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经典对数函数及其性质的应用


第 二 章

2.2

2.2.2

第 二 课 时

把握 热点 考向

考点一 考点二 考点三

应用创新演练

[例1]

当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a-x ( )

与y=logax的图象可能是

[思路点拨]

利用0<a<1时,y=logax是减函数,

y=a-x是增函数进行判断.

[精解详析]

当0<a<1时,a-1>1,因此y=a-x=(a-1)x

为增函数且图像过(0,1),y=logax为减函数且图像过(1, 0),显然只有C符合. [答案] C

[一点通]

解决这类题型的办法有直接法与排除

法.直接法一般是借助函数的定义域、奇偶性、单
调性、过定点等特征对函数的图象进行分析进而得 解的方法.排除法通常是利用函数的定义域以及图 象经过的一些特殊点进行验证的方法.

1.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的反函数为g(x),且满足
g(2)<0,则函数g(x+1)的图象是下图中的 ( )

解析:由y=ax解得x=logay, ∴g(x)=logax. 又∵g(2)<0,∴0<a<1.

故g(x+1)=loga(x+1)是单调递减的,并且图像是由函数
g(x)=logax的图像向左平移1个单位得到的. 答案:A

2.已知a>0且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象 只能是图中的 ( )

解析:y=loga(-x)只可能在左半平面,故排除A, C.再看单调性,y=ax的单调性与y=loga(-x)的单 调性正好相反,又排除D. 答案:B

[例2]

比较下列各组数的大小:

(1)log2π与log20.9;

(2)log20.3与log0.20.3;
(3)log0.76,0.76与60.7; (4)log20.4,log30.4. [思路点拨] 比较大小. 观察各组数的特征,利用对数单调性

[精解详析]

(1)因为函数y=log2x在(0,+∞)上

是增函数,π>0.9,所以log2π>log20.9. (2)因为log20.3<log21=0,log0.20.3>log0.21=0, 所以log20.3<log0.20.3.

(3)因为60.7>60=1,0<0.76<0.70=1,
又log0.76<log0.71=0,所以60.7>0.76>log0.76.

(4)底数不同,但真数相 同.根据y=logax的图象在a>1, 0<x<1时,a越大,图象越靠 近x轴(如图所示),知

log30.4>log20.4.

[一点通]

利用函数的单调性可进行对数大小的比

较,常用的方法有 (1)同底数的两个对数值的大小比较,由对数函数 的单调性比较. (2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小 比较,常用引入中间变量法比较,通常取中间量为-1, 0,1等.

(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小 比较,常用数形结合思想来解决,也可用换底公 式化为同底,再进行比较.

3.若a=log0.23,b=log0.2e,c=log0.20.3,则 (

)

A.a>b>c
C.a>c>b

B.a<b<c
D.c>a>b

解析:∵0.3<e<3,且y=log0.2x在(0,+∞)上是减 函数,∴c>b>a. 答案:B

4.设 a=log32,b=ln 2,c=5 ,则 A.a<b<c C.c<a<b B.b<c<a D.c<b<a

?

1 2

(

)

1 ? ln 2 1 1 2 解析:a=log32= <ln 2=b,又 c=5 = < , ln 3 5 2 1 a=log32>log3 3= ,所以 c<a<b. 2

答案:C

5.比较下列各组对数值的大小. (1)log11.5,log11.6;
2 2

(2)log21.9,log23.2; (3)log79;log14;
2

(4)loga3,loga10(a>0 且 a≠1).

解:(1)∵y=log1x在(0,+∞)上单调递减,1.5<1.6,
2

∴log11.5>log11.6.
2 2

(2)∵y=log2x在(0,+∞)上单调递增,1.9<3.2, ∴log21.9<log23.2. (3)∵log79>0,log14<0,∴log79>log14.
2 2

(4)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增, ∴loga3<loga10. 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,

∴loga3>loga10.

[例3]

(12分)求函数y=log1(1-x2)的单调递增区间.
2

[思路点拨]

求函数单调区间时,必须首先考虑其定

义域,单调区间必是定义域的子区间.

[精解详析] 要使函数有意义,则有 1-x2>0?x2<1?-1<x<1. ∴函数的定义域为(-1,1). 令 t=1-x2,x∈(-1,1). 在(-1,0]上,x 增大,t 增大,y=log1t 减小,
2

(4 分)

即在(-1,0]上,y 随 x 的增大而减小,为减函数;

(8 分)

在[0,1)上,x 增大,t 减小,y=log1t 增大,即在[0,1)上,
2

y 随 x 的增大而增大,为增函数. ∴y=log1(1-x2)的单调递增区间为[0,1).
2

(10 分) (12 分)

[一点通] 1.求形如y=logaf(x)的函数的单调区间一般有如下几个步骤: (1)求出函数的定义域; (2)研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性; (3)判断出函数的增减性求出单调区间.

2.函数y=f[g(x)]的里层函数μ=g(x)与外层函

数y=f(μ)单调性之间的关系见下表:
函数 y=f(μ) μ= g (x ) y=f[g(x)] 单调性 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数

可简记为“同增异减”.

6.函数f(x)=|log1x|的单调递增区间是
2

(

)

? 1? A.?0,2? ? ?

B.(0,1] D.[1,+∞)

C.(0,+∞)

解析:f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区 间为[1,+∞).

答案:D

3 7.若loga4<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是 3 3 A.(0,4) B.(0,4)∪(1,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1)

(

)

3 解析:当 a>1 时,loga <0<1,成立. 4 当 0<a<1 时,y=logax 为减函数. 3 3 由 loga <1=logaa,得 0<a< . 4 4 3 综上所述,0<a< 或 a>1. 4

答案:B

8.解不等式log2(x+5)>log2(3-x).
?x+5>0, ? 解:由题意可知?3-x>0, 解得-1<x<3, ?x+5>3-x, ? ∴不等式的解集为(-1,3).

1.利用对数函数的图象与性质可以比较对数的大 小,求有关函数的单调区间,解简单的不等式等. 2.解决与对数函数有关的问题,首先要考虑函数

的定义域,其次要考虑底数的范围.若底数中含有参数,
要对底数进行讨论.


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