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专题二第1讲 三角函数的图象与性质(共27张PPT)


专题二 三角函数、解三角形、 平面向量
第1讲
【高考真题感悟】 (2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos
? π? ? xsin?x+ ?-1. 6? ? ?

三角函数的图象与性质

(1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 4? ? ?
? π? 解 (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ? ? 3 ? 1 ? =4cos x? sin x+ cos x?-1= 3sin ? 2 ? 2 ? ? π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?, ? ?

2x+2cos2x-1

所以 f(x)的最小正周期为 π.

π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6

考题分析

本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式化

简求解三角函数的解析式,并求三角函数在给定区间上的 值域.考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解 能力.
易错提醒 (1)对三角恒等变换公式掌握不牢,化简方向不 明确.(2)求 f(x)在给定区间上的值域,易忽视对函数单调 性的讨论.

主干知识梳理
1.任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P(x, y), y 那么 sin α=y,cos α=x,tan α=x. (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三 正切,四余弦. 2.诱导公式 公式一 公式二 sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α, tan(kπ+α)=tan α(k∈Z) sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α

公式三

sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α π π sin( -α)=cos α,cos( -α)=sin α 2 2 π π sin( +α)=cos α,cos( +α)=-sin α 2 2

公式四

公式五 公式六

3.同角三角函数基本关系式 sin α sin α+cos α=1,tan α= (cos α≠0). cos α
2 2

4.正弦、余弦、正切函数的性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象 π {x|x≠ +kπ, 2 k∈Z} 值域 奇偶性 最小正 周期 [-1,1] 奇函数 2π [-1,1] 偶函数 2π R 奇函数 π

定义域

R

R

π π 在[- +2kπ, + 2 2

在[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z)上 π π 在(- +kπ, 2 2 +kπ)(k∈Z)上 单调递增

2kπ](k∈Z)上单调递增; 单调递增;在 单调性 π 3π [2kπ,π+ 在[ +2kπ, + 2 2 2kπ](k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上单调递减 单调递减 当 x=2kπ, π 当 x= +2kπ, k∈Z 时,k∈Z 时, 取得 y 2 最值 y 取得最大值 1;当 x= 最大值 1;当 x π - +2kπ,k∈Z 时,y =π+2kπ, 2 k∈Z 时, 取得 y 取得最小值-1 最小值-1

无最值

对称中心:(kπ, 对称性 0)(k∈Z); π 对称轴:x= + 2 kπ(k∈Z)

π 对称中心:( + 2

对称中心: kπ,0)(k∈Z); kπ 对称轴:x= ( 2 ,0)(k∈Z) kπ(k∈Z)

5.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值与相应 2 2 的 y 的值,描点、连线可得.

(2)图象变换 向左(φ>0)或向右(φ<0) y=sin x——————————→y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位

横坐标变为原来的

1

?

(ω>0)倍
y=sin(ωx+φ)

纵坐标不变

纵坐标变为原来的A(A>0)倍 ——————————————→y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变

热点分类突破
题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 例 1 已知点 P(-3,4)是角 α 终边上的一点. ? ? 3π ? ?3π sin?α+ ?· ? -α?· 2(2π-α)tan(π-α) sin tan 2? ?2 ? ? 求: 的值. ?π ? ?π ? cos? -α?· ? +α? cos ?2 ? ?2 ? 4 解 ∵P(-3,4)是角 α 终边上的一点,∴tan α=- . 3 (-cos α)· (-cos α)· 2α(-tan α) tan ∴原式= sin α· (-sin α) 4 =tan α=- . 3

探究提高 在应用诱导公式时,需要先将角变形,有一定 ?π ? 3 π 技巧,如化2π+α 为 π+(2+α)或 2π-?2-α?. ? ?

3π 3π 变式训练 1 已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 4 4

7π 4 θ∈[0,2π),则 θ 的值为________. 3 π cos4π -cos4 解析 tan θ= = =-1, 3 π sin4π sin4 3π 3π 又 sin >0,cos <0, 4 4

7π ∴θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π),∴θ= . 4

题型二

三角函数图象变换及函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

例 2 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, π |φ|< )的一段图象(如图所示),求其解 2 析式.

