X ( t ) 和Y ( t ) 是平稳相关过程,RX (τ ) , RY (τ ) 和RXY (τ ) 分别是它们的自相关函数和互相关函数。

相关函数具有如下的性质: 2 1. RX ( 0 ) = E ? X 2 ( t )? = ψ X ≥ 0 ? ?
2. RX ( ?τ ) = RX (τ ) ,即RX (τ ) 是τ的偶函数 RXY ( ?τ ) = RYX (τ ) ,即互相关函数既不是奇函数,也不是偶函数

2 3. RX (τ ) ≤ RX ( 0 ) , C X (τ ) ≤ C X ( 0 ) = σ X .

此不等式表明:自相关 自协方差 函数在τ = 0处取得最大值。 RXY (τ ) ≤ RX ( 0 ) RY ( 0 ) , C XY (τ ) ≤ C X ( 0 ) CY ( 0 )
2 2

(

)

105

见下页

4. RX (τ ) 是非负定的,即对任意数组t1 , t2 ,L , tn ∈ T 和任意n个 不全为零的实数a1 , a2 ,L , an,都有: RX ( ti ? t j ) ai a j ≥ 0 ∑
n i , j =1

事实上,

i , j =1

∑ R ( t ? t ) a a = ∑ E ? X ( t ) X ( t )? a a ? ?
n n X i j i j i , j =1 i j i

j

2 ?? n ? n ? ? ? ? ? = E ? ∑ X ( ti ) X ( t j ) ai a j ? = E ? ? ∑ X ( ti ) ai ? ? ≥ 0 ? ? ? i , j =1 ? ? ? i =1 ? ?

自相关函数的非负定性是平稳过程最本质的特性, 因为任一连续函数,只要具有非负定性, 那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。
106

见下页

定义:X ( t ) 是平稳过程,若满足条件P { X ( t + T0 ) = X ( t )} = 1, 则称X ( t ) 为周期为T0的平稳过程。

5. X ( t ) 是周期为T0的平稳过程的充分必要条件是: 其自相关函数是周期为T0的函数。

即 : P { X ( t + T0 ) = X ( t )} = 1 ? RX (τ + T0 ) = RX (τ ) .

107

证明:

"?"

因为P { X ( t + T0 ) = X ( t )} = 1 ? E ? X ( t + T0 ) ? X ( t ) ? ? ? 要证RX (τ + T0 ) = RX (τ ) , 只要证E ? X ( t ) X ( t + τ + T0 ) ? = E ? X ( t ) X ( t + τ ) ? , ? ? ? ? 也即E X ( t ) ? X ( t + τ + T0 ) ? X ( t + τ ) ? = 0. ? ?
柯西-施瓦兹 不等式

{

2

}=0

{

}

而 E ? X ( t ) ( X ( t + τ + T0 ) ? X ( t + τ ) ) ? ? ? ? ≤ E ?X
2

{

故RX (τ + T0 ) = RX (τ )
"?"

? ? ( t ) ? E {? X ( t + τ + T0 ) ? X ( t + τ )? ?

}

2

2

}====0
周期平稳定义
2

要证P { X ( t + T0 ) = X ( t )} = 1 ? 要证E ? X ( t + T0 ) ? X ( t ) ? ? ? 计算得E ? X ( t + T0 ) ? X ( t ) ? ? ?

{

2

}= R

{

}=0
108

X

( 0 ) ? 2 RX (T0 ) + RX ( 0 )
证毕

= 2 RX ( 0 ) ? 2 RX (T0 ) ==== 0

RX (τ )为周期函数

应用: 应用:
在实际中,各种具有零均值的非周期性噪声和干扰一般 当 τ 值适当增大时,X ( t + τ ) 和X ( t ) 呈现独立或不相关, 即 lim RX (τ ) = lim C X (τ ) = 0
τ →∞ τ →∞

V (t ) = S (t ) + N (t )

设接收机输出电压V ( t ) 是周期信号S ( t ) 和噪声电压N ( t ) 之和, 又设S ( t ) 和N ( t ) 是两个互不相关的各态历经过程,且 E ? N ( t ) ? = 0, lim RN (τ ) = 0 ? ?
τ →∞

则V ( t )的自相关函数RV (τ ) = RS (τ ) + RN (τ ) 即如果将V ( t ) 作为自相关分析仪的输入,则对于充分大的τ 值, 分析仪记录到的是函数RS (τ )的曲线。
109

对于充分大的值,RV (τ ) ≈ RS (τ )

