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高中数学 3-3 三角函数的积化和差与和差化积课件 新人教B版必修4(共34张PPT)


? 3.3 三角函数的积化和差与 和差化积 ? 3.公式的记忆 ? 课标虽然对此二组公式不要求记忆,但记 住运用起来总是方便些.这样记忆公式. ? 和差化积公式记忆口诀: ? “正和正在前,正差正后迁; ? 余和一色余,余差翻了天.” ? (正代表sinα,余代表cosα),供仅参考. ? 4.公式的应用 ? (1)在应用和差化积公式时,必须是一次同 名三角函数方可施行,若是异名,必须用 诱导公式化为同名,若是高次函数,必须 用降幂公式降为一次. ? (2)根据实际问题选用公式时,应从以下几 个方面考虑: ? ①运用公式之后,能否出现特殊角; ? ②运用公式之后,能否提取公因式,能否 约分,能否合并或消项; ③运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,各 种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条 件. (3)对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或 选择解题的思路不同,化积结果可能不一致. 为了能够把三角函数式化为积的形式, 有时需要把某些 1 π 常数当作三角函数值应用公式.如 -cosα=cos -cosα 再 2 3 化积. [解析] 1 ∵cosα-cosβ=2, α+β α-β 1 ∴-2sin 2 sin 2 =2. α+β α-β 1 1 ∵sinα-sinβ=- ,∴2cos sin =- . 3 2 2 3 α-β α+β 3 ∵sin ≠0,∴tan = , 2 2 2 α+β 3 2tan 2× 2 2 12 ∴sin(α+β)= = 9=13. α + β 1+4 1+tan2 2 ? [点评] 对于给式求值问题,一般思路是 先对条件化简,之后看 能否直接求结果; 若不能,则再对所求化简,直到找到两者 的联系为止.“走一走,看一看”对解此 类问题是非常必要的.试图利用已知等式 及平方关系分别求取cosα,cosβ,sinα, sinβ的值,导致运算烦琐,难以求解. 化简下列各式: cosA+cos?120° +B?+cos?120° -B? (1) ; sinB+sin?120° +A?-sin?120° -A? sinA+2sin3A+sin5A (2) . sin3A+2sin5A+sin7A [解析] cosA+2cos120° cosB (1)原式= sinB+2cos120° sinA A+B B-A cosA-cosB 2sin 2 sin 2 A+B = = =tan 2 ; sinB-sinA A+B B-A 2cos 2 sin 2 ?sinA+sin5A?+2sin3A (2)原式= ?sin3A+sin7A?+2sin5A 2sin3Acos2A+2sin3A 2sin3A?cos2A+1? sin3A = = =sin5A. 2sin5Acos2A+2sin5A 2sin5A?cos2A+1? [解析] 2sinx 解法一: = cosx+cos2x sinx 3x x cos cos 2 2 3x x 3x x sin 2 cos2-cos 2 sin2 = 3x x = 3x x cos 2 cos2 cos 2 cos2 3x x sin sin 2 2 3x x = - =tan -tan . 3x x 2 2 cos cos 2 2 ?3x x? sin? 2 -2? ? ? 3x x sin sin 2 2 3x x 解法二:tan -tan = - 2 2 3x x cos 2 cos2 ?3x x ? 3x

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