思维启迪 先由图象求出函数的周期,从而求得 ω 的 值,再由关键点求 φ,最后将(0, 2)代入求 A 的值.
3 7π π 3 解 设函数的周期为 T,则 T= - = π, 4 8 8 4 2π ∴T=π,∴ω= =2. T π π π 又∵2× +φ=2kπ+ (k∈Z),∴φ=2kπ+ (k∈Z), 8 2 4

π π 又∵|φ|< ,∴φ= . 2 4 π ∴函数解析式为 y=Asin(2x+ ). 4 π 又图象过点(0, 2),∴Asin = 2, 4 2 ∴ A= 2,∴A=2. 2 π ∴所求函数的解析式为 y=2sin(2x+ ). 4 探究提高 (1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象求解
析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特 殊点求 A;由函数的周期确定 ω;由图象上的关键点确定 φ. (2)求函数的周期时,注意以下规律:相邻的最高点与最低点 的横坐标之差的绝对值为半个周期, 最高点(或最低点)的横坐 1 标与相邻零点差的绝对值为4个周期.

变式训练 2 (1)(2010· 天津改编)右图是函数 π 5π y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[- , ] 6 6 上的图象.为了得到这个函数的图象, 只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的 点向左平移________个单位长度, 再把所得各点的横坐标 缩短到原来的________倍,纵坐标不变.

5π π 解析 由图象可知 A=1,T= 6 -(-6)=π, 2π ∴ω= =2. T π 2π ∵图象过点( ,0),∴sin( +φ)=0, 3 3

2π ∴ +φ=π+2kπ,k∈Z, 3 π ∴φ= +2kπ,k∈Z. 3 π π ∴y=sin(2x+ +2kπ)=sin(2x+ ). 3 3 π 故将函数 y=sin x 先向左平移 个单位长度后,再把所得各 3 1 点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,可得原函数的 2 图象.

π 1 答案 3 2

(2)(2011· 江苏)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分

6 图象如图所示,则 f(0)的值是________. 2 T 7π π π 解析 由题图知 A= 2, 4 =12 -3=4, 2π ∴T=π,ω= =2. π π π ∴2× +φ=2kπ+π,∴φ=2kπ+ . 3 3 π 令 k=0,得 φ=3. ? π? ∴函数解析式为 f(x)= 2sin?2x+ 3?, ? ? π 6 ∴f(0)= 2sin = . 3 2

题型三

三角函数图象与性质的综合应用
2

3 3 例 3 已知函数 f(x)=2acos x+bsin xcos x- , f(0)= , 且 2 2 ?π? 1 f? ? = . ?4 ? 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原 点对称?

3 3 3 3 解 (1)由 f(0)= ,得 2a- = ,故 a= . 2 2 2 2 ?π? 1 3 b 3 1 ? ? = ,得 由f + - = ,所以 b=1. 2 2 2 2 ?4 ? 2 3 2 可得 f(x)= 3cos x+sin xcos x- 2 ? 3 1 π? = cos 2x+ sin 2x=sin?2x+ ?. 2 2 3? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π 3π (2)由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 12 12 所以 f(x)的单调递减区间是 ?π ? 7π ? +kπ, +kπ? (k∈Z). 12 ?12 ?

(3)因为

? π? f(x)=sin2?x+ ?,所以由奇函数 6? ?

y=sin 2x 的图象向

π 左平移 个单位即得到 y=f(x)的图象,故函数 f(x)的图象向 6 π k π k 右平移 + π (k∈Z)个单位或向左平移 + π (k∈Z)个单位 6 2 3 2 后,对应的函数即成为奇函数,图象关于原点对称.
探究提高 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三 角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数式, 尽量化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,然后再求解. (2)对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过引 a 2 2 入辅助角化为 y= a +b sin(ωx+φ)(cos φ= 2 2,sin φ a +b b = 2 2)的形式来求. a +b

变式 训练 3 已知 函数 f(x)= 3sin(ωx+ φ)- cos(ωx+ φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称 π 轴间的距离为 . 2 ?π ? (1)求 f? ?的值; ?8 ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图 6 象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函 数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.
解 (1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) ? 3 ? ? π? 1 ? ? =2? sin(ωx+φ)- cos(ωx+φ)?=2sin?ωx+φ-6?. 2 ? ? ? 2 ? 因为 f(x)为偶函数,所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, ? ? π? π? 因此 sin?-ωx+φ-6?=sin?ωx+φ-6?, ? ? ? ?

