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2013年高二上期12月大题练习

2013 年高二上期 12 月大题练习 15.已知双曲线与椭圆

x2 y2 14 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 9 25 5

1. 已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4 (a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 . 当直线 l 被圆 C 截
2 2

得的弦长为 2 2 时, 求 (Ⅰ) a 的值; (Ⅱ)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

18.如图,设 P 是圆珠笔 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 P D 上一
2 2

点,且 MD ?

4 PD 5
4 的直线被 C 所截线段的长度。 5

(Ⅰ)当 P 的在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

【解析】(Ⅰ)设 M 的坐标为 ( x, y ), P , P 的坐标为 ( x p , y p ), :

? x p ? x, x2 y 2 5 ? ?1 由已知得 ? ? P 在圆上,? x 2 ? ( y)2 ? 25, 即 C 的方程为 ? 5 25 16 4 y p ? y, ? ? 4
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y ? ( x ? 3) ,设直线与 C 的交点为 5 5

x 2 ( x ? 3) 2 4 A( x, y ), B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ? ( x ? 3) 代入 C 的方程,得 ? ?1, 25 25 5
即 x ? 3x ? 8 ? 0 。? x1 ?
2

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

?线段 AB 的长度为 AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ?
? 41 41 ? 41 ? 25 5

16 )( x1 ? x2 ) 2 25

19.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a, b) (a ? b ? 0) 为动点, F1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1的左右焦点.已知△ F1 PF2 为等腰三角形. a 2 b2
(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程. 解:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想, 考查解决问题能力与运算能力. 满分 13 分. (I)解:设 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)(c ? 0) 由题意,可得 | PF2 |?| F1 F2 |,
2 2 即 (a ? c) ? b ? 2c.

???? ???? ? ?

c c , ? 1 ? 0, 得 ? ?1 (舍) a a c 1 1 或 ? . 所以 e ? . a 2 2
整理得 2( ) ?
2

c a

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c .直线 PF2 方程为
2 2 2

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 ? y ? 3( x ? c) ,A,B 两点的坐标满足方程组 ? ,消去 y 并整理,得 ? y ? 3( x ? c ) ?

5x2 ? 8cx ? 0 ,解得
8c ? ? x2 ? 5 ? x1 ? 0 8c ? ? ,? ,不妨设 x1 ? 0, x2 ? ,得方程组的解 ? 5 3 3 ? y1 ? ? 3c ? ? y ? c ? 1 5 ?
A( 8c 3 3 , c) , B(0, ? 3c) , 5 5

设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 AM ? ( x ?

???? ?

???? ? 8c 3 3 ,y? c) , BM ? ( x, y ? 3c) .由 5 5

y ? 3( x ? c) 得

c ? x?

???? ? 8 3 ? 3 3 8 y 3 3 ???? y ,于是 AM ? ( y ? x, ? x), BM ? ( x, 3x) ,由 3 15 5 5 5

???? ???? ? ? AM ? BM ? ?2 ,即
( 8 3 3 8y 3 3 y ? x) x ? ( ? x) ? 3x ? ?2 ,化简得18 x 2 ? 16 3xy ? 15 ? 0 ,将 15 5 5 5
18 x 2 ? 15 代入 16 3 x

y?

c ? x?

10 x 2 ? 5 3 y ,得 c ? ? 0 ,所以 x ? 0 , 3 16 x
因此,点 M 的轨迹方程是 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0( x ? 0)
2


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