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平面向量知识点复习


平面向量复习 一、向量的基本概念 1、既有_大小___又有_方向___的量叫做向量。用有向线段表示向量时,有向线段的长度表 示向量的_大小___,有向线段的箭头所指的方向表示向量的_方向___ 。 2、 长度为零的向量 叫零向量。 3、 长度等于 1 个单位长度的向量 叫做单位向量。 4、_方向相同或相反___的_非零___向量叫做平行向量,因为任一组平行向量都可以平移到 同一条直线上,所以平行向量也叫做_共线向量__ 。 注意:零向量与任一向量平行。 5、 长度相等 且 方向相同 的向量叫做相等向量。 长度相等方向相反的向量 叫做相 反向量。 二、向量的表示方法 几何表示法:用有向线段表示 ? 字母表示法:印刷用粗体 a ,书写用 a ,或者 AB 坐标表示法:( x , y ) 三、向量的模 向量的模即向量的长度。 1、若 A 的坐标为( x , y ),求 则

OA

OA = x 2 ? y 2

2、若 A 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,B 的坐标为 ( x2 , y2 ) ,求 AB
2 2 则 AB = ( x2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

四、向量的线性运算 1、向量的加法和减法 (1)向量加法的三角形法则:两个向量的和,即它们首尾相连,连接第一个向量的起点到 第二个向量的终点之间的有向线段,方向从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。 记忆口诀:首尾相连、连接首尾、指向终点。 (2)向量加法的平行四边形法则: 已知两个从同一点 A 出发的两个向量 AD、AB, 以 AD、 AB 为邻边作平行四边形 ACDB,则以 A 为起点的对角线 AC 就是向量 AD、AB 的和。 实例:物理中两个力的合力的求法。 记忆口诀:共起点,对角连。 (3)向量的减法:两个向量的差,即它们起点相连,连接两个向量的终点的有向线段,方 向为从减数指向被减数。

2、向量加法的运算法则 对于零向量和任一向量 a : a ? 0 对于相反向量: a ? (?a) 交换律: a ? b

? 0?a ? a

? ( ?a ) ? a ? 0

?b?a

结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 3、向量的数乘 1)实数 ? 与向量 a 的积也是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如下: (1) ?a ?

?a

(2)当 ? >0 时, ? a 与 a 方向相同;当 ? <0 时, ? a 与 a 方向相反;当 a =0 时, ? a =0; 当 ? =0, ? a =0。 2)向量数乘的运算律: (1) ? ( ?a) ? (?? )a (2) (? ? ? )a ? ?a ? ?a (3) ? (a ? b) ? ?a ? ?b

五、向量共线定理 1、对于两个向量 a ( a ? 0 ),b,有如下的向量共线定理:

如果有一个实数 ? , 使

b ? ?a(a ? 0) , 那么 b 和 a 是共线向量; 反之, 如果 b 和 a (a ? 0)
? ?a 。

是共线向量,那么有且只有一个实数 ? ,使 b 2、用坐标表示向量平行(共线)

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ), a ? 0 ,即 x1 , y1 中,至少有一个不为 0 根据 b

? ?a ,则有 ( x2 , y2 ) ? ? ( x1, y1 ) = (?x1, ?y1 )

则 x2 ? ?x1 , y2 ? ?y1 所以 x2 ? ?y1 ? ?x1 ? y2 ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 故,若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ), a ? 0 ,则 a 和 b 共线,用坐标表示就是 x2 y1 ? x1 y2 ? 0 。 六、向量的坐标表示 1、平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的 任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2e2 。 其中, e1 , e2 叫做表示这一平面所有向量的一组基底;一个平面向量用一组基底 e1 , e2 表示成

a ? ?1e1 ? ?2e2 的形式,叫做向量 a 的分解;当 e1 , e2 所在直线互相垂直是,这种分解称为
向量 a 的正交分解。 2、坐标表示 在平面直角坐标系中内,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底,对于 平面上的向量 a , 由平面向量基本定理可知, 有且只有一对有序实数 x , y , 使得 a ? xi ? yj 。

( x, y ) 就称为向量 a 的坐标,记作 a ? ( x, y) 。
(1)以原点 O 为起点作 OA ? a ,点 A 的位置由谁确定? 由 a 唯一确定。

(2)点 A 与向量 a 的坐标的关系?两者相同。 (3)两个向量相等,用坐标如何表示? 已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,且 a ? b ,则 x1 ? x2 且 y1 ? y2 七、平面向量的坐标运算 1、已知向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 和实数 ? ,那么

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1? y2 )

?a ? ??x1 , ?y1 ?
2、一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。 证明:如下图所示,已知 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , 则 AB ? OB ? OA = ( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 ) = ( x2

? x1 , y2 ? y1 )

八、平面的向量的数量积 1、已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角是 ? ,我们把数量 a b cos? 叫做向量 a 和 b 的数 量积(或内积),记作 a ? b ,即

a ? b = a b cos?
注意:(1) a ? b 不是一个向量,而是一个数量; (2)零向量与任一向量的数积为 0(而非零向量)。

对于两个非零向量 a 和 b 的夹角 ? ,有 作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB ? ? (0? ? ? ? 180?) 叫做向量 a 和 b 的夹角; 当 ? = 0? 时, a 和 b 同向; 当 ? ? 180 ? 时, a 和 b 反向; 当 ? ? 90? 时,称向量 a 和 b 垂直,记作 a ? b 。 2、理解 (1)物理中的应用 一个物体在力 F 的作用下发生了位移 s,那么该力对此物体所做的功为多少? 如果力 F 与物体位移 s 方向的夹角为 ? ,那么 F 所做的功 W 为:

W ? F s cos?

(2)向量 b 在向量 a 方向上的投影 设 a 和 b 是两个非零向量, b cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,它是一个数量。当 ? 为 锐角时,OB1 与 a 同向,投影为正值;当 ? 为钝角时,OB1 与 a 反向,投影为负值;当 a 与

b 互相垂直时,投影为 0。

3、向量的数量积的运算律 (1) a ? b ? b ? a (2) (?a) ? b ? a ? (?b) ? ? (a ? b) ? ?a ? b (3) (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

4、定律(3)的证明 如下图,任取一点 O,作 OA ? a, AB ? b, OC ? c 则 OB ? a ? b

而 OB 在 c 方向上的投影等于 a , b 在 c 方向上的投影之和,即

a ? b cos? ? a cos?1 ? b cos?2
所以

c a ? b cos? ? c a cos?1 ? c b cos?2

所以 c ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b 所以 (a ? b) ? c

? a?c ? b?c

5、数量积的坐标表示 若两个向量为 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,如何用 a , b 的坐标来表示 a ? b 呢? 设 i , j 分别是 x 轴和 y 轴上的单位向量,则

i ? i ? 1, j ? j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0 ( i 与 j 垂直)
因为 a ?

x1i ? y1 j, b ? x2i ? y2 j

所以 a ? b ? ( x1i ?

y1 j ) ? ( x2i ? y2 j )

= x1i ? ( x2i ? = x1 x2i = x1 x2
2

y2 j ) ? y1 j ? ( x2i ? y2 j )

? x1 y2i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j 2

? y1 y2

所以两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
6、两点间的距离公式 两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离即向量 AB 的模,因为

AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )
所以

AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

7、两个向量的夹角的求法 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,它们的夹角为 ? ,由向量数量积的定义,可得

cos? ?

a ?b ? ab

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

特别地,若 a ? b ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ; 反之,若 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,则 a ? b 。


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