? ? π? π? 即-sin ωxcos?φ- ?+cos ωxsin?φ- ? 6? 6? ? ? ? ? π? π? =sin ωxcos?φ- ?+cos ωxsin?φ- ?, 6? 6? ? ? ? π? 整理得 sin ωxcos?φ- ?=0. 6? ? ? π? 因为 ω>0,且 x∈R,所以 cos?φ- ?=0. 6? ?

π π 又因为 0<φ<π,故 φ- = . 6 2 ? π? 所以 f(x)=2sin?ωx+ ?=2cos ωx. 2? ? 2π π 由题意得 =2·,所以 ω=2. ω 2 故 f(x)=2cos 2x. ?π? π 因此 f? ?=2cos = 2. 4 ?8 ?

π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后, 6 ? π? 得到 y=f?x- ?的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的 6? ? ?x π? 4 倍,纵坐标不变,得到 y=f? - ?的图象. ?4 6 ? ? ?x π ?? ?x π? ?x π? 所以 g(x)=f? - ?=2cos?2? - ??=2cos? - ?. ? ?4 6 ?? ?4 6 ? ?2 3 ? x π 当 2kπ≤ - ≤2kπ+π (k∈Z), 2 3 2π 8π 即 4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3 因此 g(x)的单调递减区间为 ? 2π 8π ? ?4kπ+ ,4kπ+ ? (k∈Z). 3 3? ?

规律方法总结
1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ),或 y= Atan(ωx+φ))的单调区间 (1)将 ω 化为正. (2)将 ωx+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解 析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= . T (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ. 3.函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或 最低点.

4.求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而 结合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于 sin x, x 的二次函数的形式, cos 进而借助二次函数的性质求解.

名师押题我来做
1.关于函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 有下列命题: π ①y=f(x)的周期为 π;②x= 是 y=f(x)的一条对称轴; 4 ?π ? ③? ,0?是 y=f(x)的一个对称中心; ④将 y=f(x)的图象向 8 ? ? π 左平移 个单位,可得到 y= 2sin 2x 的图象,其中正确 4 命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上).

押题依据

本小题以多项选择的形式考查了三角函数的

性质、三角函数式的化简.重点突出,形式新颖,难度 适中,是高考的热点,故押此题.
押题级别 ★★★★★

解析

由 f(x)=sin 2x-cos 2x=

2π 得 T= =π,故①对; 2 ?π? π f? ?= 2sin ≠± 2,故②错; 4 ?4 ? ?π? f? ?= 2sin 0=0,故③对; ?8 ? π y=f(x)的图象向左平移 个单位, 4 ? ? ? π? π? π? 得 y= 2sin?2?x+ ?- ?= 2sin?2x+ ?, 4? 4? 4? ? ? ? 故④错.故填①③.
答案 ①③

? π? 2sin?2x- ?, 4? ?

2.求函数

?π ? ? π? y=sin? +4x?+cos?4x- ?的周期、单调区间及最 6? ?3 ? ?

大、最小值.
押题依据 将三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再求 其周期、单调区间、最值等,一直是高考的热点考向,也 是三角函数的重要内容.本题考查内容重点突出,难度适 中,故押此题.

押题级别 ★★★★
?π ? ?π ? π 解 ∵?3+4x?+?6-4x?=2, ? ? ? ? ?π ?π ?? ? ?π ? ?π ? π? ∴cos?4x-6?=cos?6-4x?=cos?2-?3+4x??=sin?3+4x?. ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? π? 2π π ∴y=2sin?4x+3?,周期 T= 4 =2. ? ?

π π π 当- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数递增, 2 3 2 ? 5π kπ π kπ? ∴函数的递增区间为?- + , + ? (k∈Z). 2 24 2 ? ? 24 π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数递减, 2 3 2 ?π kπ 7π kπ ? ∴函数的递减区间为? + , + ? (k∈Z). 2 24 2 ? ?24 π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2 5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2

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