例:假设接收机输出电压中的信号和噪声过程的自相关函数分别为: a 2 cosωτ , R (τ ) = b 2 e ? a τ ( a > 0 ) RS (τ ) = N 2 a2 且噪声平均功率RN ( 0 ) = b 远大于信号平均功率RS ( 0 ) = 2 a 2 cosωτ + b 2 e ? a τ ≈ a 2 cosωτ , 当τ 充分大时 则RV (τ ) = 2 2 自相关分析仪记录到的RV (τ ),τ > 0的图形,
2

当τ 充分大后应呈现正弦曲线, 亦即从强噪声中检测到微弱的正弦信号。
RV (τ )

下面水平部分时为三角周期函数cosωτ

τ

110

§4 平稳过程的功率谱密度
(一) 平稳过程的功率谱密度

1. 确定性信号的功率谱密度 对确定性信号x ( t ) ? ∞ < t < +∞, 它是时间函数,现作频谱分析。

设x ( t ) 满足狄利克雷条件,且∫

+∞

?∞

x ( t ) dt < ∞,

则x ( t )的傅里叶变换存在或者说具有频谱: Fx (ω ) = ∫
+∞ ?∞

x ( t ) e ? iωt dt

? ∞ < ω < +∞

且同时有傅里叶逆变换: x (t ) = 1 2π



+∞

?∞

eiω t Fx (ω ) dω

? ∞ < t < +∞

对确定性信号x ( t )的傅里叶变换: Fx (ω ) = ∫
+∞ ?∞

x ( t ) e ?iω t dt

? ∞ < ω < +∞

及傅里叶逆变换:x ( t ) = 1 2π



+∞

?∞

eiω t Fx (ω ) dω

? ∞ < t < +∞

说明信号x ( t ) 可以表示成谐分量 1 Fx (ω ) eiω t的无限叠加, 2π 其中ω 称为圆频率

Fx (ω ) 一般是复函数,称之为信号x ( t )的频谱, 其共轭函数Fx* (ω ) = Fx ( ?ω )

在信号x ( t ) 与Fx (ω ) 之间成立有Parseval等式: 1 +∞ F (ω ) 2 d ω ∫?∞ x ( t ) dt = 2π ∫?∞ x 等式左边表示x ( t ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上的总能量,
2 +∞

而右边的被积函数 Fx (ω ) 在频率域中表示在
2

圆频率ω处的能谱密度。
+∞

但在工程技术中,通常总能量 ∫

?∞

x 2 ( t ) dt = ∞,

1 +T x 2 ( t ) dt < ∞ 而平均功率 lim T →+∞ 2T ∫?T 为此利用傅里叶变换给出"平均功率的谱表达式"。
113

? x (t ) t ≤ T ? 作x ( t )的截尾函数:xT ( t ) = ? t >T ?0 ?
它在区间 ( ?∞, ∞ ) 上绝对可积,记xT ( t )的傅里叶变换为: +

Fx (ω , T ) = ∫
+∞ T

+∞

xT ( t )的Parseval等式为: x ( t ) dt = ∫ x ( t ) dt = 1 ∫?∞ ?T 2π 两边除以2T , 再令T → ∞,
2 T 2

?∞

xT ( t ) e

? iωt

dt = ∫ x ( t ) e? iωt dt
T ?T



+∞

?∞

Fx (ω , T ) d ω
2

得x ( t ) 在 ( ?∞, ∞ ) 上的平均功率可表示为: +
lim 1 T →∞ 2T
+∞ 2 1 x ( t ) dt = lim Fx (ω , T ) d ω ∫?T T →∞ 4π T ∫?∞ 1 +∞ lim 1 F (ω , T ) 2 d ω = 2π ∫?∞ T →+∞ 2T x T 2

2 其中S x (ω ) = lim 1 Fx (ω , T ) T →+∞ 2T 称为信号x ( t ) 在ω处的功率谱密度

114

2. 平稳过程的功率谱密度 前面讨论的x ( t ) 可以看成它的样本函数, 即: FX (ω , T ) = ∫ X ( t ) e ?iωt dt
T ?T

设平稳过程X ( t ) ? ∞ < t < +∞,

于是对平稳过程X ( t ) 作讨论,只要把x ( t ) 换成X ( t )即可,

1 T X 2 ( t ) dt = 1 +∞ 1 F (ω , T ) 2 dω 2T ∫?T 2π ∫?∞ 2T X 等式两边取数学期望,再让T → ∞, 得:

lim E ? 1 T →+∞ ? 2T ?



