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第一章 1.3 1.3.2 课下检测


一、选择题 1.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 的展开式的各项系数和是( A.2
n+1


)

B.2

n+1


+1

C.2n 1-1

D.2n 1-2


解析:令 x=1,可知其各项系数和为 2+22+…+2n=2n 1-2. 答案:D 1 2.( x+x)n 的展开式中第 8 项是常数,则展开式中系数最大的项是( A.第 8 项 C.第 8 项和第 9 项 B.第 9 项 D.第 11 项和第 12 项 )

n-21 - 1 7 解析:由题意 T8=Cn ( x)n 7(x)7=C7 ,故 n=21.则展开式中系数最大的项是第 nx 2 11 项和第 12 项. 答案:D a1 a 2 a2 009 3.若(1-2x)2 009=a0+a1x+…+a2 009x2 009(x∈R),则 + 2+…+ 2 009的值为( 2 2 2 A.2 C.-1 B.0 D.-2 )

a1 a2 a2 009 a1 a2 a2 009 1 解析: 令 x=0, 得 a0=1.令 x= , 得 a0+ + 2+…+ 2 009=0, 所以 + 2+…+ 2 009 2 2 2 2 2 2 2 =-1. 答案:C a 1 4.(x+x)(2x-x)5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( A.-40 C.20 解析:令 x=1,得各项系数和为 1+a, 所以 1+a=2,即 a=1, 1 1 5-r ∵(2x-x)5 的通项公式 Tr+1=Cr (-x)r 5(2x)
5 r =Cr (-1)rx5 52
- -2r

)

B.-20 D.40



1 1 ∴(x+ )(2x- )5 的展开式中的常数项为 x x 1 2 3 - 2 x· C3 (-1)3x 1+x· C52 (-1)2x=40. 52 · 答案:D

二、填空题 5.(x-1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是________. f?1?+f?-1? ?-2?11 解析:令 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 = =-1 024. 2 2 答案:-1 024 6.设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则 a10+a11=________. 解析:利用二项式展开式的性质,可知第 11 项和第 12 项二项式系数最大,而项的系 数互为相反数,即 a10+a11=0. 答案:0 7.若( 2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2 =________. 解析:令 x=1 得:a0+a1+a2+…+a10=( 2-1)10, 令 x=-1 得:a0-a1+a2-a3+…+a10=( 2+1)10, 故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+ a10) =( 2-1)10( 2+1)10=1. 答案:1 8. 若对任意的实数 x, 有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3, 则 a2 的值为________. 解析:设 x-2=t,则 x=t+2,原等式可化为(t+2)3=a0+a1t+a2t2+a3t3,所以 a2= C1 2=6. 3· 答案:6 三、解答题 9.设(2- 3x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2; (5)|a0|+|a1|+…+|a100|. 解:(1)令 x=0,则展开式为 a0=2100. (2)令 x=1,可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100,(*) 所以 a1+a2+…+a100=(2- 3)100-2100. (3)令 x=-1, 可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100.

与(*)式联立相减得 ?2- 3?100-?2+ 3?100 a1+a3+…+a99= . 2 (4) 原式= [(a0+ a2+ …+ a100) + (a1 + a3 + …+ a99)][(a0 + a2 + … + a100) - (a1 + a3 + …+ a99)] =(a0+a1+a2+…+a100)· (a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100) =[(2- 3)(2+ 3)]100 =1100=1.
100 r (5)∵Tr+1=(-1)rCr ( 3)rxr, 1002


∴a2r-1<0(r∈N+). ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100| =a0-a1+a2-a3+…+a100 =(2+ 3)100. 3 10.已知( x2+3x2)n 展开式中各项系数和比二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解:令 x=1 得展开式各项系数和为(1+3)n=4n.
1 n n 又展开式二项式系数和为 C0 n+Cn+…+Cn=2 ,

由题意有 4n-2n=992. 即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0. 所以 2n=-31(舍去)或 2n=32. 所以 n=5. (1)因为 n=5,所以展开式共 6 项,其中二项式系数最大项为第三、四两项, 3 23 它们是 T3=C2 (3x2)2=90x6. 5( x ) ·
22 3 3 2 2 T4=C5 ( x ) (3x2)3= 270 x 3 .

(2)设展开式中第 r+1 项的系数最大,
10? 4 x 3 2 5-r 又 Tr+1=Cr · (3x2)r= C r 3r 3 ,得 5( x ) 5

r r 1 r 1 ? 3 ≥Cr 3 ?C5· 5 · ? r r r+ 1 r+ 1 ? ?C5· 3 ≥C5 · 3 ?
- -

?r ≥6-r ?1 3 ?5-r≥r+1

3

1

7 9 ? ≤r≤ . 2 2

又因为 r∈N+,所以 r=4,所以展开式中第 5 项系数最大. T5=
26 4 4 26 . 3 C 3 x ? 405 x 3 5


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