T

?T

X ( t ) dt ? = 1 ? 2π ?
2

1 F (ω , T ) 2 d ω ∫?∞ Tlim 2T X →∞
T

+∞

等式左边称为平稳过程X ( t )的平均功率 ? 1 T X 2 ( t ) dt ? = lim 1 lim E T →+∞ ? 2T ∫?T ? T →+∞ 2T ? ? 2 = ψ X = RX ( 0 )



?T

E ? X 2 ( t ) ? dt ? ?
115

即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或RX ( 0 ) , 等式右边中的被积式记为: 1 E F (ω , T ) 2 S X (ω ) = lim X T →+∞ 2T 在频率域中称之为平稳过程在 在频率域中称之为平稳过程在ω 处的功率谱密度 利用记号S X (ω ) 及简化结果得: 1 +∞ S (ω ) dω RX ( 0 ) = ψ = 2π ∫?∞ X 此式称为平稳过程X ( t )的平均功率的谱表达式
2 X

{

}

116

(二) 谱密度的性质
谱密度S X (ω ) 有以下重要性质: 1. S X (ω ) 是ω 的实的、非负的偶函数 事实上,因为 FX (ω , T ) = FX (ω , T ) FX ( ?ω , T )
2

是ω 的实的、非负的偶函数,所以它的均值的极限 也必是实的、非负的偶函数 2. S X (ω ) 和自相关函数RX (τ ) 是一傅里叶变换对, 即 S X (ω ) = ∫
+∞ ?∞

RX (τ ) e

? iωτ

dτ;RX (τ ) = 1 2π



+∞

?∞

S X (ω ) eiωτ dω

它们统称为维纳 — 辛钦公式
117

证明:S X (ω ) = lim 1 E T →+∞ 2T

{∫

T

?T

X ( t1 ) e

iω t1

dt1 ∫ X ( t2 ) e ? iω t2 dt2
T ?T

}

= lim 1 T →+∞ 2T

∫ ∫
?T

T

T

?T

E { X ( t1 ) X ( t2 )} e ? iω ( t2 ?t1 ) dt1dt2

= lim 1 T →+∞ 2T
τ1 =t1 + t2 τ 2 =t2 ? t1

∫ ∫
?T

T

T

?T

RX ( t2 ? t1 ) e ? iω ( t2 ?t1 ) dt1dt2

? τ ? ==== lim ∫ ?1 ? RX (τ ) e ? iωτ dτ ? T →+∞ ?2T 2T ? ?
2T

∫?∞ RX (τ ) dτ <+∞时 +∞ ? iωτ ====== ∫ RX (τ ) e dτ
当 ?∞

+∞

表12.1列出了若干自相关函数以及对应的谱密度

118

表 12.1
RX (τ ) S X (ω )
?a τ

1 2
?T

e
1

τ
τ ≤T τ >T

2a a2 + ω 2

ω
Tω 2

? τ ?1 ? R N (τ ) = ? T ? 0 ?

4sin 2 (ω T 2 )

T
e?aτ

τ

ω
a
2

3 4 5 6 7

c o sω 0 t

S X (ω ) =

τ
sinω 0

a 2 + (ω + ω 0 )

+

a a 2 + (ω ? ω 0 )
2

?ω 0

ω0

ω

πτ

1

τ

?1 ω ≤ ω 0 ? S X (ω ) = ? ?0 ω > ω 0 ?

?ω 0

ω0

ω

1 1

RX (τ ) = 1

τ
δ (t )


1

S X (ω ) = 2πδ (ω )

ω
S X (ω ) = 1

co sω 0 t

τ

ω
π ? δ (ω + ω 0 ) + δ (ω ? ω 0 ) ? ? ?

τ

?ω 0

ω0

ω

例1:已知平稳过程X ( t )的自相关函数为:RX (τ ) = e 求X ( t )的谱密度S X (ω )。
+∞ ?∞

?a τ

cosω 0τ

解:S X (ω ) = ∫ e ? a τ cosω 0τ ? e ? iωτ dτ

=∫ e
?∞

+∞

?a τ

eiω0τ + e ? iω0τ e ? iωτ dτ 2

1 ? +∞ e? a τ e ?i(ω ?ω0 )τ dτ + +∞ e ? a τ e? i(ω +ω0 )τ dτ ? = ∫?∞ ? 2 ? ∫?∞ ? ?
? 2a 1? = + 2 2a 2 ? a 2 + (ω ? ω ) 2 a + (ω + ω ) 2 0 0 ?
? 1 1 = a? 2 + 2 2 2 a + (ω + ω 0 ) ? a + (ω ? ω 0 ) ? ? ? ? ?

? ? ? ?

120

ω2 + 4 例2:已知谱密度为:S X (ω ) = 4 , 2 ω + 10ω + 9

求平稳过程X ( t )的自相关函数和均方值。

解:RX (τ ) = 1 2π
= 1 ? 9 2π ? 48 ?



+∞

?∞

ω2 + 4 e ?iωτ dω ω 4 + 10ω 2 + 9



+∞

?∞

2 e ? iωτ dω + 5 48 ω 2 +1



+∞

?∞

6 e ? iωτ dω ? ? ω2 +9 ?

?τ ?3 τ = 1 9e + 5e 48

(

)
2n ? 2

2 均方值为ψ X = RX ( 0 ) = 7 24

一般地,形如S

0 的谱密度, ω 2m + b ω 2m ? 2 + L + b 2m ? 2 0 称为有理谱密度,式中S > 0, 且m > n, 分母无实数根 121 0

(ω ) = S 0 X

ω 2n + a

ω 2n ? 2 + L + a

?δ ( t ) = 0, t ≠ 0 ? δ 函数:即单位冲激函数δ ( t ),定义如下: +∞ ? ? ∫?∞ δ ( t ) dt = 1 ?

δ 函数的基本性质:
对任一在τ = 0连续的函数f (τ ) , 有: δ (τ ) f (τ ) dτ = f ( 0 ) ∫
?∞ +∞

一般,若函数f (τ ) 在τ = τ 0连续,就有: δ (τ ? τ 0 ) f (τ ) dτ = f (τ 0 ) ∫
?∞

+∞

据此,可以写出以下傅里叶变换对: 1 +∞ 1? eiωτ dω → ∫?∞ δ (τ ) e dτ = 1←? δ (τ ) = 2π ∫?∞ +∞ 1 e ? iωτ dτ = δ (ω ) ←? 1 = 1 +∞ δ (ω ) eiωτ dω → ∫?∞ 2π 2π 2π ∫?∞ 即:当RX (τ ) = 1时,S X (ω ) = 2πδ (ω )
? iωτ +∞

当S X (ω ) = 1时,RX (τ ) = δ (τ )

122

a 2 cos ω τ + b 2 e ? a τ 例3:求自相关函数RV (τ ) = 0 2 所对应的谱密度SV (ω )。

解:SV (ω ) = ∫
a2 = 2

+∞

?∞

RV (τ ) e ?iωτ dτ



+∞

?∞

eiω0τ + e ?iω0τ e ? iωτ dτ + b 2 +∞ e ? a τ e ?iωτ dτ ∫?∞ 2

a 2 ?δ (ω ? ω ) + δ (ω + ω ) ? + 2ab 2 = 0 0 ? 2 ? a2 + ω 2

123

白噪声: 均值为零而谱密度为正常数,即S X (ω ) = S0 , ?∞ < ω < +∞, ( S0 > 0 ) 的平稳过程X ( t ) 称为白噪声过程,简称白噪声, 其名出自白光具有均匀光谱的缘故。

白噪声的自相关函数为: 1 +∞ S (ω ) eiωτ dω = S0 +∞ eiωτ dω = S δ (τ ) RX (τ ) = 0 2π ∫?∞ X 2π ∫?∞ 即这个过程在t1 ≠ t2时,X ( t1 ) 和X ( t2 ) 是不相关的
124

(三) 互谱密度及其性质
设X ( t ) 和Y ( t ) 是两个平稳相关的随机过程, 定义:S XY (ω ) = lim 1 E { FX ( ?ω , T ) FY (ω , T )} T →+∞ 2T 为平稳过程X ( t ) 和Y ( t )的互谱密度。

它有以下特性:
* 1. S XY (ω ) = SYX (ω ) ,即S XY (ω ) 和SYX (ω ) 互为共轭函数

2. 当∫

+∞

?∞

RXY (τ ) dτ < ∞ 时,成立维纳 ? 辛钦公式
+∞ ?∞

S XY (ω ) = ∫

RXY (τ ) e

? iωτ

dτ , RXY (τ ) = 1 2π



+∞

?∞

S XY (ω ) eiωτ dω
125

3. Re ? S XY (ω ) ? 和Re ? SYX (ω ) ? 是ω的偶函数 ? ? ? ? I m ? S XY (ω ) ? 和I m ? SYX (ω ) ? 是ω的奇函数 ? ? ? ?
事实上, S XY (ω ) =



+∞

?∞

R XY (τ ) cos ωτ dτ ? i ∫
+∞ ?∞

+∞

?∞

R XY (τ ) sin ωτ dτ

Re ? S XY (ω ) ? = ? ? 故: Re ? S XY ?

∫ ( ?ω ) ? = ∫ ?

R XY (τ ) cos ωτ dτ R XY (τ ) cos ( ?ωτ ) dτ = Re ? S XY (ω ) ? ? ?

+∞

?∞

其余同理可得。

4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式: XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω ) S
2

126

课件结束!

2012-4-6


相关文章:
随机过程._图文.ppt
随机过程. - 随机过程.,随机过程随机过,什么是适应的随机过程,随机过程期末复习,随机过程研究生教材,应用随机过程期末,随机过程鞅是什么,随机过程随机过 难吗,随机...
[计算机软件及应用]随机过程_图文.ppt
[计算机软件及应用]随机过程 - 第0章 补充知识 第1页 补充知识 基本概念 马尔可夫过程 随机 过程 随机分析 时间序列 平稳过程 第0章 补充知识 第2页 第0章 ...
随机过程_图文.ppt
随机过程 - 随机变量 与 随机过程 主讲人:由鹏 随机…… 结果 对应 随机变
随机过程随机过程的基本概念_图文.ppt
随机过程随机过程的基本概念 - 第二章 随机过程的基本概念 马春光 machun
第一章随机过程课件_图文.ppt
第一章随机过程课件 - 第一章随机过程课件,随机过程 何书元 pdf,随机过程教材,电子科技大学随机过程课件,随机过程研究生教材,随机过程是什么,随机过程一维概率密度,...
-随机过程_图文.ppt
-随机过程 - 补充知识随机变量的特征函数 定义 设随机变量X的分布函数F(x
随机过程数字特征_图文.ppt
随机过程数字特征 - 第二章 随机过程的数字特征 从上面的分析可知,对于一个随机过程X(t),要 研究它的变化规律,常常需要建立起它的“函数 关系”,也就是建立...
第三章 更新理论-随机过程_图文.ppt
第三章 更新理论-随机过程 - 第三章 更新理论(Renewal Theory)
随机过程的定义与分类_图文.pdf
随机过程的定义与分类 - 随机过程的定义与分类 ? 定义 ? 举例 ? 分类 1. 随机过程的定义 回顾随机变量的定义:设随机试验E的样本空间为S={e} S ● e ● ...
平稳随机过程的概念_图文.ppt
平稳随机过程的概念 - 第一节 平稳随机过程的概念 一、平稳随机过程的概念 二、应用举例 三、小结 一、平稳随机过程的概念 在实际中, 有相当多的随机过程, ...
第三章 随机过程_图文.pdf
第三章 随机过程 - 第三章 随机过程 ? ? ? ? ? ? ? 随机变量 随机过程 平稳随机过程及其特点 高斯过程与高斯白噪声 随机过程通过系统 窄带高斯过程与窄带...
几类重要的随机过程_图文.ppt
几类重要的随机过程 - 4 几种重要的随机过程 正态过程(高斯过程) 独立过程
随机过程讲义_图文.pdf
随机过程讲义 - 随机过程 Stochastic processes 1 参考教材 ? 随机过程,刘次华著,华中科技大学出版社,第四版 ? 随机过程及其在金融领域中得应用, 王军,王娟著...
随机过程_图文.ppt
随机过程 - 学习内容 通信原理【 第三章:随机过程】 第三章 随机过程的基本概念 随机过程 Southwestern University 1 2 3 4 5 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳...
随机过程_图文.ppt
随机过程 - 第 2 章随机过程 2.1随机过程的基本概念和统计特性 2.2平稳随机过程 2.3高斯随机过程 2.4随机过程通过线性系统 2.5窄带随机过程 2.6信道与噪声 2...
随机过程第4章_图文.ppt
随机过程第4章 - 更新过程及理论 关键词:更新函数, 极限定理, 更新报酬过程
随机过程_图文.doc
随机过程 - 随机过程大作业 院系:产业技术研究院 专业:电气工程 姓名:高帅军
z随机过程Ch_图文.ppt
z随机过程Ch - 第一章 概率论基础 1.1 概率空间 一、可测空间 随机试验
随机过程_图文.ppt
随机过程 - 随机过程 第一章 随机过程基本概念 ? 自然界和现实生活中发生的现
第二十讲 平稳随机过程_图文.ppt
第二十讲 平稳随机过程 - 严平稳 ? 严平稳:对于任意的n,任意的 t1 ,
更多相关文章: